电动力学矢量分析.docx
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电动力学矢量分析
5.格林定理
6.矢受场的惟一性定理
7・亥姆霍兹定理
&正交曲面坐标系
M—*矢量分析
主要内容
梯度、散度.旋度、亥姆霍兹定理
丄.标量场的方向导数与梯度
2・矢量场的通董与散度
3・矢童场的环童与旋度
4・无散场和无旋场
标童场(0)和矢童场(A)
以浓度表示的标童场C
以箭头表示的矢童场力
rrn
1・标量场的方向导数与梯度
标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率.
标量场0在P点沿/方向上的方向导数号;]定义为
d(P\_亦O(P)-G(尸)dlL一J监zV
i~b~ir^nr^nmn
梯度是一个矢量.
某点梯度的大小等于该点的最大方向导数,某点
梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向.
在直角坐标系中,标量场0的梯度可表示为
grad。
=®—-+ev
ex
式中的grad是英文字gradient的缩写•
2.矢量场的通童与散度
矢童A沿某一有向曲面S的面积分称为矢量4通过
该有向曲面S的通量,以标量W表示,即
护=丄AVS
通量可为正、负或零。
当矢量穿出某个闭合面时,认为该闭合面中存在产生该矢量场的源;当矢量进入这个闭合面时,认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞(或汇)°
闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外
当闭合面中有源时,矢量通过该闭合面的通量一定为正;反之,当闭合面中有洞时,矢董通过该闭合面的通量一定为负。
前述的源称为正源,而洞称为负源.
已知真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电荷量q与真
空介电常数£()之比,即,
144°rit
——*>-KKf仝,,
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Mt\3X八$*'
当闭合面中存在正电荷时,通童为正.当闭合面中存在负电荷时,通量为负.在电荷不存在的无源区中,穿过任一闭合面的通量为零。
但是,通量仅能表示闭合面中源的总量,它不能显示源的分布特性.为此需要研究矢童场的散度.
当闭合面s向某点无限收缩时,矢童a通过该闭合面s的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度,以divA表示,即
divA=lim
AV->0
式中>div是英文字divergence的缩写;AV为闭合面
S包围的体积.
A-dSdivA=lim」
AV-H)
上式表明,散度是一个标童,它可理解为通过包围
单位体积闭合面的通量.
直角坐标系中散度可表示为
因此散度可用算符▽表示为
divA=V•4
或者写为LV-AdV=|^A-dS
从数学角度可以认为散度定理建立了面积分和体积分的关系.从物理角度可以理解为散度定理建立了区域V中的场和包围区域V的边界S上的场之间的关系.因此,如果已知区域"中的场,根据散度定理即可求出边界S上的场,反之亦然。
E3Z1LE
例求空间任一点位置矢量r的散度o
X
()
解已知
求得
竺+空+支=3去dydz
0—
算子
口aaa
xdxydyzdz
标量场的梯度
—-&(D&Dd(P
"7瓦7石7瓦
矢童场的散度
[f].4d5
divA=lim丄匚
AV->0\y
矢量场的旋度?
坐+坐+丝
dxdydz.
3・矢童场的环童与旋度
矢量场A沿一条有向曲线/的线积分称为矢童场A沿该曲线的环董,以厂表示,即
可见,若在闭合有向曲线/上,矢董场A的方向处处与线元d/的方向保持一致,则环童厂>0;若处处相反,则厂v0・可见,环董可以用来描述矢量场的旋涡特性.
rB~ir^nim
已知真空中磁通密度〃沿任一闭合有向曲线2的环童等于该闭合曲线包围的传导电流强度/与真空磁
式中,电流/的正方向与d/的方向构成右旋关系。
环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度,但是环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度,它不能显示源的分布特性。
为此,需要研究矢量场的旋度。
[~^~1LEJ
旋度是一个矢量•以符号curlA表示矢量A的
旋度,其方向是使矢童M具有最大环童强度的方向,
式中curl是旋度的英文字;s为最大环童强度的方向上的单位矢量,M为闭合曲线/包围的面积。
矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量.
直角坐标系中,旋度可用矩阵表示为
「aaa或者
curl4=VxA
curla=———珥页
dxdydz
AAv4
无论梯度、散度或旋度都是微分运算,它们表示
场在某点附近的变化特性.因此,梯度、散度及旋度
描述的是场的点特性或称为微分特性.
函数的连续性是可微的必要条件.因此在场量发生不连续处,也就不存在前述的梯度.散度或旋度.
