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整除
能被100以内质数整除的数的特征
为了培养学生对数学学习的兴趣,提高学生自主探究的欲望,培养学生的思维能力。
在学生学了《因数与倍数》后,我突然灵感一来,何不让学生探究能被7、11、13、…整除的特征呢?
于此我设计了一节课。
上课时我先要求所有学生任意写出一个多位数,然后用写出的这个数减去这个多位数各个数字之和,把所得的差隐瞒一个数字让老师来猜,隐瞒的数字是几。
你们说能猜出来吗?
学生:
肯定的回答不可能!
我们写得数又不会相同。
教师:
那就试一试就知道了。
学生:
“我算的是四位数,其中三个数字652__(板述)请问隐瞒的数字?
”
教师:
是5。
学生:
对。
学生:
“我算的是三位数,其中二个数字82__(板述)请问隐瞒的数字?
”
教师:
是8。
学生:
对。
学生:
“我算的是七位数,其中六个数字825624__(板述)请问隐瞒的数字?
”
教师:
不是0就是9。
学生:
对。
(学生兴趣盎然。
)
学生:
老师这是为什么吗?
教师:
你们要想知道为什么那就来看你们的得数:
6525、828、8256240或8256249;它们的数字和是18、18、27、36,都是9的倍数。
如此秘诀是:
因为任意一个多位数减去这个多位数各个数所得的差是9的倍数;而被9整除的数的特征:
一个数的各位数字之和能被9整除。
我们已经知道能被2或5整除的数的特征:
这个数的末一位数字能被2或5整除。
能被4或25整除的数的特征:
这个数的末两位数字所表示的数能被4或25整除。
这个数的末三位数字所表示的数能被8或125整除。
能被9或3整除的数的特征:
一个数的各位数字之和能被9或3整除。
今天就来探究能被7、11、13、…整除的数的特征:
要探究能被7、11、13、…整除的数的特征。
先必须与它们有倍数关系的数入手。
如:
7的倍数:
0、7、14、21、35、42、49、56、63、70、77…;通过观察发现一个整数的个位数字扩大2倍与这个数去掉个位数字后的数的差(得到差后可重复进行),若最后结果能被7整除,则该数就能被7整除。
否则就不能。
如:
728:
72-8×2=56;6×2-5=7;728÷7=104。
由于学生快速找出,我不得改变我的策略,迅速把学生分成两组男找“11”、女找“13”然后汇总。
这时学生探究欲望更强了,有的忙于验证,有的忙于探究,整个气氛紧张而又热烈。
因此得出能被11整除的数的特征:
A一个整数的个位数字与去掉个位数字后的数的数的差(得到差后可重复进行),若最后结果能被11整除,则该数就能被11整除。
否则就不能。
如:
319:
31-9=22;2-2=0;319÷11=29。
B一个整数的偶数位上数字之和与奇数位上数字之和的数的差(或反过来),若结果能被11整除,则该数就能被11整除。
否则就不能。
能被13整除的数的特征:
一个整数的个位数字去掉后扩大3倍与个位数字的数的差(得到差后可重复进行),若最后结果能被13整除,则该数就能被13整除。
否则就不能。
如:
169:
16×3-9=39;3×3-9=0;169÷13=13。
今天我们探究出“能被7、11、13、…整除的数的特征”,体验到了成功的喜悦;也感受到数学中存在无穷的规律,有待于我们去探究去发现。
而今天探究用的方法是先分别列举出这些数的倍数,然后提出猜想(末位数或末两位数有关)、再验证、得出结论。
知识是无穷,需要我们不懈的努力去发现为生活服务。
因此,希望同学们分组行动分别探究出100以内所有能被质数整除的数的特征。
现将探究能被100以内质数整除的数特征的结论如下:
能被2或5整除的数的特征:
这个数的末一位数字能被2或5整除。
能被3整除的数的特征:
一个数的各位数字之和能被3整除。
能被7、11、13整除的数的特征:
(1)能被7整除的数的特征:
一个整数的个位数字扩大2倍与这个数去掉个位数字后的数的差(得到差后可重复进行),若最后结果能被7整除,则该数就能被7整除。
否则就不能。
如:
728:
72-8×2=56;6×2-5=7;728÷7=104。
(2)能被11整除的数的特征:
A一个整数的个位数字与去掉个位数字后的数的数的差(得到差后可重复进行),若最后结果能被11整除,则该数就能被11整除。
否则就不能。
如:
319:
31-9=22;2-2=0;319÷11=29。
B一个整数的偶数位上数字之和与奇数位上数字之和的数的差(或反过来),若结果能被11整除,则该数就能被11整除。
否则就不能。
(3)能被13整除的数的特征:
一个整数的个位数字去掉后扩大3倍与个位数字的数的差(得到差后可重复进行),若最后结果能被13整除,则该数就能被13整除。
否则就不能。
如:
169:
16×3-9=39;3×3-9=0;169÷13=13。
(4)这个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差(或反过来)能被7、11、13整除。
能被17整除的数的特征:
一个整数的个位数字去掉后与个位数字的5倍的数的差(得到差后可重复进行),若最后结果能被17整除,则该数就能被17整除。
否则就不能。
如:
918:
91-8×5=51;5-1×5=0;918÷17=54。
能被19整除的数的特征:
一个整数的个位数字扩大2倍与去掉个位数字后的数的和(得到和后可重复进行),若最后结果能被19整除,则该数就能被19整除。
否则就不能。
如:
171:
17+1×2=19;171÷19=9
能被23整除的数的特征:
一个整数的个位数字扩大7倍与去掉个位数字后的数的和(得到和后可重复进行),若最后结果能被23整除,则该数就能被23整除。
否则就不能。
如:
184:
