学生版西城区九年级期末数学备考训练二次函数.docx
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学生版西城区九年级期末数学备考训练二次函数
2020西城区九年级期末数学备考训练二次函数
一.选择题(共18小题)
1.抛物线y=3(x﹣1)2+5的顶点坐标是( )
A.(3,5)B.(1,5)C.(3,1)D.(﹣1,5)
2.下列关于二次函数y=2x2的说法正确的是( )
A.它的图象经过点(﹣1,﹣2)
B.它的图象的对称轴是直线x=2
C.当x<0时,y随x的增大而减小
D.当x=0时,y有最大值为0
3.抛物线y=ax2+bx+c经过点(﹣2,0),且对称轴为直线x=1,其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论:
①ac>0;②16a+4b+c=0;③若m>n>0,则x=1+m时的函数值大于x=1﹣n时的函数值;④点(﹣
,0)一定在此抛物线上.其中正确结论的序号是( )
A.①②B.②③C.②④D.③④
4.抛物线y=(x﹣4)2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是( )
A.(4,﹣5),开口向上B.(4,﹣5),开口向下
C.(﹣4,﹣5),开口向上D.(﹣4,﹣5),开口向下
5.如果函数y=x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点,那么m的取值范围是( )
A.m≤4B.m<4C.m≥﹣4D.m>﹣4
6.如图,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x=1,如果关于x的方程ax2+bx﹣8=0(a≠0)的一个根为4,那么该方程的另一个根为( )
A.﹣4B.﹣2C.1D.3
7.抛物线y=(x﹣1)2+2的对称轴为( )
A.直线x=1B.直线x=﹣1C.直线x=2D.直线x=﹣2
8.将抛物线y=﹣3x2平移,得到抛物线y=﹣3(x﹣1)2﹣2,下列平移方式中,正确的是( )
A.先向左平移1个单位,再向上平移2个单位
B.先向左平移1个单位,再向下平移2个单位
C.先向右平移1个单位,再向上平移2个单位
D.先向右平移1个单位,再向下平移2个单位
9.在平面直角坐标系xOy中,开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的一部分图象如图所示,它与x轴交于A(1,0),与y轴交于点B(0,3),则a的取值范围是( )
A.a<0B.﹣3<a<0C.a<
D.
<a<
10.二次函数y=(x﹣5)2+7的最小值是( )
A.﹣7B.7C.﹣5D.5
11.将二次函数y=x2﹣6x+5用配方法化成y=(x﹣h)2+k的形式,下列结果中正确的是( )
A.y=(x﹣6)2+5B.y=(x﹣3)2+5C.y=(x﹣3)2﹣4D.y=(x+3)2﹣9
12.某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映,如果调整商品售价,每降价1元,每星期可多卖出20件.设每件商品降价x元后,每星期售出商品的总销售额为y元,则y与x的关系式为( )
A.y=60(300+20x)B.y=(60﹣x)(300+20x)
C.y=300(60﹣20x)D.y=(60﹣x)(300﹣20x)
13.二次函数y=2x2﹣8x+m满足以下条件:
当﹣2<x<﹣1时,它的图象位于x轴的下方;当6<x<7时,它的图象位于x轴的上方,则m的值为( )
A.8B.﹣10C.﹣42D.﹣24
14.二次函数y=﹣(x+1)2﹣2的最大值是( )
A.﹣2B.﹣1C.1D.2
15.把抛物线y=x2+1向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线( )
A.y=(x+3)2﹣1B.y=(x+3)2+3C.y=(x﹣3)2﹣1D.y=(x﹣3)2+3
16.抛物线y=(x﹣2)2+1的顶点坐标为( )
A.(2,1)B.(2,﹣1)C.(﹣2,﹣1)D.(﹣2,1)
17.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=
.下列结论中,正确的是( )
A.a<0
B.当x<﹣
时,y随x的增大而增大
C.a+b+c>0
D.当x=﹣
时,y的最小值是
18.若抛物线y=(x﹣2m)2+3m﹣1(m是常数)与直线y=x+1有两个交点,且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧,则m的取值范围是( )
A.m<2B.m>2C.m
D.m
二.填空题(共12小题)
19.请写出一个开口向下,且与y轴的交点坐标为(0,2)的抛物线的表达式:
.
20.如图,抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(﹣3,﹣6),B(1,﹣2),则关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为 .
21.如图,矩形纸片ABCD中,AB>AD,E,F分别是AB,DC的中点,将矩形ABCD沿EF所在直线对折,若得到的两个小矩形都和矩形ABCD相似,则用等式表示AB与AD的数量关系为 .
22.抛物线y=x2+3与y轴的交点坐标为 .
23.如图,直线y1=kx+n(k≠0)与抛物线y2=ax2+bx+c(a≠0)分别交于A(﹣1,0),B(2,﹣3)两点,那么当y1>y2时,x的取值范围是 .
