【专题培优】2018年 九年级数学上册 二次函数压轴题 培优专题(含答案).docx
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2018年
九年级数学上册二次函数压轴题培优专题
1.如图,已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C
(1)求点A,B,C的坐标;
(2)点E是此抛物线上的点,点F是其对称轴上的点,求以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积;
(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ACM是等腰三角形?
若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
2.如图,已知抛物线经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作NM∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示MN的长;
(3)在
(2)的条件下,连接NB,NC,是否存在点m,使△BNC的面积最大?
若存在,求m的值;若不存在,说明理由.
与抛物线交于A、C两点,
3.如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),直线l
其中C点的横坐标为2.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)在抛物线的对称轴上找到点P,使得△PBC的周长最小,并求出点P的坐标;
(3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G为顶点四边形是平行四边形?
如果存在,请直接写出F点坐标;如果不存在,请说明理由.
4.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+mx+2m﹣7的图象经过点(1,0).
(1)求抛物线的表达式;
(2)把﹣4<x<1时的函数图象记为H,求此时函数y的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,将图象H在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象H的其余部分保持不变,得到一个新图象M.若直线y=x+b与图象M有三个公共点,求b的取值范围.
5.如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M(﹣2,﹣4),与x轴交于A、B两点,且A(﹣6,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)求△ABC的面积;
(3)能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P,使△APC的面积最大?
若能,请求出点P的坐标;若不能,请说明理由.
6.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A(﹣3,0)和点B,交y轴于点C(0,3).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点P在抛物线上,且S△AO=P4S△BOC,求点P的坐标;
(3)如图b,设点Q是线段AC上的一动点,作DQ⊥x轴,交抛物线于点D,求线段DQ长度的最大值.
7.如图,关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3),抛
物线的对称轴与x轴交于点D.
(1)求二次函数的解析式;
(2)在y轴上是否存在一点P,使△PBC为等腰三角形?
若存在,请求出点P的坐标;
(3)有一个点M从点A出发,以每秒1个单位长度的速度在AB上向点B运动,另一个点N从点D与点M同时出发,以每秒2个单位长度的速度在抛物线的对称轴上运动,当点M到达点B时,点M,N同时停止运动,问点M,N运动到何处时,△MNB面积最大,试求出最大面积.
8.如图,矩形的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(10,8),沿直线OD折叠矩形,使点
A正好落在BC上的E处,E点坐标为(6,8),抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、E三点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)求AD的长;
(3)点P是抛物线对称轴上的一动点,当△PAD的周长最小时,求点P的坐标.
9.如图,在直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴相交于点M.
(1)求抛物线的解析式和对称轴;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接AC,在直线AC的下方的抛物线上,是否存在一点N,使△NAC的面积最大?
若存在,请求出点N的
坐标;若不存在,请说明理由.
10.如图,抛物线y=ax2﹣2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A、B,点A坐标为(4,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)抛物线的顶点为N,在x轴上找一点K,使CK+K最N小,并求出点K的坐标;
(3)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.当△CQE的面积最大时,求点Q的坐标;
(4)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(2,0).问:
是否存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
1.解:
2.解:
(1)y=-x2+2x+3
(2)易求直线BC的解析式为y=-x+3,∴M(m,-m+3),又∵MN⊥x轴,∴N(m,-m2+2m+3),∴MN=(-m2+2m+3)-(-m+3)=-m2+3m(0<m<3)
(3)S△BNC=S△CM+NS△MN=B2|MN|·|OB|,∴当|MN|最大时,△BNC的面积最大,MN=-m2+3m=-(m-2)2+4,所以当m=2时,△BNC的面积最大为2×4×3=8
3.
(1)A(﹣1,0)B(3,0)C(2,﹣3)
设直线AC的解析式为:
y=kx+b,解得,k=-1,b=-1,∴直线AC的函数解析式是y=﹣x﹣1,由抛物线的对称性可知,点A与点B关于对称轴x=1对称,
∴连接AC与x=1交于点P,点即为所求,当x=1时,y=﹣2,则点P的坐标为(1,﹣2);
1
3 9
3
19 27
(3)存在4个这样的点F,F点坐标是:
(﹣3,0)或(1,0)或(4+ ,0)或(4﹣ ,0)
4.解:
(1)∵二次函数y=x2+mx+2m﹣7的图象经过点(1,0),
∴1+m+2m﹣7=0,解得m=2.∴抛物线的表达式为y=x2+2x﹣3;
(2)y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4.
