全国硕士研究生入学统一考试数学一试题含答案.docx
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全国硕士研究生入学统一考试数学一试题含答案
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
(万学·海文提供)
一、选择题:
1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答.题.纸.指定位置上.
(1)
已知limx-arctanx=c,其中k,c为常数,且c≠0,则()
x→0xk
-11-1
(A)k=2,c=(B)
2
k=2,c=
2
(C)
k=3,c=(D)
3
k=3,c=1
3
【答案】D
【解析】因为c≠0
x-arctanx洛
1-1
x
x21
c=lim
=lim1+x=lim
=lim
=limx3-k
x→0xk
x→0
kxk-1
x→0kxk-1(1+x2)
x→0kxk-1
kx→0
所以3-k=0,k=3,c=1=1,故选D
k3
(2)曲面x2+cos(xy)+yz+x=0在点(0,1,-1)的切平面方程为()
(A)x-y+z=-2
(B)x+y+z=0
(C)
x-2y+z=-3
(D)x-y-z=0
【答案】A
【解析】曲面在点(0,1,-1)处的法向量为
→
n=(F',F',F')
(0,1,-1)
=(2x-ysin(xy)+1,-xsin(xy)+z,y)
(0,1,-1)
=(1,-1,1)
故曲面在点(0,1,-1)处的切面方程为1⋅(x-0)-(y-1)+(z+1)=0,
即x-y+z=-2,选A
11∞
(3)设
s(-9)=
4
f(x)=
x-2,bn=2⎰0f(x)sinnπxdx(n=1,2,L).令
s(x)=∑bnsinnπx,则
n=1
(A)3
4
【答案】C
(B)14
(C)
-1
4
()
(D)-3
4
⎧1⎡1⎤
【解析】f(x)=x-1
-x,
⎪2
=⎨
x∈⎣⎢0,2⎦⎥
⎦
2⎪1⎡1⎤
⎩x-2,x∈⎢⎣2,1⎥
将f(x)作奇延拓,得周期函数F(x),周期T=2
则F(x)在点x=-9处连续,从而
4
S(-9)=F(-9)=F(-1)=-F1
-1-1
()=f()=
444444
故选C
(4)设L:
x2+y2=1,L:
x2+y2=2,L:
x2+2y2=2,L
:
2x2+y2=2为四条逆时针方向
1234
y
的平面曲线,记Ii=□⎰L(y+)dx+(2x-)dy(i=1,2,3,4).则max{I1,I2,I3,I4}=
i63
()
(A)I1
【答案】D
(B)I2
y3
(C)I3
x3∂Q
(D)I4
∂Py2
⎛y2⎫
【解析】记P=y+,Q=2x-,则
63∂x
-=2-x2-1-
∂y
=1-çx2+⎪,
2⎝2⎭
⎛y3⎫⎛
x3⎫
⎛∂Q
∂P⎫
⎡⎛y2⎫⎤
Ii=□⎰çy+
⎪dx+ç2x-
⎪dy=⎰⎰ç
-⎪dxdy=⎰⎰⎢1-çx2+
⎪⎥dxdy.
L⎝6⎭⎝
3⎭D⎝∂x
∂y⎭
Di⎣⎝
2⎭⎦
用D表示L
所围区域,则有I=5π,I=1π,I=32,I=2π,I
>I>I>I.
ii
故选D
18223842
4132
(5)设A,B,C均为n阶矩阵,若AB=C,且B可逆,则()(A)矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
(B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价(C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价(D)矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价
【答案】B
1n1n
【解析】将A,C按列分块,A=(α,...,α),C=(γ,...,γ)
由于AB=C,故
⎛b11...b1n⎫
(α,...,α)ç.....⎪=(γ,...,γ)
1nç⎪1n
çb...b⎪
⎝n1nn⎭
即γ=bα
+...+bα,...,γ
=bα
+...+bα
1111
n1nn
1n1
nnn
即C的列向量组可由A的列向量线性表示
由于B可逆,故A=CB-1,A的列向量组可由C的列向量组线性表示,选B
⎛1a1⎫⎛200⎫
(6)矩阵çaba⎪与ç0b0⎪相似的充要条件为()
ç⎪ç⎪
ç1a1⎪ç000⎪
(A)
⎝⎭⎝⎭
a=0,b=2
(B)
a=0,b为任意常数
(C)
a=2,b=0
(D)
a=2,b为任意常数
【答案】B
⎛1a1⎫
⎛200⎫
【解析】令A=çaba⎪,B=ç0b0⎪,
ç⎪ç⎪
ç1a1⎪ç000⎪
⎝⎭⎝⎭
因为A为实对称矩阵,B为对角阵,则A与B相似的充要条件是A的特征值分别为2,b,0
A的特征方程λE-A=
λ-1
a
-1
-a
λ-b
-a
-1λ
-a=0
λ-1-λ
-a
λ-b
-a
-1
-a
λ-1
λ-a
=0λ-b
0-a
-1
-a
λ-1
=λ⎡⎣(λ-2)(λ-b)-2a2⎤⎦,
因为λ=2是A的特征值,所以2E-A=0
所以-2a2=0,即a=0.
