一次函数的应用.docx
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一次函数的应用
一次函数的应用
1.某农机租赁公司共有50台收割机,其中甲型20台、乙型30台,现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割水稻,其中30台派往A地区,20台派往B地区,两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如下表:
每台甲型收割机的租金
每台乙型收割机的租金
A地区
1800元
1600元
B地区
1600元
1200元
(1)设派往A地区x台乙型联合收割机,租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元,求y关于x的函数关系式;
(2)若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元,试写出满足条件的所有分派方案;
(3)农机租赁公司拟出一个分派方案,使该公司50台收割机每天获得租金最高,并说明理由.
2.甲、乙两人沿同一路线登山,图中线段OC、折线OAB分别是甲、乙两人登山的路程y(米)与登山时间x(分)之间的函数图象.请根据图象所提供的信息,解答如下问题:
(1)求甲登山的路程与登山时间之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)求乙出发后多长时间追上甲?
此时乙所走的路程是多少米?
3.某酒厂生产A、B两种品牌的酒,每天两种酒共生产600瓶,每种酒每瓶的成本和利润如下表所示.设每天共获利y元,每天生产A种品牌的酒x瓶.
A
B
成本(元)
50
35
利润(元)
20
15
(1)请写出y关于x的函数关系式;
(2)如果该厂每天至少投入成本25000元,且生产B种品牌的酒不少于全天产量的55%,那么共有几种生产方案?
并求出每天至少获利多少元?
4.某工厂现有甲种原料360千克,乙种原料290千克,计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件,已知生产一件A种产品用甲种原料9千克,乙种原料3千克,可获利700元;生产一件B种产品用甲种原料4千克,乙种原料10千克,可获利1200元.
(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数,有哪几种方案?
请你设计出来;
(2)设生产A、B两种产品总利润为y元,其中一种产品生产件数为x件,试写出y与x之间的函数关系式,并利用函数的性质说明那种方案获利最大?
最大利润是多少?
5.某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费,
乙厂直接按印刷数量收取印刷费.甲厂的总费用y1(干元)、乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示.
(l)甲厂的制版费为 千元,印刷费为平均每个 元,甲厂的费用yl与证书数量x之间的函数关系式为 .
(2)当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费为平均每个 元;
(3)当印制证书数量超过2干个时,求乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式;
(4)若该单位需印制证书数量为8干个,该单位应选择哪个厂更节省费用?
请说明理由.
6.受地震的影响,某超市鸡蛋供应紧张,需每天从外地调运鸡蛋1200斤.超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋,已知甲养殖场每天最多可调出800斤,乙养殖场每天最多可调出900斤,从两养殖场调运鸡蛋到超市的路程和运费如表:
到超市的路程(千米)
运费(元/斤•千米)
甲养殖场
200
0.012
乙养殖场
140
0.015
(1)若某天调运鸡蛋的总运费为2670元,则从甲、乙两养殖场各调运了多少斤鸡蛋?
(2)设从甲养殖场调运鸡蛋x斤,总运费为W元,试写出W与x的函数关系式,怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省?
7.“红星”中学准备为校“教学兴趣小组”购进甲、乙两种学习用具,已知5件甲种学习用具的进价与3件乙种学习用具的进价的和为231元,2件甲种学习用具的进价与3件乙种学习用具的进价的和为141元.
(1)求每件甲种、乙种学习用具的进价分别是多少元?
(2)如果购进甲种学习用具有优惠,优惠方法是:
购进甲种学习用具超过20件,超出部分可以享受7折优惠,若购进x(x>0)件甲种学习用具需要花费y元,请你求出y与x的函数关系式;
(3)在
(2)的条件下,学校决定在甲、乙两种学习用具中选购其中一种,且数量超过20件,请你帮助学校判断购进哪种学习用具更省钱.
8.某工厂计划生产A、B两种产品共60件,需购买甲、乙两种材料.生产一件A产品需甲种材料4千克,乙种材料1千克;生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克.经测算,购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元;购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元.
(1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元?
(2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不能超过10000元,且生产B产品要超过38件,问有哪几种符合条件的生产方案?
(3)在
(2)的条件下,若生产一件A产品需加工费40元,若生产一件B产品需加工费50元,应选择哪种生产方案,才能使生产这批产品的成本最低?
请直接写出方案.