∵当﹣4<x<﹣1时,y随x增大而减小;
当﹣1≤x<1时,y随x增大而增大,∴当x=﹣1,y最小=﹣4.
当x=﹣4时,y=5.∴﹣4<x<1时,y的取值范围是﹣4≤y<5;
(3)y=x2+2x﹣3与x轴交于点(﹣3,0),(1,0).新图象M如右图红色部分.
把抛物线y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,则翻折部分的抛物线解析式为y=﹣(x+1)2+4(﹣3≤x≤1),
当直线y=x+b经过(﹣3,0)时,直线y=x+b与图象M有两个公共点,此时b=3;
当直线y=x+b与抛物线y=﹣(x+1)2+4(﹣3≤x≤1)相切时,直线y=x+b与图象M有两个公共点,
即﹣(x+1)2+4=x+b有相等的实数解,整理得x2+3x+b﹣3=0,△=32﹣4(b﹣3)=0,解得b=.
结合图象可得,直线y=x+b与图象M有三个公共点,b的取值范围是3<b<.
5.解:
(1)设此函数的解析式为y=a(x+h)2+k,
∵函数图象顶点为M(﹣2,﹣4),∴y=a(x+2)2﹣4,
又∵函数图象经过点A(﹣6,0),∴0=a(﹣6+2)2﹣4解得a=,
∴此函数的解析式为y=(x+2)2﹣4,即y=x2+x﹣3;
(2)∵点C是函数y=x2+x﹣3的图象与y轴的交点,∴点C的坐标是(0,﹣3),
又当y=0时,有y=x2+x﹣3=0,解得x1=﹣6,x2=2,∴点B的坐标是(2,0),
则S△ABC=|AB|•|OC|=×8×3=12;
(3)假设存在这样的点,过点P作PE⊥x轴于点E,交AC于点F.
设E(x,0),则P(x,x2+x﹣3),
设直线AC的解析式为y=kx+b,
∵直线AC过点A(﹣6,0),C(0,﹣3),∴
,解得
,
∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣3,∴点F的坐标为F(x,﹣x﹣3),
则|PF|=﹣x﹣3﹣(x2+x﹣3)=﹣x2﹣x,
∴S△APC=S△APF+S△CPF=|PF|•|AE|+ |PF|•|OE|
=|PF|•|OA|=(﹣x2﹣x)×6=﹣x2﹣x=﹣(x+3)2+ ,
∴当x=﹣3时,S△APC有最大值 ,此时点P的坐标是P(﹣3,﹣ ).
6.
7.解:
8.解:
(1)∵四边形ABCD是矩形,B(10,8),∴A(10,0),
又抛物线经过A、E、O三点,把点的坐标代入抛物线解析式可得
,解得
,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+ x;
(2)由题意可知:
AD=DE,BE=10﹣6=4,AB=8,设AD=x,则ED=x,BD=AB﹣AD=8﹣x,
在Rt△BDE中,由勾股定理可知ED2=EB2+BD2,即x2=42+(8﹣x)2,解得x=5,
∴AD=5;
(3)∵y=﹣x2+ x,∴其对称轴为x=5,∵A、O两点关于对称轴对称,∴PA=PO,
当P、O、D三点在一条直线上时,PA+PD=PO+PD=OD,此时△PAD的周长最小,
如图,连接OD交对称轴于点P,则该点即为满足条件的点P,
由
(2)可知D点的坐标为(10,5),
设直线OD解析式为y=kx,把D点坐标代入可得5=10k,解得k=,∴直线OD解析式为y=x,
令x=5,可得y=,∴P点坐标为(5,).
解:
(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)(x﹣5),
9.