当a=0时,λE-A=λ(λ-2)(λ-b),
A的特征值分别为2,b,0所以b为任意常数即可.故选B.
123123
(7)设X,X,X是随机变量,且X~N(0,1),X~N(0,22),X~N(5,32),
pi=P{-2≤Xi≤2}(i=1,2,3),则()
(A)
p>p>p
(B)
p>p>p
(C)
p>p>p
(D)
p>p>p
123
213
312
132
【答案】A
【解析】
p1=P{-2≤X1≤2}=Φ
(2)-Φ(-2)=2Φ
(2)-1,
p=P{-2≤X≤2}=P⎧-2-0≤X2-0≤2-0⎫=Φ
(1)-Φ(-1)=2Φ
(1)-1,
22⎨⎬
⎩222⎭
p=P{-2≤X≤2}=P⎧-2-5≤X3-5≤2-5⎫=Φ(-1)-Φ⎛-7⎫=Φ⎛7⎫-Φ
(1),
33⎨
⎬ç
333
3⎪ç3⎪
⎩⎭
由下图可知,p>p>p,选A.
⎝⎭⎝⎭
123
(8)设随机变量X~t(n),Y~F(1,n),给定α(0<α<0.5),常数c满足P{X>c}=α,
则P{Y>c2}=()
(A)α(B)1-α
【答案】C
【解析】X~t(n),则X2~F(1,n)
(C)2α(D)1-2α
P{Y>c2}=P{X2>c2}=P{X>c}+P{X<-c}=2P{X>c}=2α,选C.二、填空题:
9□14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答.题.纸.指定位置上.
(9)设函数y=
f(x)由方程y-x=ex(1-y)确定,则
⎡1-⎤=
limn⎢⎣f()1⎥
【答案】1
【解析】
x=0时,y=1
n→∞n⎦
方程两边对x求导得y'-1=ex(1-y)(1-y-xy')所以y'(0)=1
⎡1-⎤=
f()-f(0)
n='=
limn⎢⎣f()1⎥
lim
f(0)1
n→∞
n⎦n→∞1
n
(10)已知y=e3x-xe2x,y=ex-xe2x,y
=-xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3
123
个解,则该方程的通解y=
12
【答案】y=c(e3x-ex)+cex-xe2x
【解析】y-y=e3x-ex,y-y=ex,
1223
12
对应齐次微分方程的通解y2=c(e3x-ex)+cex
12
非齐次微分方程的通解y=c(e3x-ex)+cex-xe2x
(11)设
x=sint
y=tsint+cost
d2y
(t为常数),则dx2π=
【答案】
dydy1sint+tcost-sint
【解析】
=⋅==t,
dxdtdx
dt
cost
d2y
⎛dy⎫
çdx⎪
dt
111
=⎝⎭⋅==,
π==
dx2
dtdxdxcost
dt
t=π
4cos
4
+∞lnx
(12)dx=.
⎰1(1+x)2
【答案】ln2
【解析】
+∞lnxdx=-
+∞+dx
=ln
+∞=ln2
⎰1(1+x)2
1⎰1
x(1+x)1
(13)设A=(aij)是3阶非零矩阵,
A为A的行列式,Aij为aij的代数余子式,若
aij+Aij=0(i,j=1,2,3)
【答案】-1.
则A=
⎛100⎫
【解析】方法一:
取矩阵A=ç0-10⎪,满足题设条件,A=-1.
ç⎪
⎝⎭
ç001⎪
方法二:
A*=-AT,则A*
=-AT
,整理得到A3-1=(-1)3
A,即A=-1或者A=0.
A=aA
+
aA
+
aA
=-(a2+a2+a2)≤0
又因为A≠O,所以至少有一个aij≠0,所以
A=aA
+aA
+aA
=-(a2+a2+a2)<0
从而A=-1.
