山西省中考数学试题.docx
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山西省中考数学试题
山西省2021年中考数学试题
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姓名:
班级:
考号:
1.单选题
1•“算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作,它们曾经是隋唐时期国子监
算学科的教科书,这些流传卜来的占算书中凝聚着历代数学家的劳动成果.卜列四部著
作中,不属于我国古代数学著作的是()
《周翻算经》
2.下列运算正确的是()
A.(-a3)2=・B.2a2+3a2=6a2
C.2a2-a3=2a6D・(-—)3=--^-
2a8/
3.下列一元二次方程中,没有实数根的是().
A.x2-2x=0B.x2+4x-l=0
C.3x'_5x+2=0D.2x2-4x+3=0
4.近年来快递业发展迅速,下表是2021年1〜3月份我省部分地市邮政快递业务量的统计结果(单位:
万件):
太原市
大同市
长治市
晋中市
运城市
临汾市
吕梁市
3303.78
332.68
302.34
319.79
725.86
416.01
338.87
1〜3月份我省这七个地市邮政快递业务量的中位数是()
D.416.01万件
A・319.79万件E.332.68万件C.338.87万件
5.黄河是中华民族的彖征,被誉为母亲河,黄河壶II瀑布位于我省吉县城西45T•米处,
是黄河上最具气势的自然景观.其落差约30米,年平均流量1010立方米/秒.若以小时
作时间单位,则其年平均流量可用科学记数法表示为()
A.6.06x10」立方米/时B.3.136x106立方米/时
C.3.636X106立方米/时D.36.36X105立方米/时
6.在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球,它们除颜色外都相同,随机从中摸出一个球,记下颜色后放回袋子中,充分摇匀后,再随机摸出一个球.两次都摸到黄球的概率是()
4121
A.-E.一C.一D.一
9399
7.如图,在RtAABC中,ZACB=90°,ZA=60°,AC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△ABCS此时点A饴好在AB边上,则点E与点B之间的距离为()
A・12E・6C・6^2D・6、/J
8.用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)'+k的形式为()
A.y=(x-4)斗7E.尸(x+4)斗7C.v=(x-4)2-25
D.尸(x+4)2-25
9.如图,正方形ABCD内接于0O,OO的半径为2,以点A为圆心,以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E,交AD的延长线于点F,则图中阴影部分的面积为()
A
A,4兀-4
二、填空题
10.计算:
(3JJ+1)(3^2-1)=・
11.图1是我国古代建筑中的一种窗格,其中冰裂纹图案彖征着坚冰出现裂纹并开始消
溶,形状无一定规则,代表一种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由
五条线段组成的图形,则Zl+Z2+Z3+Z4+Z5=度.
12.2021年国内航空公司规定:
旅客乘机时,免费携带行李箱的长,宽,高三者之和不
超过115cm.某厂家生产符合该规定的行李箱.已知行李箱的宽为20cm,长与高的比
为8:
11,则符合此规定的行李箱的高的最大值为cm.
13.如图,直线MN〃PQ,直线AB分别与MN,PQ相交于点A,E・小宇同学利用尺
规按以下步骤作图:
①以点A为圆心,以任意长为半径作弧交AN于点C,交AB于点D;②分别以C,D为圆心,以人于丄CD长为半径作弧,两弧在ZNAB内交于点E;③
2
作射线AE交PQ于点F.若AB=2,ZABP=60°,则线段AF的长为・
为直径作0O,OO分别与AC,EC交于点E,F,过点F作。
O的切线FG,交AB于
点G,则FG的长为
三、解答题
15.计算:
(1)(2^2)2-|-4|+3・iX6+2°;
(2)L.
x-l对一4x+4x-2
16.如图,一次函数yi=k1X+b(k#0)的图彖分别与x轴,y轴相交于点A,E,与反比例函数幻=经(匕工0)的图象相交于点C(-4,・2),D(2,4).