9.甲乙两台智能机器人从同一地点出发,沿着笔直的路线行走了450cm.甲比乙先出发,乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍.两机器人行走的路程y(cm)与时间x(s)之间的函数图象如图所示.根据图象所提供的信息解答下列问题:
(1)乙比甲晚出发 秒,乙提速前的速度是每秒 cm,t= ;
(2)己知甲匀速走完了全程,请补全甲的图象;
(3)当x为何值时,乙追上了甲?
10.某超市计划购进甲、乙两种品牌的新型节能台灯20盏,这两种台灯的进价和售价如下表所示:
甲
乙
进价(元/件)
40
60
售价(元/件)
60
100
设购进甲种台灯x盏,且所购进的两种台灯都能全部卖出.
(1)若该超市购进这批台灯共用去1000元,问这两种台灯购进多少盏?
(2)若购进两种台灯的总费用不超过1100元,那么超市如何进货才能获得最大利润?
最大利润是多少?
(3)最终超市按照
(2)中的方案进货,但实际销售中,由于乙品牌的台灯销售前景不容乐观,超市计划对乙品牌台灯进行降价销售,当毎盏台灯最多降价 元时,全部销售后才能使利润不低于550元.
11.已知一次函数y1=kx+b与函数y=﹣2x的图象平行,且与x轴的交点A的横坐标为2.
(1)求一次函数y1=kx+b的表达式;
(2)在给定的网格中,画出函数一次函数y2=x+1的图象,并求出一次函数y1=kx+b与y=x+1图象的交点坐标;
(3)根据图象直接写出,当x取何值时,y1>y2.
12.如图,函数y=2x和y=﹣
x+4的图象相交于点A,
(1)求点A的坐标;
(2)根据图象,直接写出不等式2x≥﹣
x+4的解集.
13.已知:
正方形ABCD.
(1)如图①,E,F分别是边CD,AD上的一点,且AE⊥BF,求证:
AE=BF.
(2)M,N,E,F分别在边AB,CD,AD,BC上,且MN=EF,那么MN⊥EF?
请画图表示,并作简要说明:
(3)如图④,将正方形ABCD折叠,使得点A落在边CD上的E点,折痕为MN,若已知该正方形边长为12,MN的长为13,求CE的长.
14如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M,N.
(1)求证:
点A与C关于直线BD对称.
(2)若∠ADC=90°,求证四边形MPND为正方形.
15.如图,在△ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过A作BC的平行线交CE的延长线F,且AF=BD,连结BF.
(1)求证:
BD=CD;
(2)如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论;
(3)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD为正方形?
(写出条件即可,不要求证明)
一次函数的应用
一.解答题(共15小题)
1.(2016•黄冈校级自主招生)某农机租赁公司共有50台收割机,其中甲型20台、乙型30台,现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割水稻,其中30台派往A地区,20台派往B地区,两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如下表:
每台甲型收割机的租金
每台乙型收割机的租金
A地区
1800元
1600元
B地区
1600元
1200元
(1)设派往A地区x台乙型联合收割机,租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元,求y关于x的函数关系式;
(2)若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元,试写出满足条件的所有分派方案;
(3)农机租赁公司拟出一个分派方案,使该公司50台收割机每天获得租金最高,并说明理由.
【解答】解:
(1)由于派往A地的乙型收割机x台,则派往B地的乙型收割机为(30﹣x)台,
派往A、B地区的甲型收割机分别为(30﹣x)台和(x﹣10)台.
∴y=1600x+1200(30﹣x)+1800(30﹣x)+1600(x﹣10)=200x+74000(10≤x≤30)
(2)由题意,得200x+74000≥79600,解得x≥28,
∵28≤x≤30,x是正整数
∴x=28、29、30
∴有3种不同分派方案:
①当x=28时,派往A地区的甲型收割机2台,乙型收割机28台,余者全部派往B地区;
②当x=29时,派往A地区的甲型收割机1台,乙型收割机29台,余者全部派往B地区;
③当x=30时,即30台乙型收割机全部派往A地区,20台甲型收割机全部派往B地区;
(3)∵y=200x+74000中y随x的增大而增大,
∴当x=30时,y取得最大值,此时,y=200×30+74000=80000,建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区,20台甲型收割机全部派往B地区,这样公司每天获得租金最高,最高租金为80000元.
