求解最值问题的几种思路.docx
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求解最值问题的几种思路
求解最值问题的几种思路
求解最值问题的几种思路
最值问题涉及的知识面较广,解法灵活多变,越含着丰富的数学思想方法,对发展学生的思维,提升学生解题能力起着十分重要的作用.
本文举例介绍这类问题的常见思路和方法.
一、利用非负数的性质
在实数范围内,显然有m2n2p_p,当且仅当m=n=O时,等号成立,即m2n2p的最小值为p.
例1形码设a、b为实数,求a2■ab•b2-a-2b的最小值.
解析a2■ab•b2-a-2b=a2•(b-1)a•b2-2b
b—1232
=(a厂)24(b-1)2-1一-1.
当a+^^Ob-A,即a=0b=时,上式等号成立.
故a2abb2-a-2b的最小值为-1.
二、均值代换法
在一些数学问题中,常遇到含有m+w型条件的问题,若用m=^q,^-p-q来代换,往往能获得
简捷的妙法.
例2已知x、y为实数,且x2y^2,求
.(2xy)一(2的最值.
解析由2=x2.y2_2xy得xyw1,易得最小值为3.
设x2=1k,y2=1-k,其中一1一k_1,
■;(2xy)(2-xy)「、4-x2y2-,4-(1-k2)八
又03_k23<1「3
即3乞k23<4
-..(2xy)(2x的最小值是3,最大值是2.
三、局部换元法
例3若a+b+c=1,求a2+b2+c的最小值.
解析设a=3「,b=3「
J,蔦2.j2I:
)2
33
故a2+b2+c2的最小值为1.
四、积化和差法
完全平方公式(a瓦=a2ab;b
222
(a-b)a-2abb.
将这两个公式的左右两边分别相减,得
结论14ab=(ab)2-(a-b)2.①
由于(a-b2一0故由①又可得如下积化和的完全平方不等式.
结论24a^(ab)2,当且仅当a=b时,等号成立.②
结论①、②表明两个代数式之积可化为它们的和差的关系式.应用上述公式解题,方法独特,别致新颖,给人一种清晰、明快的感觉.
例4设x2+y2=a,av1,求S=G-x2+J1-y2的最大值.
解把S=E,有两边平方得
S2=2-(X2y2),21乳,
即S2=2-a22一1£1,
.1£,1y2[(S2a22T
由积化和差公式,得
匚X2口=(4匕》)2_(上宁匕『)2
代人上式,得
扌(S2a2-2)=(S)2-(I;1")2.
--S2
」a21一0,
21
QS0,Sz,4-2a2.又*=目=ga时,
弘大值二4~2a.
注有时将积化和差公式4ab=(a■b)2-(a-b)化为如下形式:
u,a+b\2,a+b\2
ay)r,
用起来比较方便.
五、配方法
解题时把题中所给的代数式,应用配方法化成一个或几个完全平方式与常数的代数和的形式;再根据(a_b)2_0,可求出代数式的最小值,根据~(a-b)2£0,可求出代数式的最大值.
例5求函数y=x4x21的最值.
解析y=(x2)2+x$i=(x+1)+3.
2
Qx-0,
■X2的最小值是0,X最小也是0.当x=0时,y的最小值为:
123
(01厂1.
注本题如果机械地套用二次函数求极值的公式去求y的最值,那就错了.事实上,当
x^-2^=-2时,y取得极小值,这是不可能的。
一般情况下,如果自变量取值范围有一定限制,不
能轻易套用极值公式,而应先通过配方,再求极值,这样做才不会得出错误的答案•
六、增加辅助量
例6若实数a、b、c、d、f满足条件abcd8和Ja2b2cdf2=162,^^f的最值.
角军Qabcd8,=
■abcd=8-f.
设a=口乜,"口+0,*口+丫,d=口代
4'4'4'4)
贝+p+了+5=o,
而'a2b2c2d2二4(—f)22(*亠,-'-•":
•)8f匕2;.,「,22丄眉2
44
2
二(8-f)
-4'
2
16-f2_d°,即5f2-16f^0.
47
故f的最大值为半,最小值为。
・
5
七、数形结合法
例7已知a、b都是小于1的正数,求
、、.a?
—b^,a2(1_b)2(1—a)2(1—b)2
’—a)2—b2的最小值.
解对形如、口的问题,不妨考虑利用勾股定理和题中所给的已知条件,构造相应的几何图形,并根据图形中边与边之间的关系解决问题•
如图1,构造边长为1的正方形ABCD,P是正方形内一点,它到AB、BC的距离分别为a、b,即PG=a,PH=b,则由勾股定理,易得
图1
BPFa2b2
PD(1—a)2(1—b)2
AP「a2(1-b)2
PC-(1-a)2b2
AC=BD=72.
QAPPC—AC,PBPD_BD,贝UAPPBPCPD—2AC,
.」a^,a~(Cb)^.(Ca)^(Cb)^,(Ca)^b2_^2即所求最小值2、2.
八、构造一元二次方程
例8若2x23xy2y2",求xyx的最小值.
解将2x23xy2y2.1配方,得
2(xy)2=1■xy①
^设k二xyxy
贝U1xy=k-(xy)1
•••方程①可构造为以xy为主元的一元二次方程:
2(xy)2(xy)-k-1=0
Qxy是实数,V0
即12-42(-k-1)0
解之得k_一9
8
即xyxy的最小值*
8
点评此题巧妙运用了构造方程的思想,并
利用一元二次方程根的判别式求得k的最值.
九、构造函数
由于最值问题中一般都存在某些变量变化的过程,因此解决最值问题离不开函数,我们常利用构造函数法使问题得到解决.
例9求代数式:
xC2的最值.解设Q=x1—2x(—1_x,)
Q=x,1—x2=sin:
J-sin2:
■
=sin:
cos:
=-sin2:
2
Q-1_sin2_1
Q最小值为-2,最大值为2
十、零点分段讨论法
例10当x1£6时,求函数y=xx-2x1的最大值.
分析先由条件x+1W6,求出x的取值范围,再用“零点分段讨论法”去掉函数y中的绝对值符号,然后求出y在各个区段上的最大值并加以比较,从中确定出在取值范围内的最大值.
解由|x+1|《66,知-7MXM5.
当-7^x=:
0时,
22
y=-x-2x1=-(x1)2
当0乞x乞5时,
y=x2-2x1=(xT)2
故当x=5时,函数y有最大值16.
对于最值问题,还有更多的方法(如消元法、共轭配对法、数形结合法、和差代换法、判别式法、参数法、等式变形法、待定系数法、平均值不等式法等),这里不再赘述.
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