旋度定理(斯托克斯定理)
J(curlA).€15=^Ad/或者J、(VxA)dS=JAdi
从数学角度可以认为旋度定理建立了面积分和线积分的关系.从物理角度可以理解为旋度定理建立了区域S中的场和包围区域S的边界/上的场之间的关系.因此,如果已知区域S中的场,根据旋度定理即可求出边界I上的场,反之亦然.
例试证任何矢量场A均满足下列等式
f(VxA)dV=-|JsAxd5
式中,S为包围体积V的闭合表面.此式又称为矢童旋度定理,或矢童斯托克斯定理.
证设C为任一常矢量,则
V•(CxA)=A•VxC—C•Vx4=—C•▽x4
V(CxA)=A-VxC-CVxA=-CVxA
那么对于任一体积V,得
£v-(CxA)dV=-CjVxAdV
根据散度定理,上式左端
JvV.(CxA)dV=^(CxA)dSC(AxdS)=C-JsAxd5
求得C-jv(VxA)dV=-C^AxdS
4.无散场和无旋场
散度处处为零的矢量场称为无散场,旋度处处为零的矢量场称为无旋场.
上式表明,任一矢量场A的旋度的散度一定等于零.因此,任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度,或者说,任何旋度场一定是无散场.
上式表明,任一标董场⑦的梯度的旋度一定等于零.因此,任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度,或者说,任何梯度场一定是无旋场。
5・格林定理
设任意两个标量场0及0,若在区域V中具有连续的二阶偏导数,可以证明该两个标量场0及”满足下列等式
式中S为包围V的闭合曲面;丝为标量场。
在S表面dn
的外法线S方向上的偏导数.
根据方向导数与梯度的关系,上式又可写成(▽匸・3+旳SdV=此(炸0)心上两式称为标童第一格林定理.
基于上式还可获得下列两式:
f(yv2 - 设任意两个矢量场卩与0,若在区域V中具有连续的二阶偏导数,那么,可以证明该矢量场P及0满足下列等式: Jv[(VxP).(Vxe)-P-VxVxgJdV=^|JPxVxg)dS 式中S为包围U的闭合曲面;面元dS的方向为S的外法线方向。 上式称为矢量第一格林定理. 基于上式还可获得下式: JIC(VxVxF)~F-(VxVxQ]dV =J|[Z,xVx(? -<2xVxP|d5 此式称为矢量第二格林定理。 格林定理建立了区域v中的场与边界s上的场之间的关系。 因此,利用格林定理可以将区域中场的求解问題转变为边界上场的求解问题. 格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系.因此,如果已知其中一种场的分布特性,即可利用格林定理求解另一种场的分布特性. 6.矢童场的惟一性定理 位于某一区域中的矢量场,当其散度、旋度以及边界上场量的切向分量或法向分量给定后,则该区域中的矢量场被惟一地确定。 已知散度和旋度代表产生矢量场的源,可见惟一性定理表明,矢量场被其源及边界条件共同决定. rR~irF~ifm 7.亥姆霍兹定理 若矢童场F(r)在无限区域中处处是单值的,且其导数连续有界,源分布在有限区域"中,則当矢量场的散度及旋度给定后,该矢童场F(f)可以表示为 阳)式中 F(r)=-V F(r)=-V>(r)+VxA(r) 该定理表明任一矢童场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和.矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题. &正交曲面坐标系 直角坐标系(x.y.z) 直角坐标系 圆柱坐标系 球坐标系 微分单元的表示 d/=e.dt+evdy+e;dz dS=eMdydz4e/Lxxk4e.duly dV=dxdrdz clZ-=erdr+e^rd^+c.dr dS=crrd^ct: +qd厂ck+eyd/d。 dV=rdr (.1/=erdr4-e0ix\O+厂sinOd。 dLSe/'sin〃(JO(J0+winO(J/*(J0+s/vb(10dV=r2sinOckdOd。 r^~irFi x=rcos^y-rsinz=z 坐标变量的转换 r=卜+b 0=arctan— Z=Z a=rsin〃cos0-y=厂sin〃sin。 Z=rcosO r^~irFi 矢量分量的转换 sin6? 0 cos〃0 01 已知矢量A在直角坐标系中可表示为 A=aex+be^cez 式中,a,b,c均为常数.A是常矢童吗? 又知矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中可分别表示为 A=aer++ce- A=aer+beo+ce 式中,a,b,c均为常数・A是常矢量吗?
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- 电动力学 矢量 分析