解析几何第四版第二章答案.docx
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解析几何第四版第二章答案
解析几何第四版第二章答案
【篇一:
解析几何答案-第二章】
txt>2.1曲面的方程
1、一动点移动时,与a(4,0,0)及xoy平面等距离,求该动点的轨迹方程。
解:
设在给定的坐标系下,动点m(x,y,z),所求的轨迹为c,
则m(x,y,z)?
c
2
2
?
2
?
z
?
z
亦即(x?
4)?
y?
z
?
(x?
4)2?
y2?
0
由于上述变形为同解变形,从而所求的轨迹方程为(x?
4)2?
y2?
0
2
(1(2(3(4解:
(1常数为mm(x,y,z),m(x,y,z亦即(x?
0
(2)建立坐标系如
(1),但设两定点的距离为2c,距离之和常数为2a。
设动点m(x,y,z),要求的轨迹为c,则m(x,y,z)?
c
?
(x?
c)2?
y2?
z2?
(x?
c)2?
y2?
z2?
2a
222222亦即(x?
c)?
y?
z?
2a?
(x?
c)?
y?
z
两边平方且整理后,得:
(a?
c)x?
ay?
az?
a(a?
c)
(1)
2222222222
?
a?
c?
令b2?
a2?
c2
从而
(1)为bx?
ay?
az?
ab
2
2
2
2
2
2
2
2
即:
b2x2?
a2y2?
a2z2?
a2b2
由于上述过程为同解变形,所以(3)即为所求的轨迹方程。
(3)建立如
(2)的坐标系,设动点m(x,y,z),所求的轨迹为c,则m(x,y,z)?
c
?
(x?
c)2?
y2?
z2?
(x?
c)2?
y2?
z2?
?
2a
x2y2z2
类似于
(2),上式经同解变形为:
2?
2?
2?
1
abc
其中b2?
c2?
a2
(c?
a)(*)
(*)即为所求的轨迹的方程。
(4)取定平面为xoy面,并让定点在z轴上,从而定点的坐标为(0,0,c)m。
设动点
m(*)(*2、
(1)中心(2(3(4解:
(1(x?
2)2?
(y?
1)2?
(z?
3)2?
36
(2)由已知,球面半径r?
所以类似上题,得球面方程为
62?
(?
2)2?
32?
7
x2?
y2?
z2?
49
(3)由已知,球面的球心坐标a?
2?
4?
3?
15?
3
?
3,b?
?
?
1,c?
?
1,球的半径222
r?
1
(4?
2)2?
(1?
3)2?
(5?
3)2?
,所以球面方程为:
2
(x?
3)2?
(y?
1)2?
(z?
1)2?
21
(4)设所求的球面方程为:
x2?
y2?
z2?
2gx?
2hy?
2kz?
l?
0因该球面经过点(0,0,0),(4,0,0),(1,3,0),(0,0,?
4),所以
?
l?
0
?
16?
8g?
0?
(1)?
?
10?
2g?
6h?
0?
?
16?
8k?
0
解
(1)有
?
l?
0
?
h?
?
1?
?
g?
?
2?
1
(1)4x2
(1)4x
2
2.3空间曲线的方程
1、平面x?
c与x?
y?
2x?
0的公共点组成怎样的轨迹。
2
2
解:
上述二图形的公共点的坐标满足
?
x2?
y2?
2x?
0?
y2?
c(2?
c)
?
?
?
?
x?
c?
x?
c
从而:
(Ⅰ)当0?
c?
2时,公共点的轨迹为:
?
?
y?
c(2?
c)
及?
?
?
x?
c
即为两条平行轴的直线;
(Ⅱ)当c?
0时,公共点的轨迹为:
?
?
y?
?
c(2?
c)
?
?
?
x?
c
?
y?
0
即为z轴;?
x?
0?
(Ⅲ)当c?
2时,公共点的轨迹为:
?
y?
0
即过(2,0,0)且平行于z?
?
x?
2
(Ⅳ)当c?
2或c?
0时,两图形无公共点。
2
(1)x2?
y2?
16z2?
64;
(2)x2?
4y2?
2?
