在复数的教学中渗透数学思想方法Penetrating mathematical thinking in plural teaching.docx
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在复数的教学中渗透数学思想方法Penetratingmathematicalthinkinginpluralteaching
在复数的教学中渗透数学思想方法(Penetratingmathematicalthinkinginpluralteaching)
Penetratingmathematicalthinkinginpluralteaching
QingyuanNo.1MiddleSchoolWuHuiqing
Mathematicalthoughtisthebasicideaofsolvingproblemsinmathematicalresearch,andthesoulofsolvingmathematicalproblems.Inrecentyears,thecollegeentranceexaminationistostrengthenthemathematicalthinkingofthetest,sothepenetrationinteaching,outstandingmathematicsthinkingmethod,teachstudentstomasteraflexiblewayofthinking,improvemathematicalabilityshouldbecomethedeeptaskofteacherpreparation.Thispapersumsupthemainmathematicalideasandmethodsthatshouldbepermeatedintheteachingofthepluralnumber.
1functionthought
Tosolveproblemsbyusingfunctionthoughtistoputproblemsintodynamicsituationstoanalyzeandstudyquantitativerelationsinspecificproblems.TheproblemoffindingthemodulusofthecomplexnumbermustbetranslatedintothetwofunctionoftherealpartXorimaginarypartyofthecomplexnumberZ.
1casesofZ,C,andZ-(2+EMBEDEquation.3),Z(2+/-EMBED-Equation.3),=4,maximumZ.
Asolutionofz=x+yi(x,y,R)
Dreams,Z-(2+EMBEDEquation.3),Z(2+/-EMBED-Equation.3),=4saidtothetwopointF1(2,EMBED,Equation.3)andF2(2,EMBED,Equation.3)anddistanceequaltothetrackofthe4pointsoftheellipse.
A=2b=1,c=EMBED*,Equation.3
Acupuncturepoint(x,y)forthetrajectoryequation(x-2)2+EMBEDEquation.3=1(x=1~3)
Dreamsz=EMBEDEquation.3
Rx2+y2=x2+[4-4(X-2)2]=-3(xEMBEDEquation.3)2+EMBEDEquation.3
X=EMBEDEquation.3x2+y2=star,EMBEDEquation.3,EMBEDEquation.3andy=.
Z=EMBED+EMBEDEquation.3Equation.3*EMBEDEquation.3,ZEMBEDEquation.3hasthemaximumvalue
2equationthought
Usingideastosolvecomplexproblemsofequationistransformedintotheproblemofundeterminedletters,theselettersalsodeterminedbyequation(Group)tocompletethebasicmethodofdeepreflectionequationthought.
Example2seekstosatisfyallthepluralZofthefollowingtwoconditionsatonce:
(1)z+EMBEDEquation.31 (2)therealpartandimaginarypartofZareintegers Z+EMBEDEquation.3=msolutionsetinRistransformedintoz2-mz+10=0equation, The1 Z=EMBEDEquation.3* TherealpartandimaginarypartofZareintegers,soEMBEDEquation.3isaninteger,knowingthatMcanonlytake2,4,6,butEMBEDEquation.3isinteger,knowingMcanonlytake2,6. Tomeettheconditionsofthez=1complexR+3Iand3+I. 3thoughtoftransformation Tosolvetheproblemstobesolvedbymeansofsomemeanstosolveoreasiertosolvetheproblem,therebyobtainingthesolutionoftheoriginalproblem,thisbasicmethodembodiestheideaoftransformation.Tosolvecomplexproblems,oftenthecomplexZsettoz=a+bi(a,B,R)oraz=r(COS+isinthetatheta)oncomplexZproblemistransformedintoareala,BorR,thetaproblems,andthensolvetheproblem. 