X"
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)当x为何值时,yi>0;
(3)当x为何值时,yi 17.在“优秀传统文化进校园”活动中,学校计划每周二下午第三节课时间开展此项活动,拟开展活动项目为: 剪纸,武术,书法,器乐,要求七年级学生人人参加,并且每人只能参加其中一项活动・教务处在该校七年级学生中随机抽取了100名学生进行调查,并 对此进行统计,绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图(均不完整)・ 请解答下列问题: (1)请补全条形统计图和扇形统计图; (2)在参加“剪纸”活动项目的学生中,男生所占的百分比是多少? (3)若该校七年级学生共有500人,请估计其中参加“书法”项目活动的有多少人? (4)学校教务处要从这些被调查的女生中,随机抽取一人了解具体情况,那么正好抽 到参加“器乐”活动项目的女生的概率是多少? 18・祥云桥位于省城太原南部,该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成,全桥共设13对直线型斜拉索,造型新颖,是“三晋人地”的一种象征.某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动,他们制订了测量方案,并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量•测量结果如下表. 项目 内容 课题 测量斜拉索顶端到桥面的距离 测量示意图 C厶BA 说明: 两侧最长斜拉索AC,BC相交于点C,分别与桥面交于A,E两点,且点A,B,C在同一竖直平面内. 测量数据 ZA的度数 ZB的度数 AB的长度 38° 28° 234米 ・・・ ・•・ (1)请帮助该小组根据上表中的测量数据,求斜拉索顶端点c到AE的距离(参考数据: sin38°v06cos38°u0.8,taii38°^0.8,siii28°^0.5,cos28°^0.9,taii28°^0.5) (2)该小组要写出一份完整的课题活动报告,除上表的项目外,你认为还需要补充哪些项目(写出一个即可). 19.2021年1月20日,山西迎来了“复兴号”列车,与“和谐号”相比,“复兴号”列车时速更快,安全性更好.已知“太原南-北京西”全程大约500千米,“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40「米,其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时 4 间的一(两列车中途停留时间均除外).经查询,“复兴号”G92次列车从太原南到北京 5 西,中途只有石家庄一站,停留10分钟.求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间. 20•请阅读卞列材料,并完成相应的任务: 在数学中,利用图形在变化过程中的不变性质,常常可以找到解决问题的办消去.著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子: 请问如何在一个三角形ABC的AC和BC两边上分别取一点X和Y,使得AX=BY=XY.(如图)解决这个问题的操作步骤如K: 第一步,在CA上作出一点D,使得CD=CE,连接ED.第二步,在CB±取一点Y,作YN〃CA,交ED于点乙,并在AB上取一点A,,使ZA=YZ.第三步,过点A作AZ〃AZ,交BD于点乙第四步,过点Z作ZY〃AC,交EC于点Y,再过点Y作YX〃ZA,交AC于点X. 则有AX=BY=XY. 卜•面是该结论的部分证明: 证明: TAZ〃AN',ZBA'Z^ZBAZ, 又VZA'BZ*=ZAB乙AABA'Z'〜△BAZ. .Z'A1BZ1 ZABZ 任务: (1)请根据上面的操作步骤及部分证明过程,判断四边形AXYZ的形状,并加以证明: (2)请再仔细阅读上面的操作步骤,在 (1)的基础上完成AX=EY=XY的证明过程; (3)上述解决问题的过程中,通过作平行线把四边形BA'Z'V放人得到四边形BAZY, 从而确定了点乙Y的位置,这里运用了下面一种图形的变化是. A.平移B.旋转C.轴对称D.位似 21.综合与实践 问题情境: 在数学活动课上,老师出示了这样一个问题: 如图1,在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AB延长线上一点,且EE=AE,连接DE,交EC于点M,以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG,连接AM.试判断线段AM与DE的位置关系.探究展示: 勤奋小组发现,AM垂直平分DE,并展示了如下的证明方法: 证明: VBE=AB,Z.AE=2AB. 