初二数学知识点归纳.docx
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初二数学知识点归纳
12.1变量与函数
[变量和常量]
在一种变化过程中,数值发生变化量,咱们称之为变量,而数值始终保持不变量,咱们称之为常量。
[函数]
普通地,在一种变化过程中,如果有两个变量
与
,并且对于
每一种拟定值,
均有唯一拟定值与其相应,那么咱们就说
是自变量,
是
函数。
如果当
时
,那么
叫做当自变量值为
时函数值。
[自变量取值范畴拟定办法]
1、自变量取值范畴必要使解析式故意义。
当解析式为整式时,自变量取值范畴是全体实数;当解析式为分数形式时,自变量取值范畴是使分母不为0所有实数;当解析式中具有二次根式时,自变量取值范畴是使被开方数不不大于等于0所有实数。
2、自变量取值范畴必要使实际问题故意义。
[函数图像]
普通来说,对于一种函数,如果把自变量与函数每对相应值分别作为点横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点构成图形,就是这个函数图象.
[描点法画函数图形普通环节]
第一步:
列表(表中给出某些自变量值及其相应函数值);
第二步:
描点(在直角坐标系中,以自变量值为横坐标,相应函数值为纵坐标,描出表格中数值相应各点);
第三步:
连线(按照横坐标由小到大顺序把所描出各点用平滑曲线连接起来)。
[函数表达办法]
列表法:
一目了然,使用起来以便,但列出相应值是有限,不易看出自变量与函数之间相应规律。
解析式法:
简朴明了,可以精确地反映整个变化过程中自变量与函数之间相依关系,但有些实际问题中函数关系,不能用解析式表达。
图象法:
形象直观,但只能近似地表达两个变量之间函数关系。
12.2.1变量与函数
[正比例函数]
普通地,形如y=kx(k是常数,k≠0)函数,叫做正比例函数(proportionalfunction),其中k叫做比例系数.
[正比例函数图象和性质]
普通地,正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)图象是一条通过原点和(1,k)直线.咱们称它为直线y=kx.当k>0时,直线y=kx通过三、一象限,从左向右上升,即随x增大y也增大;当k<0时,直线y=kx通过二、四象限,从左向右下降,即随x增大y反而减小.
(1)解析式:
y=kx(k是常数,k≠0)
(2)必过点:
(0,0)、(1,k)
(3)走向:
k>0时,图像通过一、三象限;k<0时,图像通过二、四象限
(4)增减性:
k>0,y随x增大而增大;k<0,y随x增大而减小
(5)倾斜度:
|k|越大,越接近y轴;|k|越小,越接近x轴
[正比例函数解析式拟定]——待定系数法
1.设出具有待定系数函数解析式y=kx(k≠0)
2.把已知条件(一种点坐标)代入解析式,得到关于k一元一次方程
3.解方程,求出系数k
4.将k值代回解析式
12.2.2一次函数
[一次函数]
普通地,形如y=kx+b(k、b是常数,k
0)函数,叫做一次函数.当b=0时,y=kx+b即y=kx,因此正比例函数是一种特殊一次函数.
[一次函数图象及性质]
一次函数y=kx+b图象是通过(0,b)和(-
,0)两点一条直线,咱们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移)
(1)解析式:
y=kx+b(k、b是常数,k
0)
(2)必过点:
(0,b)和(-
,0)
(3)走向:
k>0,图象通过第一、三象限;k<0,图象通过第二、四象限
b>0,图象通过第一、二象限;b<0,图象通过第三、四象限
直线通过第一、二、三象限
直线通过第一、三、四象限
直线通过第一、二、四象限
直线通过第二、三、四象限
(4)增减性:
k>0,y随x增大而增大;k<0,y随x增大而减小.
(5)倾斜度:
|k|越大,图象越接近于y轴;|k|越小,图象越接近于x轴.
(6)图像平移:
当b>0时,将直线y=kx图象向上平移b个单位;
当b<0时,将直线y=kx图象向下平移b个单位.