(14)设随机变量Y服从参数为1的指数分布,a为常数且大于零,则
P{Y≤a+1Y>a}=.
【答案】1-1
e
⎧e-y,y>0,
【解析】f(y)=⎨
⎩0,y≤0,
a+1
P{Y>a,Y≤a+1}
PYa1Ya
⎰af(y)dy
=e-a-e-(a+1)=-1
P{Y>a}
+∞
af(y)dy
e-ae
三、解答题:
15~23小题,共94分.请将解答写在答.题.纸.指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
1f(x)
xln(t+1)
计算⎰0
dx,其中f(x)=⎰1tdt
【解析】f(x)=⎰xln(t+1)dt,则f'(x)=ln(x+1),f
(1)=0
1tx
1f(x)dx=2
1
f(x)d
=2⎡f(x)
x⎤1-21
f'(x)dx
⎰0⎰0
⎣⎦0⎰0
=2f
(1)-2⎰1ln(x+1)
1ln(x+1)1
=-⎰=-+⎰
xdx2dx4ln(x1)d
=-⎡
0x00
⎦
11x⎤
4⎢ln(x+1)
⎣
0-⎰01+xdx⎥=-4ln2+4⎰01+xdx
1
其中⎰0
1
1+x
x=t
1
dx=⎰0
x=t2
dx=2tdt
t
1+t
2.2tdt=2⎰0
t2
1+t
2dt=2⎰0dt-2⎰0
1
11
2
1+tdt
=2[t-arctant]1=2(1-π)
0
所以原式=-4ln2+8(1-
(16)(本题满分10分)
4
π)=8-2π-4ln24
∞
设数列{a}满足条件:
a
=3,a
=1,a
-n(n-1)a
=0(n≥2),S(x)是幂级数∑axn
n
的和函数
01n-2n
n
n=0
(I)证明:
S'(x)-S(x)=0
(II)求S(x)的表达式
∞∞
nn
【解析】S(x)=∑axn,S'(x)=∑naxn-1,
n=0
∞∞
n=1
nn2
S''(x)=∑n(n-1)axn-2=∑(n+2)(n+1)a+xn
n=2
∞
n=0
S''(x)-S(x)=∑[(n+2)(n+1)a
n=0
n+2
-
an
]xn
因为n(n-1)an-an-2=0,n≥2,所以(n+2)(n+1)an+2-an=0(n≥0).
⎪
⎧S''(x)-S(x)=0,
所以⎨S(0)=a0=3,
⎪S'(0)=a=1.
⎩1
(II)λ2-1=0,λ=1,λ=-1,所以S(x)=Ce-x+Cex.
12
又S(0)=3,S'(0)=1,所以C
=1,C
12
=2,S(x)=e-x+2ex.
(17)(本题满分10分)
求函数f(x,y)=(y+
12
3
x)ex+y的极值
3
【解析】令f'=ex+y(x2+y+
x)=0,f'=ex+y(1+y+
3
x)=03
⎧x=1
⎪
⎧x=-1
⎪
解得⎨4或⎨2
⎪⎩y=-3⎪⎩y=-3
f'=ex+y(2x+2x2+y+x)
3
f'=ex+y(1+x2+y+x)
3
f'=ex+y(2+y+x)
3
A=f''⎛
-14⎫=3e3
,B=
fx'y'⎛
-14⎫=e3
,C=
fy'y'⎛
-14⎫=e3
ç1,-⎪
⎝3⎭
ç1,-⎪
⎝⎭
ç1,-⎪
⎝⎭
-2
AC-B2=3e3
又A>0
-2
-e3
-2
=2e3>0
⎛4⎫
⎛4⎫-1
所以ç1,-⎪为f(x,y)的极小值点,极小值为fç1,-⎪=-e3
⎝3⎭⎝3⎭
A=f''⎛
-5
2⎫=-e3,B=
fx'y'⎛
-52⎫=e3
,C=
fy'y'⎛
-52⎫=e3
ç1,-⎪
⎝3⎭
ç1,-⎪
⎝⎭
ç1,-⎪
⎝⎭
因为AC-B2<0,所以(-1,-2)不是f(x,y)的极值点.
3
(18)(本题满分10分)
设奇函数f(x)在[-1,1]上具有2阶导数,且f
(1)=1.证明:
(I)存在ξ∈(0,1),使得f'(ξ)=1.
(II)存在η∈(-1,1),使得f'(η)+f'(η)=1.