64;(3)x2?
4y2?
16z2?
64;(4)2?
16z解:
(1)曲面与xoy面的交线为:
?
x2?
y2?
64?
x2?
y2?
64
?
?
?
?
z?
?
z?
0
?
且处在xoy面上的圆。
22
y16z?
64与yoz面(x?
0)及zox面(y?
0)的交线分别为:
y2?
16z2?
64?
?
x?
0?
x2?
16z2?
64
,?
?
y?
0
它们分别是中心在原点,长轴在y轴上,且处在yoz面上的椭圆,以及中心在原点,长轴在
x轴上,且处在zox面上的椭圆;
222
(2)由面x?
4y?
16z?
64与xoy面(z?
0),yoz面(x?
0),zox面(y?
0)的交线
分别为:
?
x2?
4y2?
16z2?
64?
x2?
4y2?
16z2?
64?
x2?
4y2?
16z2?
64
?
?
?
z?
0x?
0y?
0?
?
?
?
x2?
4y2?
64?
y2?
4z2?
16?
x2?
16z2?
64
亦即:
?
?
?
?
z?
0?
x?
0?
y?
0
即为中心在原点,长轴在x轴上,且处在xoy面上的椭圆;中心在原点,实轴在y轴,且处在yoz面上的双曲线,以及中心在原点,实轴在x轴,且处在zox面上的双曲线。
(3)曲面x2?
4y2?
16z2?
64与xoy面(z?
0),yoz面(x?
0),zox面(y?
0)的交线分别为:
?
x2?
4y2?
16z2?
64?
x2?
4y2?
16z2?
64?
x2?
4y2?
16z2?
64
?
?
?
z?
0x?
0y?
0?
?
?
?
x2?
4y2?
64?
?
4y2?
16z2?
64?
x2?
16z2?
64
亦即?
?
?
?
z?
0?
x?
0?
y?
0
即为中心在原点,实轴在x轴,且处在xoy面上的双曲线;无轨迹以及中心在原点,实轴在
x轴上,且处在zox面上的双曲线。
(4)曲面x2?
9y2?
16z与xoy面(z?
0),yoz面(x?
0),zox面(的交线分别为:
?
x2?
9y2?
16z?
x2?
9y2?
16z?
x2?
16z
?
?
?
?
z?
0?
x?
0?
0
?
x2?
9y2?
0?
9y2?
16z?
x2?
16z
亦即?
?
?
z?
0y?
0x?
0?
?
?
即为坐标原点,顶点在原点以zyoz面上的抛物线,以及顶点在原点,以z轴为对称轴,且处在zox
3、
?
x2?
y2?
z?
0z2?
3yz?
2x?
3z?
3?
0?
0
(1)?
;
z?
x?
1?
z?
1?
0
222
?
?
x?
2y?
?
x?
y?
z?
1
(3)?
(4)?
222
?
?
3x?
7?
x?
(y?
1)?
(z?
1)?
1
x2?
y2?
z?
0
解:
(1)从方程组?
z?
x?
1?
分别消去变量x,y,z,得:
(z?
1)?
y?
z?
0
亦即:
z?
y?
3z?
1?
0(Ⅰ)
2
2
2
2
z?
x?
1?
0(Ⅱ)
x2?
y2?
x?
1?
0(Ⅲ)
(Ⅰ)是原曲线对yoz平面的射影柱面方程;(Ⅱ)是原曲线对zox平面的射影柱面方程;
(Ⅲ)是原曲线对xoy平面的射影柱面方程。
【篇二:
解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章】
>3.1平面的方程
1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程:
(1)通过点m1(3,1,?
1)和点m2(1,?
1,0)且平行于矢量{?
1,0,2}的平面
(2)通过点
m1(1,?
5,1)和m2(3,2,?
2)且垂直于xoy坐标面的平面;
(3)已知四点a(5,1,3),b(1,6,2),c(5,0,4)d(4,0,6)。
求通过直线ab且平行于直线cd的平面,并求通过直线ab且与?
abc平面垂直的平面。
解:
(1)?
m1m2?
{?
2,?
2,1},又矢量{?