[直线y=k1x+b1与y=k2x+b2位置关系]
(1)两直线平行:
k1=k2且b1
b2
(2)两直线相交:
k1
k2
(3)两直线重叠:
k1=k2且b1=b2
[拟定一次函数解析式办法]
(1)依照已知条件写出具有待定系数函数解析式;
(2)将x、y几对值或图象上几种点坐标代入上述函数解析式中得到以待定系数为未知数方程;
(3)解方程得出未知系数值;
(4)将求出待定系数代回所求函数解析式中得出成果.
[一次函数建模]
函数建模核心是将实际问题数学化,从而解决最佳方案、最佳方略等问题.建立一次函数模型解决实际问题,就是要从实际问题中抽象出两个变量,再谋求出两个变量之间关系,构建函数模型,从而运用数学知识解决实际问题.
正比例函数图象和一次函数图象在赋予实际意义时,其图象大多为线段或射线.这是由于在实际问题中,自变量取值范畴是有一定限制条件,即自变量必要使实际问题故意义.
从图象中获取信息普通是:
(1)从函数图象形状鉴定函数类型;
(2)从横、纵轴实际意义理解图象上点坐标实际意义.
解决具有各种变量问题时,可以分析这些变量关系,选用其中某个变量作为自变量,再依照问题条件谋求可以反映实际问题函数.
12.3用函数观点看方程(组)与不等式
[一元一次方程与一次函数关系]
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0(a,b为常数,a≠0)形式,因此解一元一次方程可以转化为:
当某个一次函数值为0时,求相应自变量值.从图象上看,相称于已知直线y=ax+b拟定它与x轴交点横坐标值.
[一次函数与一元一次不等式关系]
任何一种一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a,b为常数,a≠0)形式,因此解一元一次不等式可以看作:
当一次函数值大(小)于0时,求自变量取值范畴.
[一次函数与二元一次方程组]
(1)以二元一次方程ax+by=c解为坐标点构成图象与一次函数y=
图象相似.
(2)二元一次方程组
解可以看作是两个一次函数y=
和y=
图象交点.
13.1.1整式
[单项式]
数或字母积构成代数式叫做单项式.
单独一种数或一种字母也是单项式.
[单项式系数]
单项式中数字因数叫做这个单项式系数.
[单项式次数]
一种单项式中,所有字母指数和叫做这个单项式次数.
[多项式]
几种单项式和叫做多项式.多项式中每个单项式叫做多项式项,其中不含字母项叫常数项.
[多项式次数]
多项式中次数最高项次数即这个多项式次数.
[整式]
单项式与多项式统称为整式.
13.1.2整式加减
[同类项]
所含字母相似,并且相似字母指数也相似项叫做同类项.
[合并同类项]
把多项式中同类项合并成一项,即把它们系数相加作为新系数,而字母某些不变,叫做合并同类项.
几种整式相加减,通惯用括号把每一种整式括起来,再用加减号连接;然后去括号,再合并同类项.
13.2整式乘法
[同底数幂乘法]
am·an=am+n(m、n都是正整数)
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
[幂乘方]
(am)n=amn(m,n都是正整数)
幂乘方,底数不变,指数相乘.
[积乘方]
(ab)n=anbn(n是正整数)
积乘方等于把积每个因式分别乘方,再把所得幂相乘.
[单项式乘以单项式]
单项式与单项式相乘,把它们系数、相似字母分别相乘,对于只在一种单项式里具有字母,则连同它指数作为积一种因式.
[单项式乘以多项式]
单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式每一项,再把所得积相加.
[多项式乘以多项式]
多项式与多项式相乘,先用一种多项式每一项乘另一种多项式每一项,再把所得积相加.
13.3.1平方差公式
[平方差公式]
(a+b)(a-b)=a2-b2
两个数和与这两个数差积,等与这两个数平方差.
1.公式构造特性:
⑴左边是两个二项式相乘,这两个二项式中,有一项完全相似,另一项互为相反数.
⑵右边是这两个数平方差,即完全相似项与互为相反数项平方差(同号项2-异号项2).
2.公式应用:
⑴公式中字母
,
可以表达详细数,也可以表达单项式或多项式,只要符合公式构造特性,就可以用此公式进行计算.
