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整除
1.1整数和整除的意义
重点、难点
理解和掌握整除的概念。
教学过程
一、建立整数和自然数的概念:
在数物体的时候,用来表示物体个数的数1、2、3、4……,叫做正整数。
在正整数1、2、3、4……的前面添上“—”号,得到的数-1、-2、-3、-4……,叫做负整数。
零和正整数统称为自然数。
正整数、零和负整数,统称为整数。
2、把下列各数填在适当的圈内:
12、-6、0、1.23、
、2005、-19.6、9
正整数自然数整数
二、建立整除的概念:
归纳:
整数a除以整数b,如果除得的商正好是整数而没有余数,我们就说a能被b整除,或者说b能整除a。
2、判断下列哪一个算式的被除数能被除数整除
10÷348÷86÷4(教师板演)
教师引导归纳;
(1)除数、被除数都是整数。
(2)被除数除以除数,商是整数而且没有余数。
4、一展身手:
(1)有15位同学参加学校组织的夏令营活动,老师准备把她们平均分成若干小组,有几种分法能?
有可能把他们平均分成4个小组吗?
为什么?
(2)一班同学分成四个小组糊纸盒,每组糊的个数同样多,小马虎统计时说:
全班共糊纸盒342个,小马虎统计错了?
为什么?
1.2能被2、5整除的数
教学重点:
对奇数、偶数的理解。
教学难点:
对能被2、5整除的整数特征的揭示。
教学过程:
一、教师引导、学生探究
1、让每位同学各写10个整数;
2、你所写的整数中哪些能被2整除?
哪些能被5整除?
3、你能发现被2整除的整数的特征吗?
能被5整除的整数的特征?
二、归纳总结、得出规律
1、能被2整除的整数,个位上数字为0、2、4、6、8。
能被5整除的整数,个位上数字为0、5。
2根据这一特征你能随意写出能被2整除或能被5整除的整数吗?
既能被2整除又能被5整除的整数特征又是什么?
三、偶数与奇数的概念
1、定义:
如果一个整数能被2整除,称该整数为偶数。
如果一个整数不能被2整除,称该整数为奇数。
2、整数的分类
3、奇、偶数经过运算后的变化情况:
奇
奇=偶偶
偶=偶奇
偶=偶
奇
奇=奇偶
偶=偶奇
偶=偶
注:
相邻两个整数之和(之差)为奇数,之积为偶数。
1.3因数和倍数
重点、难点
1、理解和掌握因数和倍数的意义
2、引导学生探索并理解因数和倍数之间的相互依存的关系。
教学过程
一、创设情景,引出概念
1、问题情景:
有12块边长是1个单位长度的的正方形可以拼成几个形状不同的长方形?
它们的长和宽分别是多少?
(第一问先请学生独立画出草图,然后小组交流。
第二问在第一问的基础上共同完成。
)
2、12与1、2、3、4、6、12有什么关系?
看书P6(概念)
3、说说12与1、2、3、4、6、12有的关系。
(同桌互相交流)
判断:
能不能说12是倍数,3是因数?
强调:
因数与倍数是相互依存的。
如果光说谁是倍数,或谁是因数是不完整的。
4、火眼金睛:
你认为哪些是对的,哪些是错的,错在哪儿?
(1)42÷6=7,所以42是6的倍数,6是42的因数
(2)42÷6=7,所以42是倍数,6是因数
(3)42÷9=4┄┄6,所以42是9的倍数,9是42的因数
(4)4.2÷0.6=7,所以4.2是0.6的倍数,0.6是4.2的因数
(5)4.2÷0.6=7,所以4.2是0.6的7倍。
通过检测,你对倍数和因数有什么新的认识?
二、求一个数的因数和倍数
1.例118的因数有哪几个?
分析:
18的因数是指什么样的数?
18能被哪些数整除?
试着求出20、9的因数。
2、观察18、20、9的因数,你发现了什么?
还发现了什么规律?
归纳:
一个数的因数是有限的。
最小的因数是1,最大的因数是它本身。
一个数的因数通常是成对出现的。
2.例22的倍数有哪些?