1,0,2}平行于所求平面,故所求的平面方程为:
?
x?
3?
2u?
v
?
?
y?
1?
2u
?
z?
?
1?
u?
2v?
一般方程为:
4x?
3y?
2z?
7?
0
(2)由于平面垂直于xoy面,所以它平行于z轴,即{0,0,1}与所求的平面平行,又
m1m2?
{2,7,?
3},平行于所求的平面,所以要求的平面的参数方程为:
?
x?
1?
2u?
?
y?
?
5?
7u?
z?
1?
3u?
v?
一般方程为:
7(x?
1)?
2(y?
5)?
0,即7x?
2y?
17?
0。
(3)(ⅰ)设平面?
通过直线ab,且平行于直线cd:
?
{?
4,5,?
1},?
{?
1,0,2}从而?
的参数方程为:
?
x?
5?
4u?
v
?
?
y?
1?
5u
?
z?
3?
u?
2v?
一般方程为:
10x?
9y?
5z?
74?
0。
(ⅱ)设平面?
?
通过直线ab,且垂直于?
abc所在的平面
?
?
{?
4,5,?
1},?
?
{?
4,5,?
1}?
{0,?
1,1}?
{4,4,4}?
4{1,1,1}
均与?
?
平行,所以?
?
的参数式方程为:
?
x?
5?
4u?
v?
?
y?
1?
5u?
v?
z?
3?
u?
v?
一般方程为:
2x?
y?
3z?
2?
0.
2.化一般方程为截距式与参数式:
?
:
x?
2y?
z?
4?
0.解:
?
与三个坐标轴的交点为:
(?
4,0,0),(0?
2,0),(0,0,4),
xyz?
?
?
1.?
4?
24
所以,它的截距式方程为:
又与所给平面方程平行的矢量为:
{4,?
2,0},{4,0,4},
?
所求平面的参数式方程为:
?
x?
?
4?
2u?
v?
?
y?
?
u
?
z?
v?
3.证明矢量v?
{x,y,z}平行与平面ax?
by?
cz?
d?
0的充要条件为:
ax?
by?
cz?
0.证明:
不妨设a?
0,
则平面ax?
by?
cz?
d?
0的参数式方程为:
dbc?
x?
?
?
u?
v?
aaa?
?
y?
u
?
z?
v?
?
bc
故其方位矢量为:
{?
1,0},{?
0,1},
aa
从而平行于平面ax?
by?
cz?
d?
0的充要条件为:
v,{?
bc
1,0},{?
0,1}共面?
aa
xyb?
1ac?
0a
?
ax?
by?
cz?
0.
z0?
01
4.已知连接两点a(3,10,?
5),b(0,12,z)的线段平行于平面7x?
4y?
z?
1?
0,求b点的z坐标.
解:
?
?
{?
3,2,5?
z}而ab平行于7x?
4y?
z?
1?
0由题3知:
(?
3)?
7?
2?
4?
(z?
5)?
0从而z?
18.
5.求下列平面的一般方程.
⑴通过点?
1?
2,?
1,1?
和?
2?
3,?
2,1?
且分别平行于三坐标轴的三个平面;⑵过点?
?
3,2,?
4?
且在x轴和y轴上截距分别为?
2和?
3的平面;⑶与平面5x?
y?
2z?
3?
0垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面;⑷已知两点?
1?
3,?
1,2?
?
2?
4,?
2,?
1?
求通过?
1且垂直于?
1,?
2的平面;⑸原点?
在所求平面上的正射影为?
?
2,9,?
6?
;
⑹求过点?
1?
3,?
5,1?
和?
2?
4,1,2?
且垂直于平面x?
8y?
3z?
1?
0的平面.
x?
2
解:
平行于x轴的平面方程为
y?
1z?
1?
10
00
?
0.即z?
1?
0.
11
同理可知平行于y轴,z轴的平面的方程分别为z?
1?
0,x?
y?
1?
0.⑵设该平面的截距式方程为
xyz24?
?
?
1,把点?
?
3,2,?
4?
代入得c?
?
?
2?
3c19
故一般方程为12x?
8y?