丁AD=2AE,AD=AE・ •••四边形ABCD是矩形,AAD/7BC. .EM DM EB九・(依据" EM, VBE=AB,•••=1・AEM=DM・ DM 即AM是△ADE的DE边上的中线, 又VAD=AE,AAM±DE.(依据2) •'•AM垂直平分DE・ 反思交流: (1)①上述证明过程中的“依据依据2”分别是指什么? ②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上,请直接回答,不必证明; (2)创新小组受到勤奋小组的启发,继续进行探究,如图2,连接CE,以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG,发现点G在线段BC的垂直平分线上,请你给出证明;探索发现: (3)如图3,连接CE,以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG,可以发现点C,点E都在线段AE的垂直平分线上,除此之外,请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边,你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上,请写出一个你发现的结论,并加以证明. 22.综合与探究 如图,抛物线尸扌兀‘一扌/一4与x轴交于A,E两点(点A在点E的左侧),与y轴交于点C,连接AC,EC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m,过点P作PM丄x轴,垂足为点M,PM交BC于点Q,过点P作PE〃AC交x轴于点E,交EC于点F. (1)求A,B,C三点的坐标; (2)试探究在点P运动的过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请直接写出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由; (3)请用含m的代数式表示线段QF的长,并求出m为何值时QF有最人值. 参考答案 1.B 【解析】 【分析】 根据数学常识逐一判别即可得. 【详解】 A、《九章算术》是中国古代数学专著,作者已不可考,它是经历代各家的增补修订,而逐渐成为现今定本的; B、《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作: C、《海岛算经》是中国学者编撰的最早一部测量数学著作,由刘徽于三国魏景元四年所撰; D、《周髀算经》原名《周髀》,是算经的十书之一,中国最占老的天文学和数学著作;故选E. 【点睛】 本题主要考查数学常识,解题的关键是了解我国占代在数学领域的成就. 2.D 【解析】 【分析】 分别根据幕的乘方、合并同类项法则、同底数幕的乘法及分式的乘方逐一计算即町判断. 【详解】 A、(-a3)W,此选项错误; B、2a2+3a2=5a2,此选项错误; C、2a2*a3=2a5,此选项错误; D、(-—)3=__^_,此选项正确; 2a8/ 故选D. 【点睛】 本题主要考查整式的运算,解题的关键是掌握幕的乘方、合并同类项法则、同底数幕的乘法及分式的乘方的运算法则. 3.D 【分析】分别计算出每个方程的判别式即可判断. 【详解】 A、•••△=4HXlX0=4>0,・••方程有两个不相等的实数根,故本选项不符合题意; B、•••△=164X1X(-1)=20>0,・••方程有两个不相等的实数根,故本选项不符合题意: C、•••△=254X3X2=l>0,・•・方程有两个不相等的实数根,故本选项不符合题意; D、•••△=164X2X3=-8V0,・•・方程没有实数根,故本选项正确; 故选: D. 【点睛】 本题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系: (1)厶〉。 。 方程有两个不相等的实数根; (2)A=0^方程有两个相等的实数根; (3)AVOo方程没有实数根. 4.C 【解析】 【分析】 找中位数要把数据按从小到人的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数. 【详解】 首先按从小到大排列数据: 302.34,319.79,332.68,338.87,416.01,725.86,3303.78 由于这组数据有奇数个,中间的数据是33&87 所以这组数据的中位数是338.87 故选C. 【点睛】 本题考查了确定一组数据的中位数的能力.注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数,如呆数据有奇数个,则正中间的数字即为所求,如果是偶数个则找中间两位数的平均数. 