分析:
什么样的数是3的倍数?
哪些数能被3整除?
3×1=33÷3=1
3×2=66÷3=2
3×3=99÷3=3
…………
提问:
省略号表示什么意思?
可以不写吗?
试着求出4、5的倍数
4、观察从上面几个例子,发现了什么?
为什么一个数没有最大的倍数?
归纳:
一个数的倍数的个数是无限的。
最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。
练习P74
三、巩固练习
判断
(1)15的倍数一定大于15。
…………………………………()
(2)一个数的最大因数和它的最小倍数相等。
……………()
(3)36的最小倍数和最大因数都是36。
……………………()
(4)1没有因数。
………………………………………………()
(5)40以内6的倍数有12、18、24、30、36这五个。
……()
五、课堂小结
1、因数和倍数有什么关系?
2、如何求一个数的因、数?
找一个数的因数时,如何防止遗漏?
1、如何求一个数的倍数?
六、布置作业
1.4素数、合数与分解素因数(第一课时)
教学重点:
分解素因数
教学难点:
素数与分数、合数与偶数概念的辨析
教学过程:
一、素数、合数概念的引发
由此可以发现,有些整数只有一个因数,有些有2个因数,即1和本身,有些有3个、4个……
二、素数、合数概念的形成
1、概念:
我们把只含有因数1和本身的整数叫做素数或质数,如果除了1和它本身还
有别的因数,这样的数叫做合数。
2、你能写出几个素数?
几个合数?
三、对概念的认识
探讨一:
1)1是素数还是合数?
2是素数还是合数?
2)除1外你能举出一个既不是素数也不是合数的整数吗?
3)是否存在这样的正整数,既是素数,又是合数?
4)按素数、合数对正整数分类,可分为几类?
探讨二:
1)合数与偶数、素数与奇数相同吗?
若不同,你能讲出区别吗?
(举例说明)
2)整数1到底是什么“身份”?
你能讲清楚吗?
1.4素数、合数与分解素因数(第二课时)
教学重点:
分解素因数
教学难点:
素数与分数、合数与偶数概念的辨析
教学过程:
创设情景引入新课
每位同学写出两个整数,然后再将它们写成几个素数相乘的形式。
(请几位同学板书)有没有哪位同学所写的整数不能写成几个素数的乘积?
由此你能得出怎样的结论?
(每个合数都可以写成几个素数相乘的形式……)教师总结:
引出素因数、分解素因数。
如何将一个合数分解素因数?
分解素因数的方法
1)“树枝分解法”
例:
将48、35、60分解素因数
(图省略)
48=
35=
60=
说明:
先将该合数分解成两个因数之积,再将其中的合数分解,一直分到不能再分为止。
短除法
例2:
把24、35、64分解素因数
说明:
用短除法分解素因数的步骤如下:
1,2,3。
…(见课本)
特别强调这种方法的解题程序,并且设计多种形式的训练,以达到熟练掌握。
计算器分解法
例:
将1334分解素因数
说明:
首先用计算器将合数分成两个整数之积,再分别对两个整数进行分解,最终化为素数之积的形式。
探讨;
分解素因数与分解因数有何相同点和不同点?
学生练习:
P14练习1、4
(2)
课堂总结:
学生学习的感受。
作业:
练习册。
1.5公因数和最大公因数
【教学重点与难点】理解公因数,最大公因数和素因数的意义,并会求两个数的公因数,最大公因数,知道互素和素数有什么区别.
教学过程设计
一、情景引入
练习:
请大家拿出练习本,分别写出6的因数,8的因数
6的因数:
1、2、3、6
8的因数:
1、2、4、8
教师:
太好了,我们已经学会找一个数的因数
那么请你们仔细看一看,
学生不难答出6和8的公有的因数是1和2
猜想:
这样老师就可以让学生猜想几个数的公因数的定义:
几个数共有的因数,叫做这几个数的公因数,其中最大的一个数叫做这几个数的最大公因数
二、学习新课
问题的提出:
植树节这天,老师带领24名女生和32名男生到植物园种树,老师把这些学生分成人数相等的若干个小组,每个小组的男生人数都相等,请问,这56名同学最多分成几组?