19z?
24?
0.
⑶若所求平面经过x轴,则?
0,0,0?
为平面内一个点,
?
5,1,?
2?
和?
1,0,0?
为所求平面的方位矢量,
x?
0
∴点法式方程为
y?
0z?
010
?
2?
00
51
∴一般方程为2y?
z?
0.
同理经过y轴,z轴的平面的一般方程分别为2x?
5z?
0,x?
5y?
0.
1,?
1,?
3?
.?
1?
2垂直于平面?
⑷?
1?
2?
?
1,?
1,?
3?
平面?
通过点?
1?
3,?
1,2?
∴该平面的法向量n?
?
因此平面?
的点位式方程为?
x?
3?
?
?
y?
1?
?
3?
z?
2?
?
0.化简得x?
y?
3z?
2?
0.
?
?
.(5)op?
?
2,9,?
6?
p?
op?
?
?
?
4?
81?
36?
11.
op?
p?
n0?
11?
cos?
cos?
cos?
?
?
?
2,9,?
6?
.296,cos?
?
cos?
?
?
.111111
296
y?
z?
11?
0.则该平面的法式方程为:
x?
111111
∴cos?
?
既2x?
9y?
6z?
121?
0.
1,?
8,3?
,m1m2?
?
(6)平面x?
8y?
3z?
1?
0的法向量为n?
?
1,6,1?
,点从?
4,1,2?
?
x?
4
写出平面的点位式方程为
y?
1z?
2?
8
6
31
11
?
83
?
0,则a?
?
?
26,
61
b?
313
?
2,c?
?
14,d?
?
26?
4?
2?
28?
?
74,111
则一般方程ax?
by?
cz?
d?
0,即:
13x?
y?
7z?
37?
0.6.将下列平面的一般方程化为法式方程。
?
1?
.x?
2y?
5z?
3?
0.?
2?
x?
y?
1?
0.?
3?
x?
2?
0.?
4?
4x?
4y?
7z?
0.
解:
?
d?
?
3.
?
?
?
1a?
b?
c
2
2
2
?
1
?
将已知的一般方程乘上?
?
1.得法式方程
x?
2y?
5z?
1
3?
0.
?
2?
?
d?
1.?
?
?
?
?
12x?
12y?
12
12
.?
将已知的一般方程乘上?
?
?
2
.得法式方程
?
0.
?
3?
.?
d?
2.?
?
?
?
1.?
将已知的一般方程乘上?
?
?
1.得法式方程?
x?
2?
0.?
4?
.?
d?
0.?
?
?
?
1.即?
?
1或?
?
?
1
9
9
9
将已知的一般方程乘上?
?
11447
或?
?
?
.得法式方程为x?
y?
z?
0或99999
?
447
x?
y?
z?
0.999
7.求自坐标原点自以下各平面所引垂线的长和指向平面的单位法矢量的方向余弦。
?
1?
.2x?
3y?
6z?
35?
0.?
2?
.x?
2y?
2z?
21?
0.
解:
?
1?
.d?
?
35.?
?
1236
.化为法式方程为x?
y?
z?
5?
0原点指向平面?
的单位法7777
236
cos?
?
cos?
?
.原点o到平面?
777
矢量为u?
?
,?
它的方向余弦为cos?
?
的距离为p?
?
?
d?
5.
?
236?
?
777?
?
2?
.d?
21.?
?
?
1.化为法式方程为-?
1x?
2y?
2z?
7?
0原点指向平面?
的单位法
3
3
3
3
矢量为n?
?
?
122?
122?
,?
?
它的方向余弦为cos?
?
?
cos?
?
cos?
?
?
.原点o到
333?
333?
平面?
的距离p?
?
?
d?
7.第20页
8.已知三角形顶点a?
0,?
7,0?
b?
2,?
1,1?
c?
2,2,2?
.求平行于?
abc所在的平面且与她相距为2各单位的平面方程。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
解:
设ab?
a,ac?
b.点a?
0,?
7,0?
.则a?
?
2,6,1?
b?
?
2,9,2?