2.(2016•淅川县一模)甲、乙两人沿同一路线登山,图中线段OC、折线OAB分别是甲、乙两人登山的路程y(米)与登山时间x(分)之间的函数图象.请根据图象所提供的信息,解答如下问题:
(1)求甲登山的路程与登山时间之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)求乙出发后多长时间追上甲?
此时乙所走的路程是多少米?
【解答】解:
(1)设甲登山的路程y与登山时间x之间的函数解析式为y=kx,
∵点C(30,600)在函数y=kx的图象上,
∴600=30k,
解得k=20,
∴y=20x(0≤x≤30);
(2)设乙在AB段登山的路程y与登山时间x之间的函数解析式为y=ax+b(8≤x≤20),
由图形可知,点A(8,120),B(20,600)
所以,
,
解得
,
所以,y=40x﹣200,
设点D为OC与AB的交点,
联立
,
解得
,
故乙出发后10分钟追上甲,此时乙所走的路程是200米.
3.(2016•无锡一模)某酒厂生产A、B两种品牌的酒,每天两种酒共生产600瓶,每种酒每瓶的成本和利润如下表所示.设每天共获利y元,每天生产A种品牌的酒x瓶.
A
B
成本(元)
50
35
利润(元)
20
15
(1)请写出y关于x的函数关系式;
(2)如果该厂每天至少投入成本25000元,且生产B种品牌的酒不少于全天产量的55%,那么共有几种生产方案?
并求出每天至少获利多少元?
【解答】解:
(1)由题意,每天生产A种品牌的酒x瓶,则每天生产B种品牌的酒(600﹣x)瓶,
∴y=20x+15(600﹣x)=9000+5x.
(2)根据题意得:
,
解得:
266
≤x≤270,
∵x为整数,
∴x=267、268、269、270,
该酒厂共有4种生产方案:
①生产A种品牌的酒267瓶,B种品牌的酒333瓶;
②生产A种品牌的酒268瓶,B种品牌的酒332瓶;
③生产A种品牌的酒269瓶,B种品牌的酒331瓶;
④生产A种品牌的酒270瓶,B种品牌的酒330瓶;
∵每天获利y=9000+5x,y是关于x的一次函数,且随x的增大而增大,
∴当x=267时,y有最小值,y最小=9000+5×267=10335元.
4.(2016•云梦县一模)某工厂现有甲种原料360千克,乙种原料290千克,计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件,已知生产一件A种产品用甲种原料9千克,乙种原料3千克,可获利700元;生产一件B种产品用甲种原料4千克,乙种原料10千克,可获利1200元.
(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数,有哪几种方案?
请你设计出来;
(2)设生产A、B两种产品总利润为y元,其中一种产品生产件数为x件,试写出y与x之间的函数关系式,并利用函数的性质说明那种方案获利最大?
最大利润是多少?
【解答】解:
(1)设生产A种产品x件,那么B种产品(50﹣x)件,则:
,
解得:
30≤x≤32,
∵x为正整数,
∴x=30、31、32,
依x的值分类,可设计三种方案:
①安排A种产品30件,B种产品20件;
②安排A种产品31件,B种产品19件;
③安排A种产品32件,B种产品18件.
(2)设安排生产A种产品x件,
那么利润为:
y=700x+1200(50﹣x),
整理得:
y=﹣500x+60000,
∵x=﹣500<0,
∴y随x的增大而减小,
x=30、31、32,
∴当x=30时,对应方案的利润最大,y=﹣500×30+60000=45000,最大利润为45000元.
∴当安排A种产品30件,B种产品20件,对应方案的利润最大,最大利润为45000元.
5.(2016•西华县校级模拟)某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费,
乙厂直接按印刷数量收取印刷费.甲厂的总费用y1(干元)、乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示.
(l)甲厂的制版费为 1 千元,印刷费为平均每个 0.5 元,甲厂的费用yl与证书数量x之间的函数关系式为 yl=0.5x+1 .
(2)当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费为平均每个 1.5 元;
(3)当印制证书数量超过2干个时,求乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式;
(4)若该单位需印制证书数量为8干个,该单位应选择哪个厂更节省费用?
请说明理由.