⑵公式中
是不可颠倒,注意是同号项平方减去异号项平方,还要注意字母系数和指数.
⑶为了避免错误,初学时,可将成果用“括号”平方差表达,再往括号内填上这两个数.
如:
(a+b)(a-b)=a2-b2
↓↓↓↓↓↓
计算:
(1+2x)(1-2x)=
(1)2-(2x)2=1-4x2
13.3.2完全平方公式
[完全平方公式]
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
两数和(或差)平方,等于它们平方和加(或减)它们积2倍.
公式特性:
左边是一种二项式平方,右边是一种三项式(首平方,尾平方,二倍乘积在中央).
公式变形:
(a+b)2=(a-b)2+4aba2+b2=(a+b)2-2ab
(a-b)2=(a+b)2-4aba2+b2=(a-b)2+2ab
(a+b)2-(a-b)2=4ab
[公式推广](a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
13.4整式除法
[同底数幂除法]同底数幂相除,底数不变,指数相减.
am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数,并且m>n).
a0=1(a≠0)任何非零数零次幂是1.
[单项式除以单项式]
单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商因式,对于只在被除式里具有字母,则连同它指数作为商一种因式.
[多项式除以单项式]
多项式除以单项式,先把这个多项式每一项除以这个单项式,再把所得商相加.
13.5因式分解
[因式分解]
把一种多项式分解成几种整式积形式,叫做把这个多项式因式分解(或分解因式).
[提公因式法]
ac+bc=(a+b)c
[公式法]
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
[十字相乘法]
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
14.1全等三角形
[全等形]
可以完全重叠两个图形叫做全等形.
[全等三角形]
可以完全重叠两个三角形叫做全等三角形.重叠顶点叫做相应顶点,重叠边叫做相应边,重叠角叫做相应角.
[全等三角形性质]
全等三角形相应边相等,全等三角形相应角相等
[找相应边、相应角办法]
(1)公共边是相应边,公共角是相应角
(2)相应角所对边是相应边,相应边所对角是相应角
(3)相应角所夹边是相应边,相应边所夹角是相应角
(4)最长(最短)边是相应边,最大(最小)角是相应角
(5)平行边是相应边,对顶角是相应角
14.2三角形全等条件
[边边边]
三边相应相等两个三角形全等.(SSS)
[边角边]
两边和它们夹角相应相等两个三角形全等.(SAS)
[角边角]
两角和它们夹边相应相等两个三角形全等.(ASA)
[角角边]
两个角和其中一种角对边相应相等两个三角形全等.(AAS)
[斜边、直角边]
斜边和一条直角边相应相等两个直角三角形全等.(HL)
14.3角平分线性质
[角平分线作法]
教科书第113页
[角平分线性质]
在角平分线上点到角两边距离相等.
∵OP平分∠AOB,PM⊥OA于M,PN⊥OB于N,
∴PM=PN
[角平分线鉴定]
到角两边距离相等点在角平分线上.
∵PM⊥OA于M,PN⊥OB于N,PM=PN
∴OP平分∠AOB
[三角形角平分线性质]
三角形三个内角平分线交于一点,并且这一点到三边距离相等.
15.1轴对称
[轴对称图形]
如果一种图形沿某一条直线折叠,直线两旁某些可以互相重叠,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它对称轴.毛
有轴对称图形对称轴不止一条,如圆就有无数条对称轴.
[轴对称]
有一种图形沿着某一条直线折叠,如果它可以与另一种图形重叠,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重叠点是相应点,叫做对称点.两个图形关于直线对称也叫做轴对称.[图形轴对称性质]
如果两个图形成轴对称,那么对称轴是任何一对相应点所连线段垂直平分线;轴对称图形对称轴是任何一对相应点所连线段垂直平分线.
[轴对称与轴对称图形区别]
轴对称是指两个图形之间形状与位置关系,成轴对称两个图形是全等形;轴对称图形是一种具备特殊形状图形,把一种轴对称图形沿对称轴提成两个图形,这两个图形是全等形,并且成轴对称.