问题的分析:
1.24和32的因数是多少?
2.24和32的公因数是多少?
3.24和32的最大公因数是多少?
问题的答案:
24的因数有:
1,2,3,4,6,8,12,24
32的因数有:
1,2,4,8,16,32
24和32的公因数是1,2,4,8
24和32的最大公因数是8
问题的引伸:
因此老师最多可以把这些学生分成8组,每组中分别有3名女生和4名男生
例题1求8和9的所有公因数,并求它们的最大公因数
解:
8的因数有1,2,4,8
9的因数有1,3,9
8和9只有公因数1,因此8和9的最大公因数是1
如果两个整数只有公因数1,那么称这两个数互素
例题1中的8和9就是互素的
例题28和12各有哪些因数,它们公有的因数是哪几个?
最大的公有的因数是多少?
学生口答教师板书:
8的因数有1,2,4,8
12的因数有1,2,3,4,6,12
8和12公有的因数有1,2,4
8和12的最大的公有的因数有4
教师:
下面用图表示(几何画板演示)
教师:
第二幅中阴影部分表示什么?
(8和12公有的因数,4是最大的。
)
再次强调:
几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公因数
例题3求18和30的最大公因数
解法118的因数有1,2,3,6,9,18
30的因数有1,2,3,5,6,10,15,30
18和30的公因数有1,2,3,6
最大的公因数是6
拓展以上的例题3有没有更快捷的方法呢?
解法2:
把18和30分别分解素因数
18=2×3×3
30=2×3×5
可以看出,18和30全部共有的素因数是2和3,因此2和3的乘积6就是18和30的最大公因数
求几个整数的最大公因数,只要把它们所有的素因数连乘,所得的积就是它们的最大公因数
解法3为了简便,也可以用短除法计算
18和30的最大公因数是2×3=6
例题4求48和60的最大公因数
解:
48和60的最大公约数是2×2×3=12
三、巩固练习
1.口答填空:
12的因数是( );
18的因数是( );
12和18的公因数是( );
12和18的最大公因数是( )
2.把15和18的因数、公因数分别填在下面的圈里,再找出它们的最大公因数
请找出下面各组数的公因数:
5和7 8和9 1和129和15
7和9 16和20
答案:
学生口答后老师在每组后面标出公因数。
5和7
(1) 8和9
(1) 1和12
(1)
9和15(1,3) 7和9
(1) 16和20(1,2,4)
3.快速回答:
24的因数是( );
36的因数是( );
54的因数是( );
24,36和54的公因数是( );
24,36和54的最大公因数是( )
四、找规律
观察:
(1)3和5的最大公因数是;
(2)18和36的最大公因数是;
(3)6和7的最大公因数是;
(4)8和15的最大公因数是
通过求这四组数中的最大公因数,你发现了什么规律?
规律:
两个整数中,如果某个数是另一个数的因数,那么这个数就是这两个数的最大公因数,如果两个数互素,那么它们的最大公因数就是1
五、布置作业
1.练习1.51,2,3
2.复习所学的知识
3.预习新课
1.6公倍数与最小公倍数
【教学重点和难点】会合理使用列举法、分解素因数法、短除法求两个数的最小公倍数
教学过程设计
一、情景导入
问题的提出:
在上海南站,地铁1号线每隔3分钟发车,轨道交通3号线每隔4分钟发车,如果地铁1号线和轨道交通3号线早上6:
00同时发车,那么至少再过多少时间它们又同时发车?
问题的分析:
早晨6点以后地铁1号线发车间隔的时间(分钟)是3的倍数,
而轨道交通3号线发车的时间(分钟)是4的倍数,
这个问题可以转化为求3和4的最小公倍数
师(启发式):
谁能用自己的话说一说什么叫公倍数?
问题的探究:
1、看了这个问题题,你想在这节课中了解些什么?
请学生写在纸上,并贴到黑板上。
2、四人一组合作解决1--2个问题,举例说明,组长笔录。
3、成果汇报:
(由学生任选一种方法)
(1)公倍数有多少个?
