高中数学经典解题技巧和方法:三角变换与解三角形.doc
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高中数学经典解题技巧:
三角变换与解三角形
一、三角变换及求值
考情聚焦:
1.利用两角和差的三角函数公式进行三角变换、求值是高考必考内容。
2.该类问题出题背景选择面广,解答题中易出现与新知识的交汇题。
3.该类题目在选择、填空、解答题中都有可能出现,属中、低档题。
解题技巧:
1.在涉及两角和与差的三角函数公式的应用时,常用到如下变形
(1);
(2)角的变换;
(3)。
2.利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题,常见有以下三种类型:
(1)“给角求值”,即在不查表的前提下,通过三角恒等变换求三角函数式的值;
(2)“给值求值”,即给出一些三角函数值,求与之有关的其他三角函数式的值;
(3)“给值求角”,即给出三角函数值,求符合条件的角。
例1:
已知向量,且
(Ⅰ)求tanA的值;(Ⅱ)求函数R)的值域
解析:
(Ⅰ)由题意得m·n=sinA-2cosA=0,
因为cosA≠0,所以tanA=2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知tanA=2得
因为xR,所以.当时,f(x)有最大值,
当sinx=-1时,f(x)有最小值-3
所以所求函数f(x)的值域是
二、正、余弦定理的应用
考情聚焦:
1.利用正、余弦定理解决涉及三角形的问题,在近3年新课标高考中都有出现,预计将会成为今后高考的一个热点。
2.该类问题多数是以三角形或其他平面图形为背景,考查正、余弦定理及三角函数的化简与证明。
3.多以解答题的形式出现,有时也在选择、填空题中出现。
解题技巧:
1.在三角形中考查三角函数式变换,是近几年高考的热点,它是在新的载体上进行的三角变换,因此要时刻注意它重要性:
一是作为三角形问题,它必然要用到三角形的内角和定理,正、余弦定理及有关三角形的性质,及时进行边角转化,有利于发现解决问题的思路;其二,它毕竟是三角形变换,只是角的范围受到了限制,因此常见的三角变换方法和原则都是适用的,注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”,是使问题获得解决的突破口。
2.在解三角形时,三角形内角的正弦值一定为正,但该角不一定是锐角,也可能为钝角(或直角),这往往造成有两解,应注意分类讨论,但三角形内角的余弦为正,该角一定为锐角,且有惟一解,因此,在解三角形中,若有求角问题,应尽量避免求正弦值。
例2:
(2010·辽宁高考理科·T17)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且
(Ⅰ)求A的大小;
(Ⅱ)求的最大值.
【命题立意】考查了正弦定理,余弦定理,考查了三角函数的恒等变换,三角函数的最值。
【思路点拨】(I)根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边,得到边的关系,再由余弦定理求角
(II)由(I)知角C=60°-B代入sinB+sinC中,看作关于角B的函数,进而求出最值
【规范解答】(Ⅰ)由已知,根据正弦定理得
即由余弦定理得故,A=120°
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:
故当B=30°时,sinB+sinC取得最大值1。
【方法技巧】
(1)利用正弦定理,实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA,用b替换sinB,用c替换sinC。
sinA,sinB,sinC的次数要相等,各项要同时替换,反之,用角的正弦替换边时也要这样,不能只替换一部分。
(2)以三角形为背景的题目,要注意三角形的内角和定理的使用。
象本例中B+C=60°
三、三角函数的实际应用
考情聚焦:
1.有关解三角形及实际应用在高考中有时出现。
2.该类问题以实际问题为背景,其建模后为解三角形问题,与三角函数及三角变换等知识交汇。
3.多以解答题的形式出现,题目不会太难。
例3:
(2010·江苏高考·T17)某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位:
m),如示意图,垂直放置的标杆BC的高度h=4m,仰角∠ABE=,∠ADE=。
(1)该小组已测得一组、的值,算出了tan=1.24,tan=1.20,请据此算出H的值;
(2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位:
m),使与之差较大,可以提高测量精确度。
若电视塔的实际高度为125m,试问d为多少时,-最大?
【命题立意】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。
【思路点拨】
(1)分别利用表示AB、AD、BD,然后利用AD—AB=DB求解;
(2)利用基本不等式求解.
【规范解答】
(1),同理:
,。
AD—AB=DB,故得,解得:
。
因此,算出的电视塔的高度H是124m。
(2)由题设知,得,
,(当且仅当时,取等号)
故当时,最大。
因为,则,由的单调性可知:
当时,-最大。
故所求的是m。
例4.(2010·福建高考文科·T2)计算的结果等于()
A.B.C.D.
【命题立意】本题考查利用余弦的倍角公式的逆用,即降幂公式,并进行三角的化简求值。
【思路点拨】直接套用倍角公式的逆用公式,即降幂公式即可。
【规范解答】选B,。
【方法技巧】对于三角公式的学习,要注意灵活掌握其变形公式,才能进行灵活的恒等变换。
如倍角公式:
,的逆用公式为“降幂公式”,即为,,在三角函数的恒等变形中,降幂公式的起着重要的作用。
例5.(2010海南宁夏高考理科T16)在中,D为边BC上一点,BD=DC,=120°,AD=2,若的面积为,则=.
【命题立意】本题主要考查了余弦定理及其推论的综合应用.
【思路点拨】利用三角形中的余弦定理极其推论。
列出边与角满足的关系式求解.
【规范解答】设,则,由的面积为可知
,可得,由余弦定理可知
,所以
,所以
由,及
可求得
【答案】60°
【方法技巧】熟练三角形中隐含的角的关系,利用余弦定理或正弦定理找边与角的关系,列出等式求解.
例6.(2010·天津高考理科·T7)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,,则A=()
(A)(B)(C)(D)
【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。
【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。
【规范解答】选A,根据正弦定理及得:
,
。
【方法技巧】根据所给边角关系,选择使用正弦定理或余弦定理,将三角形的边转化为角。
例7.(2010·天津高考理科·T17)已知函数
(Ⅰ)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;
(Ⅱ)若,求的值。
【命题立意】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦公式、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识,考查基本运算能力。
【思路点拨】化成一个角的三角函数的形式;变角,
【规范解答】
(1)由,得
所以函数的最小正周期为
因为在区间上为增函数,在区间上为减函数,又
,所以函数在区间上的最大值为2,最小值为-1
(Ⅱ)由
(1)可知又因为,所以
由,得从而
所以
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