【解答】解:
(1)制版费1千元,yl=0.5x+1,证书单价0.5元;故答案为:
1;0.5;yl=0.5x+1;
(2)当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费为平均每个=3÷2=1.5元,故答案为:
1.5;
(3)设y2=kx+b,
由图可知,当x=6时,y2=y1=0.5×6+1=4,
所以函数图象经过点(2,3)和(6,4),
所以把(2,3)和(6,4)代入y2=kx+b,
得
,
解得
,所以y2与x之间的函数关系式为
;
(4)当x=8时,y甲=
×8+1=5,y乙=
×8+
=
;
5﹣
=0.5(千元)
即,当印制8千张证书时,选择乙厂,节省费用500元.
6.(2016•重庆模拟)受地震的影响,某超市鸡蛋供应紧张,需每天从外地调运鸡蛋1200斤.超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋,已知甲养殖场每天最多可调出800斤,乙养殖场每天最多可调出900斤,从两养殖场调运鸡蛋到超市的路程和运费如表:
到超市的路程(千米)
运费(元/斤•千米)
甲养殖场
200
0.012
乙养殖场
140
0.015
(1)若某天调运鸡蛋的总运费为2670元,则从甲、乙两养殖场各调运了多少斤鸡蛋?
(2)设从甲养殖场调运鸡蛋x斤,总运费为W元,试写出W与x的函数关系式,怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省?
【解答】解:
(1)设从甲养殖场调运鸡蛋x斤,从乙养殖场调运鸡蛋y斤,
根据题意得:
,
解得:
,
∵500<800,700<900,
∴符合条件.
答:
从甲、乙两养殖场各调运了500斤,700斤鸡蛋;
(2)从甲养殖场调运了x斤鸡蛋,从乙养殖场调运了(1200﹣x)斤鸡蛋,
根据题意得:
,
解得:
300≤x≤800,
总运费W=200×0.012x+140×0.015×(1200﹣x)=0.3x+2520,(300≤x≤800),
∵W随x的增大而增大,
∴当x=300时,W最小=2610元,
∴每天从甲养殖场调运了300斤鸡蛋,从乙养殖场调运了900斤鸡蛋,每天的总运费最省.
7.(2016•富顺县校级二模)“红星”中学准备为校“教学兴趣小组”购进甲、乙两种学习用具,已知5件甲种学习用具的进价与3件乙种学习用具的进价的和为231元,2件甲种学习用具的进价与3件乙种学习用具的进价的和为141元.
(1)求每件甲种、乙种学习用具的进价分别是多少元?
(2)如果购进甲种学习用具有优惠,优惠方法是:
购进甲种学习用具超过20件,超出部分可以享受7折优惠,若购进x(x>0)件甲种学习用具需要花费y元,请你求出y与x的函数关系式;
(3)在
(2)的条件下,学校决定在甲、乙两种学习用具中选购其中一种,且数量超过20件,请你帮助学校判断购进哪种学习用具更省钱.
【解答】解
(1)设每件甲种学习用具的进价是a元,每件乙种学习用具的进价是b元,
根据题意得:
,解得:
.
答:
每件甲种学习用具的进价是30元,每件乙种学习用具的进价是27元.
(2)当0<x≤20时,y=30x;
当x>20时,y=20×30+0.7×30(x﹣20)=21x+180.
(3)购买x件乙种学习用具的花费为27x元,购买x件甲种学习用具的花费为(21x+180)元,
令27x<21x+180,解得:
x<30.
即:
当20<x<30时,购进乙种学习用具更省钱;当x=30时,两种学习用具的花费一样;当x>30时,购买甲种学习用具更省钱.
8.(2016•孝南区一模)某工厂计划生产A、B两种产品共60件,需购买甲、乙两种材料.生产一件A产品需甲种材料4千克,乙种材料1千克;生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克.经测算,购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元;购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元.
(1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元?
(2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不能超过10000元,且生产B产品要超过38件,问有哪几种符合条件的生产方案?
(3)在
(2)的条件下,若生产一件A产品需加工费40元,若生产一件B产品需加工费50元,应选择哪种生产方案,才能使生产这批产品的成本最低?
请直接写出方案.
【解答】解:
(1)设甲种材料每千克x元,乙种材料每千克y元,
依题意得:
,
解得:
;
答:
甲种材料每千克25元,乙种材料每千克35元.
(2)设生产B产品a件,生产A产品(60﹣a)件.