5.C 【分析】 科学记数法的表示形式为少1宀的形式,其中l<|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 >1时,n是正数;当原数的绝对值VI时,n是负数. 【详解】 1010x3600=3.636x106立方米/时,故选C. 【点睛】 此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为"ion的形式,其中l<|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值. 6.A 【解析】 【分析】 首先根据题意画出树状图,由树状图求得所有等可能的结杲与两次都摸到黄球的情况,然后利用概率公式求解即可求得答案.注意此题属于放回实验. 【详解】 画树状图如下: 由树状图可知,共有9种等可能结果,其中两次都摸到黄球的有4种结果, 4 ・•・两次都摸到黄球的概率为§, 故选A. 【点睛】 此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识.注意画树状图与列表法町以不重复不遗漏 的列出所有可能的结呆,列表法适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件: 解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验. 7.D 【分析】 连接B'B,利用旋转的性质和直角三角形的性质解答即可. 【详解】 •••将AABC绕点C按逆时针方向旋转得到 AAC=A*C,AB=AfB,ZA=ZCAB=60o, /.AAA'C是等边三角形, •••ZAA*C=60% •••ZBfAB=180c-60°-60°=60°, •・•将AABC绕点C按逆时针方向旋转得到AA'B'C, AZACA=ZBAB=60°,BC=BfC,ZCBfAF=ZCBA=90°-60°=30°, AABCB*是等边三角形, •IZCBB=60°, JZCBW=30o, : .ZA,BrB=30°, •IZB'BAr=180o-60o-30o=90°, VZACB=90°,ZA=60%AC=6, AAB=12, •••AfB=AB-AA=AB-AC=6, •••EB=60 故选D・ 【点睛】 此题考查旋转问题,关键是利用旋转的性质和直角三角形的性质解答. 8.C 【分析】 直接利用配方法进而将原式变形得出答案. 【详解】 v=x2-8x-9 =x2-8x+16-25 =(x-4)2-25. 故选c. 【点睛】 此题主要考查了二次函数的三种形式,正确配方是解题关键. 9.A 【解析】 【分析】 利用对称性可知: 阴影部分的面枳=扇形AEF的面积-AABD的面积. 90x^x42 ~~360 【详解】利用对称性可知: 阴影部分的面积=扇形AEF的面积-AABD的面积= x4x2=4jt-4, 故选A. 【点睛】本题考查扇形的面积公式、正方形的性质等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题. 10.17. 【解析】 【分析】根据平方差公式计算即可. 【详解】原式=(3^2)-I2 =18-1 故答案为17. 【点睛】 本题考查的是二次根式的混合运算,掌握平方差公式、二次根式的性质是解题的关键. 11.360°. 【分析】 根据多边形的外角和等于360。 解答即可. 【详解】 由多边形的外角和等于360。 可知, Zl+Z2+Z3+Z4+Z5=360°, 故答案为360。 . 【点睛】 本题考查的是多边形的内角和外角,掌握多边形的外角和等于360。 是解题的关键. 12.55 【分析】 利用长与高的比为8: 11,进而利用携带行李箱的长、宽、高三者之和不超过115cm得出不等式求出即可. 【详解】 设长为8x,高为llx, 由题意,得: 1加+2丄115, 解得: x<5, 故行李箱的高的最人值为: llx=55, 答: 行李箱的高的最人值为55厘米. 【点睛】 此题主要考查了一元一次不等式的应用,根据题意得出正确不等关系是解题关键. 13.2^/3. 【分析】 作高线EG,根据直角三角形30度角的性质得: BG=1,AG=JT,可得AF的长. 【详解】 如图,作高线BG, •••ZNAB=ZABP=60% 由题意得: AF平分ZNAB, AZ1=Z2=3O°, •••ZABP=Z1+Z3, AZ3=30°, AZl=Z3=30°, AB=BF,AG=GF, VAB=2, EG=—AB=1, 2 ・・.AG=0 AF=2AG=2^3, 故答案为2屯. 【点睛】 本题考查了平行线的性质、角平分线的基本作图、直角三角形30度角的性质,此题难度不人,熟练掌握平行线和角平分线的基本作图是关键. 12 14.—. 