24.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,其中点B的坐标为B(4,0),抛物线的对称轴交x轴于点D,CE∥AB,并与抛物线的对称轴交于点E.现有下列结论:
①a>0;②b>0;③4a+2b+c<0;④AD+CE=4.其中所有正确结论的序号是 .
25.二次函数y=x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点,则m的值为 .
26.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y1=kx+m(k≠0)与抛物线y2=ax2+bx+c(a≠0)交于点A(0,4),B(3,1),当y1≤y2时,x的取值范围是 .
27.点A(﹣3,y1),B(2,y2)在抛物线y=x2﹣5x上,则y1 y2.(填“>”,“<”或“=”)
28.把抛物线y=x2向右平移1个单位,再向下平移3个单位,得到抛物线y= .
29.已知抛物线y=x2﹣x﹣3经过点A(2,y1)、B(3,y2),则y1与y2的大小关系是 .
30.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于(1,0)和(x1,0),其中﹣2<x1<﹣1,与y轴交于正半轴上一点.下列结论:
①b>0;②
;③a>b;④﹣a<c<﹣2a.其中所有正确结论的序号是 .
三.解答题(共20小题)
31.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示:
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象;
(3)当﹣4<x<﹣2时,直接写出y的取值范围.
32.一名同学推铅球,铅球出手后行进过程中离地面的高度y(单位:
m)与水平距离x(单位:
m)近似满足函数关系y=﹣
x2+
x+c,其图象如图所示.已知铅球落地时的水平距离为10m.
(1)求铅球出手时离地面的高度;
(2)在铅球行进过程中,当它离地面的高度为
m时,求此时铅球的水平距离.
33.如图,直线l:
y=﹣2x+m与x轴交于点A(﹣2,0),抛物线C1:
y=x2+4x+3与x轴的一个交点为B(点B在点A的左侧),过点B作BD垂直x轴交直线l于点D.
(1)求m的值和点B的坐标;
(2)将△ABD绕点A顺时针旋转90°,点B,D的对应点分别为点E,F.
①点F的坐标为 ;
②将抛物线C1向右平移使它经过点F,此时得到的抛物线记为C2,直接写出抛物线C2的表达式.
34.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2﹣4ax+3a.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)当a>0时,设抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),顶点为C,若△ABC为等边三角形,求a的值;
(3)过T(0,t)(其中﹣1≤t≤2)且垂直y轴的直线l与抛物线交于M,N两点.若对于满足条件的任意t值,线段MN的长都不小于1,结合函数图象,直接写出a的取值范围.
35.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:
y=﹣x2+2x.
(1)补全表格:
抛物线
顶点坐标
与x轴交点坐标
与y轴交点坐标
y=﹣x2+2x
(1,1)
(0,0)
(2)将抛物线C1向上平移3个单位得到抛物线C2,请画出抛物线C1,C2,并直接回答:
抛物线C2与x轴的两交点之间的距离是抛物线C1与x轴的两交点之间距离的多少倍.
36.运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出,在不考虑空气阻力的条件下,小球的飞行高度h(m)与它的飞行时间t(s)满足二次函数关系,t与h的几组对应值如下表所示.
t(s)
0
0.5
1
1.5
2
…
h(m)
0
8.75
15
18.75
20
…
(1)求h与t之间的函数关系式(不要求写t的取值范围);
(2)求小球飞行3s时的高度;
(3)问:
小球的飞行高度能否达到22m?
请说明理由.
37.已知抛物线G:
y=x2﹣2ax+a﹣1(a为常数).
(1)当a=3时,用配方法求抛物线G的顶点坐标;
(2)若记抛物线G的顶点坐标为P(p,q).
①分别用含a的代数式表示p,q;
②请在①的基础上继续用含p的代数式表示q;
③由①②可得,顶点P的位置会随着a的取值变化而变化,但点P总落在 的图象上.
A.一次函数B.反比例函数C.二次函数
(3)小明想进一步对
(2)中的问题进行如下改编:
将
(2)中的抛物线G改为抛物线H:
y=x2﹣2ax+N(a为常数),其中N为含a的代数式,从而使这个新抛物线H满足:
无论a取何值,它的顶点总落在某个一次函数的图象上.请按照小明的改编思路,写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式:
(用含a的代数式表示),它的顶点所在的一次函数图象的表达式y=kx+b(k,b为常数,k≠0)中,k= ,b= .
38.在平面直角坐标系xOy中,抛物线M:
y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(﹣1,0),且顶点坐标为B(0,1).
(1)求抛物线M的函数表达式;
(2)设F(t,0)为x轴正半轴上一点,将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1.
①抛物线M1的顶点B1的坐标为 ;
②当抛物线M1与线段AB有公共点时,结合函数的图象,求t的取值范围.
39.已知二次函数y=x2+4x+3.
(1)用配方法将二次函数的表达式化为y=a(x﹣h)2+k的形式;
(2)在平面直角坐标系xOy中,画出这个二次函数的图象;
(3)根据
(2)中的图象,写出一条该二次函数的性质.