3letZbeimaginary,Omega=z+and-1 (1)therangeofrealvalueandZforthez; (2)amu=EMBEDEquation.3,provethatMuisapureimaginary; (3)minimumvalueofOmega-2. Thesolution (1)withz=a+bi(a,B,R,andB=0), Omega=a+bi+,EMBED,Equation.3=(a+,EMBED,Equation.3)+(b-,EMBED,Equation.3)I Omegadreamsarerealnumbers,B=0, B-EMBEDEquation.3*=0,a2+b2=1,orZ=1 SotheOmega=2a,-1 TherangeoftherealstarfortheZ(EMBEDEquation.3,1) (2)Mu=EMBED,Equation.3=EMBED,Equation.3=EMBED,Equation.3=EMBED,Equation.3 A(Equation.3-EMBED,dreams,1),B=0,ruispurelyimaginary (3)2=2a+EMBEDEquation.3=2a+EMBEDEMBEDEquation.3=2a-Equation.3 =2a-1+EMBEDEquation.3=2[(a+1)EMBED+Equation.3-3 A(Equation.3-EMBED,dreams,1),stara+1>0 故ω-μ222≥×EMBED3-3=4,3=1– 当+1=嵌入方程。 3、即=0时,ωμ取得最小值1-2。 4整体思想 从整体的角度去思考问题,把问题看成一个整体,注重从全局着眼,全面、系统地观察分析整体与局部,整体与结构的关系,从而把握问题的本质,寻找解题捷径在教学中渗透整体思想,可以培养学生思维的灵活性。 例4已知Z∈C,|EMBED3|=嵌入方程。 3且Arg(EMBED3)=嵌入方程。 3、求Z. 解由已知,可得EMBED3=3(因为EMBEDEMBED3+在嵌入方程。 3)3=EMBEDEquation.3EMBED3 ∴Z(1·EMBED3嵌入方程。 3)=1 ∴z=3=1+EMBEDEquation.3EMBED3。 说明: 该题也可通过设z=x+一(X、Y∈R)求解,但过程繁复。 可见,从整体出发利用条件,解题思路流畅,运算量小,极受中学生欢迎。 5数形结合思想 数形结合思想,实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维相结合,它可以培养学生思维的灵活性、形象性和深刻性。 在求解复数问题时,如果能充分利用复数及其运算的几何意义,画出问题的图形,常使问题变得直观、简捷、易解。 例5已知复数Z满足Arg(Z-3)=嵌入方程。 3、求M=3的最大值嵌入方程。 解如图,精氨酸(Z-3)=3表示点Z在射线嵌入方程。 PQ上运动,因此,只要求出射线PQ上的 点Z到一(6,0)和B(0,3)的距离之和 的最小值即可。 根据平几知识,当点Z为线段AB与射 线PQ的交点时,这个距离和最小,即, [|Z-6|+|z-3i|]分钟=|AB|=3=3EMBEDEquation.3EMBED3 ∴MMAX=3=EMBEDEquation.3EMBED3 例6已知复数ZZ满足不等式EMBED3+iz-iEMBED3≤0,求Arg(Z+我)的最小值和最大值。 解将ZEMBED3+iz-iEMBED3≤0化简为|Z-I|2≤1, ∴|Z-I|≤1即点Z在以O1(0,1) 为圆心,1为半径的圆面上运动,从图 形上知|O1A|=2,|o1z|=1, ∴∠o1az=嵌入方程。 3、EMBED3≤Arg(Z+我)≤EMBED3 ∴Arg(Z+我)min=嵌入方程。 3、精氨酸(Z+我)的最大值为3将方程。 数形结合法是复数一章体现最突出的数学思想方法,充分运用数形结合这一基本数学思想,是学好本章的关键。 6分类讨论思想 当被研究的对象包含多种可能的情况,我们又不能一概而论的时候,可将对象分成若干个两两不相交的部分,常常能更清楚地暴露事物的本质,可以培养学生思维的严谨性。 例7设一≥0,在复数集C中解方程Z2+2|Z|=一 解设z=x+一(X、Y∈R),则原方程化为 X2-Y2+EMBED3+2xyi=,从而有 嵌入方程3。 由②知y=0或x=0,可见原方程有实根或纯虚根,下面分别讨论: (1)若y=0时,则z=x,y=0代入方程①可得将: |x2+2x|||=,从而有|X|=1+3(一个≥EMBED0) ∴一≥0时,原方程有实数根Z=(1+±EMBED3) (2)若x=0时,则Z=一,将x=0代入方程①可得: -|Y|2+2|Y|-=0 1)若=0,则-|Y|2+2|Y|=0,从而得|Y|=2,此时原方程的纯虚根为 Z=±2i。 2)若0<≤1,则|Y|=1±嵌入方程。 3、这时原方程的纯虚根为Z=(1+±嵌入方程。 3)我或Z=(1-±EMBED3)I. 3)若一>1,这时EMBED3不是实数,∴原方程无纯虚根。 综上可知: 当=0时,原方程有实根z=0和纯虚根z=±2i; 当0<≤1时,原方程有实根Z=(1+±EMBED3)、纯虚根Z=(1+±EMBED3)我 和z=±(1-嵌入方程。 3)我; 当一>1时,原方程无纯虚根,只有实根Z=(1+±EMBED3)。 2000年4月 页 5页 三 三 三十三 六 三十三 ② ① o X Y Q B 一 P Z Y X o -12 一 Z O1 *[jimisoft: 未注册的软件只转换部分文件! 阅读帮助以了解如何注册。
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