5 【解析】 【分析】 先利用勾股定理求出AB=10,进而求出CD=ED=5,再求出CF=4,进而求出DF=3,再判断出FG丄BD,利用面枳即可得出结论. 【详解】 如图, •••点D是AE中点, 1. ••CD=ED=—AB=59 2 连接DF, VCD是0O的直径, •••ZCFD=90% 1 ABF=CF=-BC=4, 2 DF=ylcD2-CF2=3, 连接OF, VOC=OD,CF=BF, AOF//AB, AZOFC=ZB, TFG是0O的切线, •IZOFG=90% •IZOFC+ZBFG=90°, •••ZBFG-bZB=90°, AFG丄AB, 11 ••—DFxEF=—EDxFG, 22 DFxBF3x412 •••FG===—, BD55 12故答案为了. 【点睛】 此题主要考查了直角三角形的性质,勾股定理,切线的性质,三角形的中位线定理,三角形的面枳公式,判断出FG丄AB是解本题的关键. 15. (1)7; (2). x-2 【分析】 (1)先计算乘方、绝对值、负整数指数幕和零指数幕,再计算乘法,最后计算加减运算可得; (2)先将分子、分母因式分解,再计算乘法,最后计算减法即可得. 【详解】 (1)原式=8-4+-x6+l 3 =8-4+2+1 =7. X-2(X-1)(X+1)1 (2)原式二一•一-— X-1(x-2)X-2 X+11 x—2%—2 x "7^2* 【点睛】 本题主要考查实数和分式的混合运算,解题的关键是掌握绝对值性质、负整数指数幕、零指数幕及分式混合运算顺序和运算法则. 8 16.(l)Vi=x+2;”=一: (2)当x>-2时,Vi>0;(3)xV-4或0VxV2. ■X 【分析】 (1)将C、D两点代入一次函数的解析式中即可求出一次函数的解析式,然后将点D代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式; (2)根据一元一次不等式的解法即可求出答案. (3)根据图象即可求出答案该不等式的解集. 【详解】 (1)•・•一次函数Vi=kix+b的图彖经过点C(-4,-2),D(2,4), J-4化+b=_2 (2«+b=4 一次函数的表达式为yi=x+2. •・•反比例函数沖=紅的图象经过点D(2,4),X ・・・4=邑・ 2 k】=8・ 8 /.反比例函数的表达式为比=一 X (2)由刃>0,得x+2>0. ・・x>-2. •°・当x>-2时,vi>0. (3)x<-4或0VxV2. 【点睛】 本题考查反比例函数与一次函数的综合问题,解题的关键是熟练运用待定系数法以及数形结 合的思想,本题属于中等题型. 17. (1)详见解析; (2)40%;(3)105;(4)—. 16 【解析】 【分析】 (1)先求出参加活动的女生人数,进而求出参加武术的女生人数,即可补全条形统计图, 再分别求出参加武术的人数和参加器乐的人数,即可求出百分比; (2)用参加剪纸中男生人数除以剪纸的总人数即可得出结论: (3)根据样本估计总体的方法计算即可; (4)利用概率公式即可得出结论. 【详解】 (1)由条形图知,男生共有: 10+20+13+9=52人, ••・女生人数为100-52=48人, ・•・参加武术的女生为48-15-8-15=10人, •••参加武术的人数为20+10=30人, •••30-100=30%, 参加器乐的人数为9+15=24人, •••24-100=24%, 补全条形统计图和扇形统计图如图所示: 答: 在参加“剪纸巧舌动项目的学生中,男生所占的百分比为40%. (3)500x21%=105(人)・ 答: 估计其中参加“书法”项目活动的有105人・ 15155 (4)=—=—■ 15+10+8+154816 一 答: 正好抽到参加<器乐巧舌动项目的女生的概率为2. 16 【点睛】 此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比人小. 18. (1)斜拉索顶端点C到AB的距离为72米; (2)还需要补充的项目可为: 测量工具,计算过程,人员分工,指导教师,活动感受等.(答案不唯一) 【解析】 【分析】 (1)过点C作CD1AB于点D.解直角三角形求出DC即可; (2)还需要补充的项目可为: 测量工具,计算过程,人员分工,指导教师,活动感受等 【详解】 (1)过点C作CD丄AB于点D・ 设CD=x米,在RtAADC中,ZADC=90°,ZA=38°. .\AD= CDx5 =—=——x伽38。 0.84 CD Vtaii28°=—— BD VAD+BD=AB=234, 3 —x+2x=234・ 4 解得x=72・ 答: 斜拉索顶端点C到AB的距离为72米. (2)还需要补充的项目可为: 测量工具,计算过程,人员分工,指导教师,活动感受等.(答 案不唯一)
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