[线段垂直平分线]
(1)通过线段中点并且垂直于这条线段直线,叫做这条线段垂直平分线(或线段中垂线).
(2)线段垂直平分线上点与这条线段两个端点距离相等;反过来,与一条线段两个端点距离相等点在这条线段垂直平分线上.因而线段垂直平分线可以当作与线段两个端点距离相等所有点集合.
15.2.1轴对称变换
[轴对称变换]
由一种平面图形得到它轴对称图形叫做轴对称变换.
成轴对称两个图形中任何一种可以看着由另一种图形通过轴对称变换后得到.
[轴对称变换性质]
(1)通过轴对称变换得到图形与原图形形状、大小完全同样
(2)通过轴对称变换得到图形上每一点都是原图形上某一点关于对称轴对称点.
(3)连接任意一对相应点线段被对称轴垂直平分.
[作一种图形关于某条直线轴对称图形]
(1)作出某些核心点或特殊点对称点.
(2)按原图形连接方式连接所得到对称点,即得到原图形轴对称图形.
15.2.2用坐标表达轴对称
[关于坐标轴对称]
点P(x,y)关于x轴对称点坐标是(x,-y)
点P(x,y)关于y轴对称点坐标是(-x,y)
[关于原点对称]
点P(x,y)关于原点对称点坐标是(-x,-y)
[关于坐标轴夹角平分线对称]
点P(x,y)关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称点坐标是(y,x)
点P(x,y)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y=-x对称点坐标是(-y,-x)
[关于平行于坐标轴直线对称]
点P(x,y)关于直线x=m对称点坐标是(2m-x,y);
点P(x,y)关于直线y=n对称点坐标是(x,2n-y);
15.3.1等腰三角形
[等腰三角形]
有两条边相等三角形是等腰三角形.相等两条边叫做腰,另一条边叫做底边.两腰所夹角叫做顶角,腰与底边夹角叫做底角.
[三角形按边分类]
三角形
[等腰三角形性质]
性质1:
等腰三角形两个底角相等(简写成“等边对等角”)
性质2:
等腰三角形顶角平分线、底边上中线、底边上高互相重叠.
特别:
(1)等腰三角形是轴对称图形.
(2)等腰三角形两腰上中线、角平分线、高线相应相等.
[等腰三角形鉴定定理]
如果一种三角形有两个角相等,那么这两个角所对边也相等(简写成“等角对等边”).
特别:
(1)有一边上角平分线、中线、高线互相重叠三角形是等腰三角形.
(2)有两边上角平分线相应相等三角形是等腰三角形.
(3)有两边上中线相应相等三角形是等腰三角形.
(4)有两边上高线相应相等三角形是等腰三角形.
[运用“三角形奠基法”作图]
依照已知条件先作出一种与所求图形有关三角形,然后再以这个图形为基本,作出所求三角形.
15.3.2.等边三角形
[等边三角形]
三条边都相等三角形叫做等边三角形,也叫做正三角形.
[等边三角形性质]
等边三角形三个内角都相等,并且每一种内角都等于60°
[等边三角形鉴定办法]
(1)三条边都相等三角形是等边三角形;
(2)三个角都相等三角形是等边三角形;
(3)有一种角是60°等腰三角形是等边三角形.
[直角三角形性质]
在直角三角形中,如果一种锐角等于30°,那么它所对直角边等于斜边一半.
[三角形中边角不等关系]
(1)在一种三角形中,如果两条边不等,那么它们所对角也不等,大边所对角较大.(简称为:
大边对大角)
(2)在一种三角形中,如果两个角不等,那么它们所对边也不等,大角所对边较大.(简称为:
大角对大边)
[添加辅助线口诀]
几何证明难不难,核心常在辅助线;
知中点、作中线,倍长中线把线连.
线段垂直平分线,常向两端来连线.
线段和差及倍分,延长截取全等现;
公共角、公共边,隐含条件要挖掘;
平移对称加旋转,全等图形多变换.
角平分线取一点,可向两边作垂线;
也可将图对折看,对称之后关系现;
角平分线加平行,等腰三角形来添;
角平分线伴垂直,三线合一试试看。
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