写出平面的点位式方程
【篇三:
解析几何第四版习题答案第四章】
ass=txt>4.1柱面
1、已知柱面的准线为:
?
(x?
1)2?
(y?
3)2?
(z?
2)2?
25?
?
x?
y?
z?
2?
0
且
(1)母线平行于x轴;
(2)母线平行于直线x?
y,z?
c,试求这些柱面的方程。
解:
(1)从方程
?
(x?
1)2?
(y?
3)2?
(z?
2)2?
25?
?
x?
y?
z?
2?
0
中消去x,得到:
(z?
y?
3)2?
(y?
3)2?
(z?
2)2?
2522即:
y?
z?
yz?
6y?
5z?
3?
02
此即为要求的柱面方程。
?
x?
y
(2)取准线上一点m0(x0,y0,z0),过m0且平行于直线?
的直线方程为:
z?
c?
?
x?
x0?
t?
?
y?
y0?
t
?
z?
z0?
而m0在准线上,所以?
?
x0?
x?
t?
?
y0?
y?
t?
z?
z?
0
?
(x?
t?
1)2?
(y?
t?
3)2?
(z?
2)2?
25?
?
x?
y?
z?
2t?
2?
0
上式中消去t后得到:
x2?
y2?
3z2?
2xy?
8x?
8y?
8z?
26?
0
此即为要求的柱面方程。
2
而m0在准线上,所以:
?
x?
t?
y2?
(z?
2t)2
?
?
x?
t?
2(z?
2t)
消去t,得到:
4x2?
25y2?
z2?
4xz?
20x?
10z?
0
3、求过三条平行直线x?
y?
z,x?
1?
y?
z?
1,与x?
1?
y?
1?
z?
2的圆柱面方程。
解:
过
又过准线上一点m1(x1,y1,z1),且方向为?
1,1,1?
的直线方程为:
?
x?
x1?
t?
?
y?
y1?
t
?
z?
z?
t1?
将此式代入准线方程,并消去t得到:
?
?
x1?
x?
t?
?
y1?
y?
t?
z?
z?
t?
1
5(x2?
y2?
z2?
xy?
yz?
zx)?
2x?
11y?
13z?
0
此即为所求的圆柱面的方程。
4、已知柱面的准线为(u?
?
x(u),y(u),z(u)?
,母线的方向平行于矢量?
?
x,y,z?
,试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为:
x?
y(u)?
vs
与
?
x?
x(u)?
xv?
?
y?
y(u)?
yv
?
z?
z(u)?
zv?
式中的u,v为参数。
证明:
对柱面上任一点m(x,y,z),过m的母线与准线交于点m?
(x(u),y(u),z(u)),则,m?
v
即
1、求顶点在原点,准线为x2?
2z?
1?
0,y?
z?
1?
0的锥面方程。
解:
设为锥面上任一点m(x,y,z),过m与o的直线为:
xyz?
?
xyz
设其与准线交于(x0,y0,z0),即存在t,使x0?
xt,y0?
yt,z0?
zt,将它们代入准线方程,并消去参数t,得:
x2?
2z(z?
y)?
(z?
y)2?
0
即:
x2?
y2?
z2?
0
此为所要求的锥面方程。
2、已知锥面的顶点为(3,?
1,?
2),准线为x2?
y2?
z2?
1,x?
y?
z?
0,试求它的方程。
解:
设m(x,y,z)为要求的锥面上任一点,它与顶点的连线为:
x?
3y?
1z?
2?
?
x?
3y?
1z?
2
令它与准线交于(x0,y0,z0),即存在t,使
?
x0?
3?
(x?
3)t?
?
y0?
?
1?
(y?
!
)t
?
z?
?
2?
(z?
2)t?
0
将它们代入准线方程,并消去t得:
3x2?
5y2?
7z2?
6xy?
2yz?
10xz?
4x?
4y?
4z?
4?
0
此为要求的锥面方程。
4、求
对锥面上任一点m(x,y,z),过m与顶点o的母线为:
xyz?
?
xyz
令它与准线的交点为(x0,y0,z0),即存在t,使x0?
xt,y0?
yt,z0?
zt,将它们代入准线方程,并消去t得:
xy?
yz?
zx?