依题意得:
,
解得:
38<a≤
;
∵a的值为非负整数,
∴a=39、40、41、42;
答:
共有如下四种方案:
A(件)
21
20
19
18
B(件)
39
40
41
42
(3)生产A产品21件,B产品39件成本最低.理由如下:
设生产成本为W元,则W与a的关系式为:
W=(25×4+35×1+40)(60﹣a)+(35×3+25×3+50)a=55a+10500,
即W是a的一次函数,
∵k=55>0
∴W随a增大而增大
∴当a=39时,总成本最低;
即生产A产品21件,B产品39件成本最低.
9.(2016•宜兴市一模)甲乙两台智能机器人从同一地点出发,沿着笔直的路线行走了450cm.甲比乙先出发,乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍.两机器人行走的路程y(cm)与时间x(s)之间的函数图象如图所示.根据图象所提供的信息解答下列问题:
(1)乙比甲晚出发 15 秒,乙提速前的速度是每秒 15 cm,t= 31 ;
(2)己知甲匀速走完了全程,请补全甲的图象;
(3)当x为何值时,乙追上了甲?
【解答】解:
(1)由题意可知,当x=15时,y=0,故乙比甲晚出发15秒;
当x=15时,y=0;当x=17时,y=30;故乙提速前的速度是
(cm/s);
∵乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍,
∴乙提速后速度为30cm/s,
故提速后乙行走所用时间为:
(s),
∴t=17+14=31(s);
(2)由图象可知,甲的速度为:
310÷31=10(cm/s),
∴甲行走完全程450cm需
(s),函数图象如下:
(3)设OA段对应的函数关系式为y=kx,
∵A(31,310)在OA上,
∴31k=310,解得k=10,
∴y=10x.
设BC段对应的函数关系式为y=k1x+b,
∵B(17,30)、C(31,450)在BC上,
∴
,解得
,
∴y=30x﹣480,
由乙追上了甲,得10x=30x﹣480,解得x=24.
答:
当x为24秒时,乙追上了甲.
故答案为:
(1)15,15,31.
10.(2016•许昌一模)某超市计划购进甲、乙两种品牌的新型节能台灯20盏,这两种台灯的进价和售价如下表所示:
甲
乙
进价(元/件)
40
60
售价(元/件)
60
100
设购进甲种台灯x盏,且所购进的两种台灯都能全部卖出.
(1)若该超市购进这批台灯共用去1000元,问这两种台灯购进多少盏?
(2)若购进两种台灯的总费用不超过1100元,那么超市如何进货才能获得最大利润?
最大利润是多少?
(3)最终超市按照
(2)中的方案进货,但实际销售中,由于乙品牌的台灯销售前景不容乐观,超市计划对乙品牌台灯进行降价销售,当毎盏台灯最多降价 10 元时,全部销售后才能使利润不低于550元.
【解答】解:
(1)设购进乙种台灯y盏,
由题意得:
,
解得:
.
即甲、乙两种台灯均购进10盏.
(2)设获得的总利润为w元,
根据题意,得:
w=(60﹣40)x+(100﹣60)(20﹣x)=﹣20x+800.
又∵购进两种台灯的总费用不超过1100元,
∴40x+60(20﹣x)≤1100,解得x≥5.
∵在函数w=﹣20x+800中,w随x的增大而减小,
∴当x=5时,w取最大值,最大值为700.
故当甲种台灯购进5盏,乙种台灯购进15盏时,超市获得的利润最大,最大利润为700元.
(3)设每盏台灯降价m元,
根据已知,得:
700﹣15m≥550,解得:
m≤10.
故答案为:
10.
11.(2016春•射阳县校级月考)已知一次函数y1=kx+b与函数y=﹣2x的图象平行,且与x轴的交点A的横坐标为2.
(1)求一次函数y1=kx+b的表达式;
(2)在给定的网格中,画出函数一次函数y2=x+1的图象,并求出一次函数y1=kx+b与y=x+1图象的交点坐标;
(3)根据图象直接写出,当x取何值时,y1>y2.
【解答】解:
(1)∵一次函数y1=kx+b与y=﹣2x的图象平行且过A(2,0),
∴k=﹣2,2k+b=0,
∴b=4,
∴一次函数的表达式为y1=﹣2x+4;
(2)如图,
解方程组
得
,
所以一次函数y1=kx+b与y=x+1图象的交点坐标为(1,2);
(3)x<1.
12.(2015•济南一模)如图,函数y=2x和y=﹣
x+4的图象相交于点A,
(1)求点A的坐标;
(2)根据图象,直接写出不等式2x≥﹣
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