复变函数与积分变换教案.doc
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第一章复数与复变函数
第一节复数及其代数运算
1、复数域:
每个复数具有的形状,其中和,是虚数单位;和分别称为的实部和虚部,分别记作,。
复数和相等是指它们的实部与虚部分别相等。
如果,则可以看成一个实数;如果,那么称为一个虚数;如果,而,则称为一个纯虚数。
2、复数的四则运算
复数的四则运算定义为:
复数在四则运算这个代数结构下,构成一个复数域,记为C。
第二节、复数的几何表示
1、复平面
C也可以看成平面,我们称为复平面。
作映射:
,则在复数集与平面之建立了一个1-1对应。
横坐标轴称为实轴,纵坐标轴称为虚轴;复平面一般称为z-平面,w-平面等。
复数可以等同于平面中的向量,。
向量的长度称为复数的模,定义为:
;
向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角,定义为:
()。
复数的共轭定义为:
;
复数的三角表示定义为:
;
复数加法的几何表示:
设、是两个复数,它们的加法、减法几何意义是向量相加减,几何意义如下图:
关于两个复数的和与差的模,有以下不等式:
(1)、;
(2)、;
(3)、;(4)、;
(5)、;(6)、;
例1试用复数表示圆的方程:
()
其中,a,b,c,d是实常数。
解:
方程为,其中。
例2、设、是两个复数,证明
第三节复数的乘幂与方根
利用复数的三角表示,我们可以更简单的表示复数的乘法与除法:
设、是两个非零复数,则有
则有
即,,其中后一个式子应理解为集合相等。
同理,对除法,有
即,,其后一个式子也应理解为集合相等。
例3、设、是两个复数,求证:
例4、作出过复平面C上不同两点a,b的直线及过不共线三点a,b,c的圆的表示式。
解:
直线:
;
圆:
利用复数的三角表示,我们也可以考虑复数的乘幂:
令,则
进一步,有
共有-个值。
例4、求的所有值。
解:
由于,所以有
其中,。
第四节区域
一、初步概念:
设,的-邻域定义为
称集
为以为中心,为半径的闭圆盘,记为。
设,
若中有无穷个点,则称为的极限点;
若,使得,则称为的内点;
若中既有属于的点,由有不属于的点,则称为的边界点;
集的全部边界点所组成的集合称为的边界,记为;
称为的闭包,记为;
若,使得,则称为的孤立点(是边界点但不是聚点);
开集:
所有点为内点的集合;
闭集:
或者没有聚点,或者所有聚点都属于;则任何集合的闭包一定是闭集;
如果,使得,则称是有界集,否则称是无界集;
复平面上的有界闭集称为紧集。
例1、圆盘是有界开集;闭圆盘是有界闭集;
例2、集合是以为心,半径为的圆周,它是圆盘和闭圆盘的边界。
例3、复平面、实轴、虚轴是无界集,复平面是无界开集。
例4、集合是去掉圆心的圆盘。
圆心,它是的孤立点,是集合的聚点。
无穷远点的邻域:
,集合称为无穷远点的一个邻域。
类似地有,聚点、内点、边界点与孤立点,开集、闭集等概念。
我们也称为的一点紧化。
二、区域、曲线:
复平面C上的集合,如果满足:
(1)、是开集;
(2)、中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来,而使这条折线上的点完全属于。
则称是一个区域。
结合前面的定义,有有界区域、无界区域。
性质
(2)我们称为连通性,即区域是连通的开集。
区域内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域。
扩充复平面上不含无穷远点的区域的定义同上;含无穷远点的区域是C上的一个区域与无穷远点的一个邻域的并集。
设已给
如果和都在闭区间上连续,则称集合为一条连续曲线。
如果对上任意不同两点及,但不同时是的端点,我们有,那么上述集合称为一条简单连续曲线,或若尔当曲线。
