16 电磁感应习题详解.docx
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16电磁感应习题详解
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习题五
一、选择题
1.一闭合圆形线圈在均匀磁场中运动,在下列几种情况中那种会产生感应电流[]
(A)线圈沿磁场方向平移;
(B)线圈沿垂直磁场方向平移;
(C)线圈以自身的直径为轴转动,轴与磁场方向平行;
(D)线圈以自身的直径为轴转动,轴与磁场方向垂直。
答案:
D
解:
(A)、(B)、(C)问中当闭合圆形线圈运动时,穿过线圈的磁通量不发生变化,线圈中的感应电动势为零,所以不产生感应电流。
(D)问中当闭合圆形线圈运动时,穿过线圈的磁通量发生了变化,线圈中产生了感应电动势,所以产生了感应电流。
2.如图5-1所示,M为一闭合金属轻环,当右侧线圈通以如下所说哪种情况的电流时,将在环内产生图示方向的感生电流,同时环向线圈方向移动[]。
(A)电流由b点流入,a点流出,并逐渐减少;
(B)电流由a点流入,b点流出,并逐渐减少;
(C)电流由b点流入,a点流出,并逐渐增大;
(D)电流由a点流入,b点流出,并逐渐增大。
a
图5-1
答案:
A
解:
环M向右移动,可判断线圈内磁力线的方向由右向左,即电流由b点流入,a点流出;根据环内感应电流的方向,应用楞次定律可判断线圈内的磁通量在减少。
3.如图5-2所示,一矩形线圈以一定的速度ν穿过一均匀磁场,若规定线圈中感应电动势ε沿顺时针方向为正值,则下面哪个曲线图正确表示了线圈中的ε和x的关系[]
答案:
a
解:
依题意,回路中的感应电动势由导线切割磁力线的情况确定。
当线圈右边进入磁场,右边导线切割磁力线,动生电动势的方向由右手定则判断,方向逆时针;整个线圈进入
磁场,磁通量无变化,感应电动势为零;当线圈右边从磁场中穿出,左边导线切割磁力1
第2页共8页5电磁感应习题详解习题册-下-5线,动生电动势的方向由右手定则判断,方向顺时针。
4.在圆柱形空间内有一磁感应强度为B的均匀磁场,如图5-3所示,B的大小以速率dB/dt变化。
有一长度为l0的金属棒先后放在磁场的两个不同位置1(ab)和2(a'b'),则金属棒在这两个位置时棒内的感应电动势的大小关系为[]
(A)εa'b'>εab;(B)εa'b'<εab;(C)εa'b'=εab≠0;(D)εa'b'=εab=0。
答案:
A
解:
感应电动势εi=⎰LE感⋅dl。
连接Oa、Ob、Oa'、Ob',依题意有εOabO=εOa+εab+εbO=εOa+εab-εOb。
由对称性可知,在圆形截面
上,E感场线为以O为中心的一族同心圆,所以沿着半径方向上的
积分为0,即εOa=εOb=0。
所以εOabO=εab。
同理,εOa'b'O=εa'b'。
而εab=S∆Oab图5-3
S∆Oa'b'
dBdB,εa'b'=S∆Oa'b'。
根据题意可知,两个三角形等底不等高,dtdt>S∆Oab,所以εa'b'>εab。
5.有一细长螺线管其自感系数L=μn2V,若将此螺线管平分成两个,每一个螺线管的自感系数为L1及L2,它们的互感系数为M,以下答案哪一个正确[]
(A)由L=μn2V可以看出,细长螺线管其自感系数与螺线管的体积成正比,把螺
线管平分成两个,则每一个螺线管的体积为原来的一半,所以L=L1+L2;
(B)由两个线圈串联时的自感系数L=L1+L2+2M>2L1;
(C)由两个线圈串联时的自感系数L=L1+L2+M>2L1;
(D)由两个线圈串联时的自感系数L=L1+L2-2M>2L1。
答案:
B
解:
因为当把细长螺线管平分成两个螺线管时,原螺线管的自感系数应包括两个螺线管的自感系数L1、L2及它们之间的互感系数M。
至于螺线管的自感系数与螺线管的体积成正比的公式,利用了无限长螺线管内磁场的结论。
对有限体积的实际螺线管来说,它只是一个近似的关系。
如果该螺线管足够长,L1远远大于M时,以上四个答案趋向一致。
二、填空题
1.如图5-4所示,一个矩形线圈在均匀磁场中
以角速度ω旋转,当它转到图a和图b
位置时
a图5-42b
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感应电动势的大小分别为εa=;εb=答案:
εa=ωBS;εb=0。
解:
回路中感应电动势的大小由穿过回路的磁通量的变化率决定。
矩形线圈转到图中位置a时,感应电动势最大;转到位置b时,感应电动势为零。
nB初始时刻(t=0)矩形线圈平面的法线与均匀磁场的磁感应强度平行,则穿过线圈
的磁通量为Φ=BS,经过t后,n与B的夹角为ϕ=ωt,此时通过矩形线圈磁通量为:
Φ=BScosϕ=BScosωt
dΦ
=-ωBSsinωtdt
在位置a,ωt=90︒,电动势最大,εa=ωBS;
故感应电动势ε=-
在位置b,ωt=0,电动势最小,εb=0。
2.半径为R的无限长园柱导体电流(图5-5),电流强度为I。
横截面上各点的电流密度相等,求每单位长度导体内所储存的磁能。
图5-5
μ0I2
答案:
。
16π
解:
设导体电流方向由下向上,则磁感应强度的方向如俯视图(图5-5)所示,根据安培环路定理,无限长载流园柱导体内部离轴线距离为r处的磁感应强度
B=
磁场能量体密度为
μ0I
r2
2πR
B2
wm=
2μ0
取半径为r,厚为dr,长为l的体积元dV=2πrldr,则磁场能量为
Wm=⎰wmdV=⎰
v
R
1B2
⋅2πrldr2μ0
每单位长度所储存的磁能为
2
R1BR1Wmμ0I2rI2=⎰⋅2πrdr=⎰μ0()2πrdr=200l2μ022πR4πR4
⎰
R
μ0I2
rdr=
16π
3.如图5-6,一矩形导体回路ABCD放在均匀外磁场中,磁场的磁感应强度B的大小为
B=6.0⨯10高斯,B与矩形平面的法线n夹角α=60︒;回路的CD段长为l=1.0m,以
速度v=5.0m/s平行于两边向外滑动,如图所示。
则求回路中的感应电动势的大小和方向
第4页共8页5电磁感应习题详解习题册-下-5分别为和;感应电流方向。
答案:
εi=1.5V,方向D→C;感应电流方向
D→C→B→A→D。
解:
回路中的感应电动势为
εi=-d(BScosα)dΦdS=-=-Bcosα=-Blvcosαdtdtdt
=-6.0⨯103⨯10-4⨯1⋅0⨯5⋅0⨯cos60o=-1.5V
负号表示εi的方向(非静电力的方向)为
D→C→B→A→D,这个方向就是感应电流的方向。
4.如图5-7所示,两根平行长直导线置于空气中,横截面半径都是a,两导线中心相距为d,属于同一回路。
设两导线内部的磁通量可忽略不计。
求这一对导线单位长度的自感系数。
μ0d-a。
lnπa
解:
自感一般用Φ=LI进行计算。
设电流为I,算出电流I
的磁场分布,进而算出自感磁通量Φ,即可求出结果。
答案:
L=
设电流和坐标的方向如图5-7所示,则在离o为x处的总磁
感应强度
μIμ0IB=0+2πx2πd-x通过图中阴影部分面元的磁通量dΦ=Bldx=
通过整个中心平面的磁通量μ0I⎛11⎫+⎪ldx2π⎝xd-x⎭
μ0Ild-a⎛1μ0Ild-a1⎫Φ=⎰dΦ=+dx=ln⎪2π⎰a⎝xd-x⎭πa
所以,平行导线单位长度的自感系数L=
5.真空中一均匀磁场的能量密度wm与一均匀电场的能量密度we相等,已知B=0.5T,则电场强度为。
答案:
1.5⨯108V/m。
解:
依题意,有Φμ0d-a=lnIlπa11B2
2ε0E=
22μ0
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E=
三、计算题
=cB=3⨯108⨯0.5=1.5⨯108V/m
1.长为L的金属细杆ab与载有电流的无限长直导线共面,且绕端点a以角速度ω在公共平面内转动,如图5-8所示。
当细杆转到与水平线夹角为θ时,求ab两点的电势差Uab。
答案:
Uab=
ωμ0I⎛r0+Lcosθ⎫
Lcosθ-rln⎪。
0
2πcos2θ⎝r0⎭
解:
积分路径选为b→a
μI
dεi=(v⨯B)⋅dl=vBdl=ωl0dl
2πr
r=r0+lcosθ,θ为常量。
dεi=
a
ωμ0Ilωμ0Ir-r0ωμ0Ir-r0
dl=⋅d(lcosθ)=⋅dr2
2πr2πcosθrcosθ2πcosθr
ωμ0I
εi=⎰dεi=
b2πcos2θ
r-r0ωμ0I⎛r0+Lcosθ⎫
dr=-Lcosθ-rln⎪0⎰r0+Lcosθr2πcos2θ⎝r0⎭
r0
Uab=Ua-Ub=-εi=
ωμ0I⎛r0+Lcosθ⎫
Lcosθ-rln⎪0
2πcos2θ⎝r0⎭