【解析】(I)由于f(x)在[-1,1]上为奇函数,故f(-x)=-f(x),则f(0)=0
令F(x)=f(x)-x,则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且F
(1)=f
(1)-1=0
F(0)=f(0)-0=0,由罗尔定理,存在ξ∈(0,1),使得F'(ξ)=0,即f'(ξ)=1.
(II)由于f(x)在[-1,1]上为奇函数,则f'(x)在[-1,1]上为偶函数,所以由
(1)
f'(-ξ)=f'(ξ)=1.
令G(x)=ex[f'(x)-1],则G(x)在[-1,1]上连续,在(-1,1)内可导,且
G(ξ)=G(-ξ)=0,由罗尔定理存在η∈(-ξ,ξ)⊂(0,1),使得G'(η)=0
即f'(η)+f'(η)=1.
(19)(本题满分10分)
设直线L过A(1,0,0),B(0,1,1)两点,将L绕z轴旋转一周得到曲面∑,∑与平面
z=0,z=2所围成的立体为Ω.(I)求曲面∑的方程,(II)求Ω的形心坐标.
【解析】
(I)AB=(-1,1,1),所以直线L方程
x-1=y=z
-111
设∑上任一点y由直线L上的点F(y)绕z轴旋转一周得到,则
⎧⎪x2+y2=x2+y2
⎨00
⎪⎩z=z0
又x0-1=y0=z0,所以∑方程为x2+y2=(1-z)2+z2=2z2-2z+1
-111
(II)x2+y2-2(z-1)2=1
22
设形心坐标(x,y,z),几何体关于xoz,yoz对称,x=y=0
zdv
⎰zdz⎰⎰
dxdy
232
2
0
z=Ω=
x2+y2≤2z2-2z+1
=π⎰0
(2z-z
+
z)dz
=7.
⎰⎰⎰dv
Ω
⎰0dz
⎰⎰
x2+y2≤2z2-2z+1
dxdy
π2(2z2-2z+1)dz5
0
(20)(本题满分11分)
⎛1a⎫⎛01⎫
设A=ç⎪,B=ç⎪,当a,b为何值时,存在矩阵C使得AC-CA=B.并求所
⎝10⎭⎝1b⎭
有矩阵C.
⎛x1x2⎫
【解析】设C=ç⎪,由于AC-CA=B,故
⎝x3x4⎭
⎛1a⎫⎛x1
x2⎫-⎛x1
x2⎫⎛1
a⎫=⎛01⎫,
ç10⎪çxx⎪
çxx
⎪ç10⎪
ç1b⎪
⎝⎭⎝
34⎭
⎝34⎭⎝⎭⎝⎭
⎛x1+ax3
x2+ax4⎫
⎛x1+x2
ax1⎫
⎛01⎫
即ç⎪-ç
xxx
+
xax
⎪=ç⎪.
1b
⎝12⎭⎝343⎭⎝⎭
⎧-x2+ax3=0
⎪-ax+x+ax=1
⎨
⎪124
⎪x1-x3-x4=1
(I)
⎪x-ax=b
⎩23
由于矩阵C存在,故方程组(I)有解.对(I)的增广矩阵进行初等行变换:
⎛0-1
a
0
M
0⎫
⎛1
0
-1
-1
M
1
⎫
⎛1
0
-1
-1
M
1⎫
ç-a1
0
a
M
1⎪
ç01-a0M0⎪ç0
1
-a
0
M
0⎪
⎪
ç1
0
-1
-1
M
1⎪ç01
-a
0
M
a+
1⎪ç0
0
0
0
Ma+1⎪
⎝0
1
-a
0
M
b⎭⎝00
0
0
M
b
⎭⎝0
0
0
0
Mb⎭
方程组有解,故a+1=0,b=0,即a=-1,b=0,此时存在矩阵C使得AC-CA=B.
ç⎪→ç⎪→ç
ç⎪ç⎪ç⎪
⎛1
0
-1
-1
M
1⎫
ç01
当a=-1,b=0时,增广矩阵变为ç
1
0
M0⎪
⎪
ç00
ç
0
0
M0⎪
⎪
⎝00
0
0
M0⎭
x3,x4为自由变量,令x3=1,x4=0,代为相应齐次方程组,得x2=-1,x1=1.令x3=0,x4=1,代为相应齐次方程组,得x2=0,x1=1.
故ξ=(1,-1,1,0)T,ξ=(1,0,0,1)T,令x=0,x
=0,得特解η=(1,0,0,0)T,
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