把点A(0,4)代入上式得:
a=0.8,
∴y=0.8(x﹣1)(x﹣5)=0.8x2﹣4.8x+4=0.8(x﹣3)2﹣4.8,∴抛物线的对称轴是:
x=3;
(2)P点坐标为(3,1.6).理由如下:
∵点A(0,4),抛物线的对称轴是x=3,∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为(6,4)如图1,连接BA′交对称轴于点P,连接AP,此时△PAB的周长最小.
设直线BA′的解析式为y=kx+b,把A′(6,4),B(1,0)代入得6k+b=4,k+b=0,解得k=0.8,b=-0.8,∴y=0.8x﹣0.8,
∵点P的横坐标为3,∴y=0.8×3﹣0.8=1.6,∴P(3,1.6).
(3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使△NAC面积最大.设N点的横坐标为t,此时点N(t,0.8t2﹣4.8t+4)(0<t<5),如图2,过点N作NG∥y轴交AC于G;作AD⊥NG于D,
由点A(0,4)和点C(5,0)可求出直线AC的解析式为:
y=﹣0.8x+4,把x=t代入得:
y=﹣0.8t+4,则G(t,﹣0.8t+4),
此时:
NG=﹣0.8t+4﹣(0.8t2﹣4.8t+4)=﹣0.8t2+4t,
∵AD+CF=CO,=5∴S△ACN=S△AN+GS△CGN=0.5AM×NG+0.5N×GCF=0.5NGOC=0×.5(﹣0.8t2+4t)×5=﹣2t2+10t=﹣2
(t﹣2.5)2+12.5,∴当t=2.5时,△CAN面积的最大值为12.5,由t=2.5,得:
y=0.8t2﹣4.8t+4=﹣3,∴N(2.5,﹣3).
10.解:
(1)∵抛物线经过点C(0,4),A(4,0),∴
,解得
,
∴抛物线解析式为y=﹣
;
(2)由
(1)可求得抛物线顶点为N(1,),
如图1,作点C关于x轴的对称点C′(
0,﹣4),连接C′
N交x轴于点K,则K点即为所求,
设直线C′
N的解析式为y=kx+b,把C′、
N点坐标代入可得
,解得
,
∴直线C′
N的解析式为y=
,令y=0,解得x= ,∴点K的坐标为( ,0);
(3)设点Q(m,0),过点E作EG⊥x轴于点G,如图2,
由﹣
=0,得x1=﹣2,x2=4,∴点B的坐标为(﹣2,0),AB=6,BQ=m+,2
又∵QE∥AC,∴△BQE≌△BAC,∴
,即
,解得EG=
;
∴S△CQE=S△CBQ﹣S△EBQ=
=
=
.
又∵﹣2≤m≤4,∴当m=1时,S△CQE有最大值3,此时Q(1,0);
(4)存在.在△ODF中,
(ⅰ)若DO=D,F∵A(4,0),D(2,0),∴AD=OD=DF.=2
又在Rt△AOC中,OA=OC=,4∴∠OAC=4°5.∴∠DFA=∠OAC=4°5.
∴∠ADF=9°0.此时,点F的坐标为(2,2).
由﹣
=2,得x1=1+ ,x2=1﹣ .此时,点P的坐标为:
P1(1+ ,2)或P2(1﹣ ,2);(ⅱ)
若FO=FD,过点F作FM⊥x轴于点M.由等腰三角形的性质得:
OM=OD=,1∴AM=.3∴在等腰直角△AMF
中,MF=AM.=3∴F(1,3).由﹣
=3,得x1=1+,x2=1﹣ .此时,点P的坐标为:
P3(1+,3)
或P4(1﹣ ,3);
(ⅲ)若OD=O,F∵OA=OC=,4且∠AOC=9°0.∴AC=4.
∴点O到AC的距离为2 .而OF=OD=<22 ,与OF≥2 矛盾.
∴在AC上不存在点使得OF=OD=.2此时,不存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形.
综上所述,存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形.所求点P的坐标为:
(1+,2)或(1﹣,2)或(1+,3)或(1﹣ ,3).
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