(2)求最小公倍数的方法
问题的解决:
3的倍数有:
3,6,9,12,15,18,21,24,27…
4的倍数有:
4,8,12,16,20,24,28,36,40…
3和4公有的倍数有:
12,24…其中最小的一个是12
所以12分钟后地铁1号线和轨道3号线再次同时发车
二、新知识的探索
几个整数的公有的倍数叫做他们的公倍数,其中最小的一个叫做它们的最小公倍数.
例题1求18和30的最小公倍数.
(这个题可以让学生先做,在上个问题的分析的基础上,学生对这个问题会很感兴趣,可以采取比赛的方法)
解法1:
18的倍数有18,36,54,72,90,…;
30的倍数有30,60,90,120,160,….
所以18和30的最小公倍数是90.
拓展:
又没有更快捷的方法呢?
解法2:
把18和30分解素因数
18=2×3×3
30=2×3×5
探究:
18和30的公倍数里,应当既包含18的所有素因数,又包括30的所有素因数,但相同的素因数可以只取一个,只要取出18,30的所有公有的素因数(1个2和1个3),再取各自剩余的素因数(3和5),将这些数连乘,所得得积2×3×3×5(90)就是30和18的最小公倍数
所以18和30的最小公倍数是90(2×3×3×5)
这个方法学生比较容易接受
归纳:
求两个整数的最小公倍数,只要取它们所有公有的素因数,再取它们各自剩余的素因数,将这些数连乘,所得得积就是这两个数的最小公倍数
拓宽:
在上面的问题中还有其它的方法吗?
--------可以用短除法
解法3
18和30的最小公倍数是2×3×3×5=90
三、巩固加深
课堂练习
1.求36和84的最小公倍数
在解这个题的时候,不要说明用哪一个方法好,学生们会在摸索的时候发现短除法的优势
解:
36和84的最小公倍数是2×2×3×3×7=252
2.求30和45的最大公因数和最小公倍数
在解这个题的时候,也是不要说明用哪一个方法好,学生们会在摸索的时候发现短除法的优势,他们开始理解这个方法
30和45的最大公因数是3×5=15
30和45的最小公倍数3×3×2×5=90
1.6公倍数与最小公倍数
【教学重点和难点】会合理使用列举法、分解素因数法、短除法求两个数的最小公倍数
教学过程设计
1.问题的提出:
3和5的最小公倍数是;
18和36的最小公倍数是;
8和9的最小公倍数是;
8和15的最小公倍数是.
通过求这四组数的最小公倍数,你发现了什么规律了吗?
如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数,那么这个数就是它们的最小公倍数,如果两个数互素,那么它们的乘积就是它们的最小公倍数
2.问题的提出:
最大公约数与最小公倍数之间有什么关系?
最小公倍数是两个数的最大公约数与各自独有素因数的乘积
3.问题的提出:
求最小公倍数与求最大公因数比较有什么异同之处?
(分组讨论)
短除法与分解素因数有什么联系?
任选一种方法,求下列各组数的最小公倍数(第一组必做,其它可任选,看谁做的又快又多又正确):
16和20;65和130;4和15;18和24。
再次强调:
当两个数是互素数时,最小公倍数是这两个数的乘积;当两个数有倍数关系时,最小公倍数是较大的数。
4.问题的提出:
:
求两个数的最大公约数和最小公倍数在求法上有什么相同点?
有什么不同点?
相同点都是用短除法分解素因数,直到两个商是互素数为止。
不同点是求最大公约数是把所有的除数乘起来,而求最小公倍数是把所有的除数和商乘起来。
如图:
求两个数的最大公约数
求两个数的最小公倍数
相同点
用短除法分解素因数,直到两个商是互素数为止
用短除法分解素因数,直到两个商是互素数为止
不同点
把所有的除数乘起来
把所有的除数和商乘起来
规律:
这两种不同求法用的是同一个短除式,因此写一个短除式就可以了。
要求最大公约数就把这两个数的除数相乘,要求最小公倍数就把除数和商乘起来。
完成短除式后,求最大公约数是乘半边,求最小公倍数是乘半圈。
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