18+4×7=46;4+6×7=46;(运算时出现得数重复为止)184÷23=8。
能被29整除的数的特征:
一个整数的个位数字扩大3倍与去掉个位数字后的数的和(得到和后可重复进行),若最后结果能被29整除,则该数就能被29整除。
否则就不能。
如:
203:
20+3×3=29;203÷29=7。
能被31整除的数的特征:
一个整数的个位数字扩大3倍与去掉个位数字后的数的差(得到差后可重复进行),若最后结果能被31整除,则该数就能被31整除。
否则就不能。
如:
589:
58-9×3=31;589÷31=19。
81685:
8168-5×3=8153;815-3×3=806;80-6×3=62;6-2×3=0;
则81685÷31=2635。
能被37整除的数的特征:
一个整数的个位数字扩大11倍与去掉个位数字后的数的差(得到差后可重复进行),若最后结果能被37整除,则该数就能被37整除。
否则就不能。
如:
407:
7×11-40=37;407÷37=11。
1665:
166-5×11=111;11-1×11=0;1665÷37=45。
能被41整除的数的特征:
一个整数的个位数字扩大4倍与去掉个位数字后的数的差(得到差后可重复进行),若最后结果能被41整除,则该数就能被41整除。
否则就不能。
如:
3977:
397-7×4=369;36-9×4=0;3977÷41=97。
能被43整除的数的特征:
(1)一个整数去掉末两位数字后扩大14倍与末两位数字的数的和(得到和后可重复进行),若最后结果能被43整除,则该数就能被43整除。
否则就不能。
如:
215:
2×14+15=43;215÷43=5。
(2)一个整数的个位数字扩大13倍与去掉个位数字后的数的和(得到和后可重复进行),若最后结果能被43整除,则该数就能被43整除。
否则就不能。
如:
42441:
4244+1×13=4257;425+7×13=516;51+6×13=129;12+9×13=129;(运算时出现得数重复为止)42441÷43=987。
能被47整除的数的特征:
(1)一个整数的个位数字扩大14倍与去掉个位数字后的数的差(得到差后可重复进行),若最后结果能被47整除,则该数就能被47整除。
否则就不能。
如:
5546:
554-6×14=470;47-0×14=47;5546÷47=118。
(2)一个整数去掉个位数字后扩大3倍与这个整数个位数字扩大5倍的和(得到和后可重复进行),若最后结果能被47整除,则该数就能被47整除。
否则就不能。
如:
5546:
554×3+6×5=1692;169×3+2×5=517;51×3+7×5=188;18×3+8×5=94;9×3+4×5=47;5546÷47=118。
能被53整除的数的特征:
(1)一个整数的末两位数字与这个整数去掉末两位数字后的扩大6倍的数的差(得到差后可重复进行),若最后结果能被53整除,则该数就能被53整除。
否则就不能。
如:
5247:
52×6-47=265;65-2×6=53;5247÷53=99。
(2)一个整数去掉个位数字后扩大3倍与这个整数个位数字扩大5倍的数的差(得到差后可重复进行),若最后结果能被53整除,则该数就能被53整除。
否则就不能。
如:
4611:
461×3-1×5=1378;137×3-8×5=371;37×3-1×5=106;10×3-6×5=0;4611÷53=87。
能被59整除的数的特征:
(1)一个整数去掉个位数字后与这个整数个位数字扩大6倍的数的和(得到和后可重复进行),若最后结果能被59整除,则该数就能被59整除。
否则就不能。
如:
5723:
572+3×6=590;59+0×6=59;5723÷59=97。
(2)一个整数去掉个位数字后扩大8倍与这个整数个位数字扩大11倍的数的差(得到差后可重复进行),若最后结果能被59整除,则该数就能被59整除。
否则就不能。
如:
177:
17×8-7×11=59;177÷59=3。
能被61整除的数的特征:
一个整数去掉个位数字后与这个整数个位数字扩大6倍的数的差(得到差后可重复进行),若最后结果能被61整除,则该数就能被61整除。
否则就不能。
如:
671:
67-1×6=61;671÷61=11。
能被67整除的数的特征:
(1)一个整数的末两位数字扩大2倍与这个整数去掉末两位数字后的数的差(得到差后可重复进行),若最后结果能被67整除,则该数就能被67整除。
否则就不能。
如:
2077;77×2-20=134;34×2-1=67;2077÷67=31。
(2)一个整数去掉个位字数后扩大3倍与这个整数个位数字扩大7倍的数的和(得到和后可重复进行),若最后结果能被67整除,则该数就能被67整除。
否则就不能。
如:
134:
13×3+4×7=67;134÷67=2。
能被71整除的数的特征:
一个整数去掉个位数字后与这个整数个位数字扩大7倍的数的差(得到差后可重复进行),若最后结果能被71整除,则该数就能被71整除。
否则就不能。
如:
639:
63-9×7=0;639÷71=9。
能被73整除的数的特征:
一个整数去掉末两位数字后扩大27倍与这个整数的末两位数字的数的和(得到和后可重复进行),若最后结果能被73整除,则该数就能被73整除。
否则就不能。
如:
5329;53×27+29=1460;14×27+60=438;4×27+38=146;1×27+46=73;5329÷73=73。
能被79整除的数的特征:
一个整数去掉个位字数后与这个整数个位数字扩大8倍的数的和(得到和后可重复进行),若最后结果能被79整除,则该数就能被79整除。
否则就不能。
如:
869;86+9×8=158;15+8×8=79;869÷79=11。
能被83整除的数的特征:
(1)一个整数去掉末两位数字后扩大17倍与这个整数的末两位数字的数的和(得到和后可重复进行),若最后结果能被83整除,则该数就能被83整除。
否则就不能。
如:
2241:
22×17+41=415;4×17+15=83;2241÷83=27。
(2)一个整数去掉个位数后与这个整数个位数字扩大25倍的数的和(得到和后可重复进行),若最后结果能被83整除,则该数就能被83整除。
否则就不能。
如:
747:
74+7×25=249;24+9×25=249;(运算时出现得数重复为止)747÷83=9。
能被89整除的数的特征:
一个整数去掉个位数字后与这个整数个位数字扩大9倍的数的和(得到和后可重复进行),若最后结果能被89整除,则该数就能被89整除。
否则就不能。
如:
1513:
151+3×9=178;17+8×9=89;1513÷89=17。
能被97整除的数的特征:
一个整数去掉末两位数字后扩大3倍与这个整数的末两位数字的数的和(得到和后可重复进行),若最后结果能被97整除,则该数就能被97整除。
否则就不能。
如:
2231;22×3+31=97;2231÷97=23。
总之我得出的结论还有些不尽人意(有些结论计算过于复杂没有一一列出),但所提出的问题让学生探究:
对学生思维的开发、对学生合作探究是有意的。
以上供老师和学生参考请多提保贵意见。
判断一个数能否被7整除,有两种方法:
①割尾法:
若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。
例如,判断133是否7的倍数的过程如下:
13-3×2=7,所以133是7的倍数;又例如判断6139是否7的倍数的过程如下:
613-9×2=595,59-5×2=49,所以6139是7的倍数,余类推。
割尾法:
证明过程:
设p=a1+a2*10+a3*10^2+...+a(n-1)*10^(n-1)+an*10^n
q=a2+a3*10+...+a(n-1)*10^(n-2)+an*10^(n-1)-2a1
2p+q=21(a2+a3*10+...+an*10^(n-1))
又因为21=7*3,所以若p是7的倍数,那么可以得到q是7的倍数
②末三法:
这个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(反过来也行)能被7、11、13整除。
这个数就能被7、11、13整除。
例如:
1005928
末三位数:
928,末三位之前:
10051005-928=77
因为7|77,所以7|1005928
末三法,简略证明:
设一个数为ABCDEF=ABC×1000+DEF=ABC×1001-ABC+DEF=ABC×7×13×11-(ABC-DEF),由此可见只要ABC-DEF能被7整除,则ABCDEF能被7整除。
数的整除的特征
(1)1与0的特性:
1是任何整数的约数,即对于任何整数a,总有1|a.
0是任何非零整数的倍数,a≠0,a为整数,则a|0.
(2)若一个整数的末位是0、2、4、6或8,则这个数能被2整除。
(3)若一个整数的数字和能被3整除,则这个整数能被3整除。
(4)若一个整数的末尾两位数能被4整除,则这个数能被4整除。
(5)若一个整数的末位是0或5,则这个数能被5整除。
(6)若一个整数能被2和3整除,则这个数能被6整除。
(7)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。
例如,判断133是否7的倍数的过程如下:
13-3×2=7,所以133是7的倍数;又例如判断6139是否7的倍数的过程如下:
613-9×2=595,59-5×2=49,所以6139是7的倍数,余类推。
(8)若一个整数的未尾三位数能被8整除,则这个数能被8整除。
(9)若一个整数的数字和能被9整除,则这个整数能被9整除。
(10)若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除。
(11)若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理!
过程唯一不同的是:
倍数不是2而是1!
(12)若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除。
(13)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果差是13的倍数,则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。
(14)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。
(15)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2倍,如果差是19的倍数,则原数能被19整除。
如果差太大或心算不易看出是否19的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。
(16)若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除,则这个数能被17整除。
(17)若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除,则这个数能被19整除。
(18)若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除,则这个数能被23整除
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