40.一条单车道的抛物线形隧道如图所示.隧道中公路的宽度AB=8m,隧道的最高点C到公路的距离为6m.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求抛物线的表达式;
(2)现有一辆货车的高度是4.4m,货车的宽度是2m,为了保证安全,车顶距离隧道顶部至少0.5m,通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道.
41.阅读下列材料:
有这样一个问题:
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)有两个不相等的且非零的实数根.探究a,b,c满足的条件.
小明根据学习函数的经验,认为可以从二次函数的角度看一元二次方程,下面是小明的探究过程:
①设一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)对应的二次函数为y=ax2+bx+c(a>0);
②借助二次函数图象,可以得到相应的一元二次中a,b,c满足的条件,列表如下:
方程根的几何意义:
请将
(2)补充完整
方程两根的情况
对应的二次函数的大致图象
a,b,c满足的条件
方程有两个
不相等的负实根
方程有两个
不相等的正实根
(1)参考小明的做法,把上述表格补充完整;
(2)若一元二次方程mx2﹣(2m+3)x﹣4m=0有一个负实根,一个正实根,且负实根大于﹣1,求实数m的取值范围.
42.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于点A,B(A在B的左侧).
(1)抛物线的对称轴为直线x=﹣3,AB=4.求抛物线的表达式;
(2)平移
(1)中的抛物线,使平移后的抛物线经过点O,且与x正半轴交于点C,记平移后的抛物线顶点为P,若△OCP是等腰直角三角形,求点P的坐标;
(3)当m=4时,抛物线上有两点M(x1,y1)和N(x2,y2),若x1<2,x2>2,x1+x2>4,试判断y1与y2的大小,并说明理由.
43.已知抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A,B两点,点A在点B的左侧.
(1)求A,B两点的坐标和此抛物线的对称轴;
(2)设此抛物线的顶点为C,点D与点C关于x轴对称,求四边形ACBD的面积.
44.已知抛物线C1:
y1=2x2﹣4x+k与x轴只有一个公共点.
(1)求k的值;
(2)怎样平移抛物线C1就可以得到抛物线C2:
y2=2(x+1)2﹣4k?
请写出具体的平移方法;
(3)若点A(1,t)和点B(m,n)都在抛物线C2:
y2=2(x+1)2﹣4k上,且n<t,直接写出m的取值范围.
45.如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=﹣
+bx+c的图象经过点A(1,0),且当x=0和x=5时所对应的函数值相等.一次函数y=﹣x+3与二次函数y=﹣
+bx+c的图象分别交于B,C两点,点B在第一象限.
(1)求二次函数y=﹣
+bx+c的表达式;
(2)连接AB,求AB的长;
(3)连接AC,M是线段AC的中点,将点B绕点M旋转180°得到点N,连接AN,CN,判断四边形ABCN的形状,并证明你的结论.
46.已知:
二次函数y=x2+bx﹣3的图象经过点A(2,5).
(1)求二次函数的解析式;
(2)求二次函数的图象与x轴的交点坐标;
(3)将
(1)中求得的函数解析式用配方法化成y=(x﹣h)2+k的形式.
47.设二次函数y1=x2﹣4x+3的图象为C1,二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象与C1关于y轴对称.
(1)求二次函数y2=ax2+bx+c的解析式;
(2)当﹣3<x≤0时,直接写出y2的取值范围;
(3)设二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点为点A,与y轴的交点为点B,一次函数y3=kx+m(k,m为常数,k≠0)的图象经过A,B两点,当y2<y3时,直接写出x的取值范围.
48.已知:
二次函数y=x2﹣mx+
m+1(m为常数).
(1)若这个二次函数的图象与x轴只有一个公共点A,且A点在x轴的正半轴上.
①求m的值;
②四边形AOBC是正方形,且点B在y轴的负半轴上,现将这个二次函数的图象平移,使平移后的函数图象恰好经过B,C两点,求平移后的图象对应的函数解析式;
(2)当0≤x≤2时,求函数y=x2﹣mx+
m+1的最小值(用含m的代数式表示).
49.已知:
二次函数y=ax2+2ax﹣4(a≠0)的图象与x轴交于点A,B(A点在B点的左侧),与y轴交于点C,△ABC的面积为12.
(1)①填空:
二次函数图象的对称轴为 ;
②求二次函数的解析式;
(2)点D的坐标为(﹣2,1),点P在二次函数图象上,∠ADP为锐角,且tan∠ADP=2,求点P的横坐标;
(3)点E在x轴的正半轴上,∠OAE>45°,点O与点O′关于EC所在直线对称.作ON⊥EO′于点N,交EC于点M.若EM•EC=32,求点E的坐标.
50.已知抛物线y=x2﹣4x+1.
(1)用配方法将y=x2﹣4x+1化成y=a(x﹣h)2+k的形式;
(2)将此抛物线向右平移1个单位,再向上平移2个单位,求平移后所得抛物线的解析式.
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