0
此即为要求的圆锥面的方程。
5、求顶点为(1,2,4),轴与平面2x?
2y?
z?
0垂直,且经过点(3,2,1)的圆锥面的方程。
解:
轴线的方程为:
x?
1y?
2z?
4?
?
221
过点(3,2,1)且垂直于轴的平面为:
2(x?
3)?
2(y?
2)?
(z?
1)?
0
即:
2x?
2y?
z?
11?
0该平面与轴的交点为(112037,,),它与(3,2,1)的距离为:
999
112037d?
(?
3)2?
(?
2)2?
(?
1)2?
9993
?
要求圆锥面的准线为:
的径矢为?
0?
?
x0,y0,z0?
,试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
v?
(u)?
(1?
v)?
0
与?
?
x?
vx(u)?
(1?
v)x0?
?
y?
vy(u)?
(1?
v)y0
?
z?
vz(u)?
(1?
v)z0?
式中,u,v为参数。
?
?
?
?
?
?
证明:
对锥面上任一点m(x,y,z),令om?
?
,它与顶点a的连线交准线于
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,即m?
(x(u),y(u),z(u)om?
?
(u)。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
am//am,且am?
?
0(顶点不在准线上)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
am?
vam?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
即?
?
?
0?
v(?
(u)?
?
0)
?
?
?
?
?
?
?
?
亦即?
?
v?
(u)?
(1?
v)?
0
此为锥面的矢量式参数方程。
若将矢量式参数方程用分量表示,即:
?
{x,y,z}?
v{x(u),y(u),z(u)}?
(1?
v){x0,y0,z0}
?
x?
vx(u)?
(1?
v)x0?
?
?
y?
vy(u)?
(1?
v)y0
?
z?
vz(u)?
(1?
v)z0?
此为锥面的坐标式参数方程,u,v为参数。
4.3旋转曲面
1、求下列旋转曲面的方程:
x?
1y?
1z?
1xyz?
1?
?
?
绕?
旋转1?
121?
12
xyz?
1xyz?
1?
(2);?
?
绕?
旋转211?
1?
12
x?
1yz?
?
绕z轴旋转;(3)1?
33
(1);
2?
?
z?
x(4)空间曲线?
2绕z轴旋转。
2?
?
x?
y?
1
解:
(1)设m1(x1,y1,z1)是母线x?
1y?
1z?
1?
?
上任一点,过m1的纬圆为:
1?
12
(1)?
(x?
x1)?
(y?
y1)?
2(z?
z1)?
0?
222222
(2)?
x?
y?
(z?
1)?
x1?
y1?
(z1?
1)
xyz?
1因m1在母线上,?
1?
1?
1(3)21?
1
从
(1)——(3)消去x1,y1,z1,得到:
5x2?
5y2?
23z2?
12xy?
24yz?
24xz?
24x?
24y?
46z?
23?
0此为所求的旋转面的方程。
(3)对母线上任一点m1(x1,y1,z1),过该点的纬圆为:
(1)?
z?
z1?
222222
(2)?
x?
y?
z?
x1?
y1?
z1
x?
1y1z1?
?
(3)又m1在母线上,所以:
1
1?
33
从
(1)——(3)消去x1,y1,z1,得到:
9(x2?
y2)?
10z2?
6z?
9?
0
此为所求的旋转面方程。
(4)对母线上任一点m1(x1,y1,z1),过m1的纬圆为:
?
z?
z1?
222222?
x?
y?
z?
x1?
y1?
z1
又m1在母线上,所以
2?
?
z1?
x1?
22?
?
x1?
y1?
1
(1)
(2)
(1)
(2)
从
(1)——(3)消去x1,y1,z1,得到:
x2?
y2?
1
?
z?
z1?
x12?
1?
0?
z?
1
即旋转面的方程为:
x2?
y2?
1(0?
z?
1)
2、将直线x
?
?
y?
?
z?
绕z轴旋转,求这旋转面的方程,并就?
?
可能的值讨论这是什01
么曲面?
解:
先求旋转面的方程式:
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- 解析几何 第四 第二 答案