2.如图5-9所示直角三角形金属PQS框放在均匀磁场B中,B平行于边PQ,PQ边长为
b,PQ边与QS边夹角为α,当金属框绕PQ边以角速度ω转动时,求
(1)回路的总感应电动势;
(2)各边的感应电动势。
答案:
(1)ε=0;
(2)PQ边:
ε1=0,PS边:
ε2=ωBb2tan2α,QS边:
ε3=-ωBb2tan2α。
解:
本题先求回路的总感应电动势,再求各边的感应电动势较为方便。
1
2
12
图
5-9
(1)在线圈旋转过程中,磁力线总与线圈平面平行,通过线圈的磁通量恒为零,其感应电动势
εi=-
dΦ
=0dt
(2)求各边的动生电动势εi=
⎰
L
(v⨯B)⋅dl
第6页共8页5电磁感应习题详解习题册-下-5
PQ边:
v=0,所以其动生电动势ε1=0。
即
PS边:
dε2=(v⨯B)⋅dl=vBdl
ε2=⎰
btanα0
ωlBdl=ωBb2tan2α(其中PS=btanα)
12
QS边:
ε3=ε-ε1-ε2,所以ε3=-ε2=-ωBb2tan2α。
12
3.限制在圆柱形体积内的均匀磁场,磁感应强度为B,方向如图5-10
所示。
圆柱的半径为R,B的数值以10-6T/s的恒定速率减小。
当电
子分别位于磁场中a点、b点与c点时,假定r=0.5m,求电子获得的瞬时加速度的大小和方向。
答案:
(1)aa=4.4⨯104(ms-2),方向水平向左;
(2)ab=0;
(3)ac=4⋅4⨯104(ms-2),方向水平向右。
∂BE⋅dl=-⋅dS解:
本题先用求出涡旋电场的分布,再由F=-eE=maEie求出i⎰Li⎰S∂t电子的加速度。
图5-10
∂B
为常量,面积元dS的方向取与B的方向一致,于Ei线是围绕轴线b的同心圆,
∂t
∂B
是由⎰LEi⋅dl=-⎰S∂t⋅dS,得
∂Br∂B
⋅πr2,Ei=-
∂t2∂t
电子位于b点时,因r=0,Ei=0,其加速度ab=0;电子位于a点时,其加速度
Ei⋅2πr=-
eEier∂B1⋅6⨯10-190⋅5aa=-=-(-)=-⋅⨯10-6=-4⋅4⨯104(ms-2),方向水平向左;-31
meme2∂t9⋅1⨯102
电子位于c点时的加速度ac=4⋅4⨯104(ms-2),方向水平向右。
∂B
=-10-6Ts-1,所以Ei线的方向是顺时针的。
电子带负电,其加速度方向与Ei相反,因∂t故有以上结果。
4.在垂直于半径为a,厚为b的金属圆盘面方向上,加一均匀
dB
磁场,如图5-11所示,今使磁场随时间变化,=k,k为一
dt
常量,已知金属圆盘的电导率为σ,求属圆盘内总的涡流。
图
5-11
第7页共8页5电磁感应习题详解习题册-下-5答案:
i=1kσba2。
4
dεi=dφdB=πr2=πr2kdtdt
dR=ρ2πrbdr解:
在半径为r的导体回路中产生的感生电动势为内半径为r,外半径r+dr,长为b的圆柱体的电阻为
在这体元中的涡流为(忽略自感的影响)
di=
故金属圆盘中的总涡流为dεibdr1=πr2k⋅=kσbrdrdRρ2πr2
ia11i=⎰di=kσb⎰rdr=kσba20024
5.一个n匝圆形细线圈,半径为b,电阻为R,以匀角速绕其某一直径为轴而转动,该转轴与均匀磁场B垂直。
假定有一个面积为A(很小)的小铜环固定在该转动线圈的圆心上,环面与磁场垂直,如图5-12所示,求在小铜环内产生的感应电动势(忽略小铜环对圆形线圈的感应)。
μ0nπbω2BA⨯图5-12
cos2ωt。
答案:
εi=-2R⨯⨯⨯⨯⨯⨯
⨯⨯⨯⨯⨯⨯解:
设大圆形线圈的法线与磁场夹角为θ,线圈由θ=0的初位置开始转动,任一时刻
θ=ωt,则线圈在磁场中转动时所产生的感应电动势和电流为
dΦddεi=-=-B⋅S=-(n⋅πb2Bcosωt)=nπb2ωBsinωtdtdtdt()
nπb2ωBi==sinωt
(1)RR感应电流在小铜环处产生的磁场B',在环面范围内视为均匀(因A很小)。
考虑到式
(1),εi
有
μ0iμ0nπbωBB'==sinωt2b2R
所以在铜环中的感应电动势为
εi=-
dΦ'dd=-B'⋅A=-(B'Acosωt)dtdtdt()μ0nπbω2BAd⎛μ0nπbωBA⎫sinωtcosωt⎪=-cos2ωt=-dt⎝2R2R⎭7
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