若还有,则称为一条简单连续闭曲线,或若尔当闭曲线。
光滑曲线:
如果和都在闭区间上连续,且有连续的导函数,在上,则称集合为一条光滑曲线;类似地,可以定义分段光滑曲线。
三、单连通域与多连通域
定义:
设是一个区域,在复平面C上,如果内任何简单闭曲线的内区域中每一点都属于,则称是单连通区域,否则称是多连通区域。
中区域的连通性:
如果内任何简单闭曲线的内区域或外区域中每一点都属于,则称是单连通区域,否则称是多连通区域。
例1、集合为半平面,它是一个单连通无界区域,其边界为直线
即。
例2、集合为一个垂直带形,它是一个单连通无界区域,其边界为直线及。
例3、集合为一角形,它是一个单连通无界区域,其边界为半射线
及。
例4、集合为一个圆环,它是一个多连通有界区域,其边界为圆及。
例5、在上,集合与分别为单连通及多连通的无界区域,其边界分别为及。
第五节复变函数
一、定义
设在复平面C上以给点集。
如果有一个法则,使得,同它对应,则称为在上定义了一个复变数函数,简称为复变函数,记为。
注解1、同样可以定义函数的定义域与值域;
注解2、此定义与传统的定义不同,没有明确指出是否只有一个和对应;
注解3、复变函数等价于两个实变量的实值函数:
若,,则等价于两个二元实变函数和。
函数也称为从到C上的一个映射或映照。
把集合表示在一个复平面上,称为-平面;把相应的函数值表示在另一个复平面上,称为-平面。
从集合论的观点,令,记作,我们称映射把任意的映射成为,把集映射成集。
称及分别为和的象,而称和分别为及的原象。
若把中不同的点映射成中不同的点,则称它是一个从到的双射。
例1、考虑映射。
解:
设,,,则有,,这是一个平面到平面的双射,我们称为一个平移。
例2、考虑映射,其中。
解:
令,则它可以分解为以下两个映射的复合:
,
第一个映射是一个旋转(旋转角为),第二个映射是一个以原点为中心的相似映射。
例3、考虑映射。
解:
它可以分解为以下两个映射的复合:
,
映射是一个关于实数轴的对称映射;
映射把映射成,其辐角与相同:
而模,满足。
我们称为关于单位圆的对称映射,与称为关于单位圆的互相对称点。
若规定把映射成,则它是一个扩充平面到扩充平面的一个双射。
例4、考虑映射。
解:
等价于
,。
二.复变函数的极限
设函数在集合上确定,是的一个聚点,是一个复常数。
如果任给,可以找到一个与有关的正数,使得当,并且时,
,
则称为函数当趋于时的极限,记作:
注解:
1、复变函数的极限等价于两个实变二元函数的重极限。
2、关于极限的和、差、积、商等性质可以不加改变的推广到复变函数。
三.复变函数连续性的定义
设函数在集合上确定,是的一个聚点,如果
成立,则称在处连续;如果在中每一点连续,则称在上连续。
注解1、如果,则在处连续的充要条件为:
即一个复变函数的连续性等价于两个实变二元函数的连续性;
注解2、连续函数的四则运算结论成立:
两个复变函数连续的加、减、乘、除(分母不等于零)是复变函数连续;
注解3、如果函数在集上连续,并且函数值属于集,而在集上,函数连续,那么复合函数在上连续。
四.一致连续性
设函数在集合上确定,如果任给,可以找到一个仅与有关的正数,使得当,并且时,
,
则称函数在上一致连续。
定理1、设函数在简单曲线或有界闭区域上连续,那么它在上一致连续。
定理2、设函数在简单曲线或有界闭区域上连续,那么它在上有界,即在集上有界。
定理3、设函数在简单曲线或有界闭区域上连续,那么在上达到它的最大模和最小模。
第二章解析函数
第一节解析函数的概念
一、导数、解析函数
导数:
设是在区域内确定的单值函数,并且,。
如果极限
存在,为复数,则称在处可导或可微,极限称为在处的导数,记作,或。
解析函数:
定义:
如果在及的某个邻域内处处可导,则称在处解析;如果在区域内处处解析,则我们称在内解析,也称是的解析函数。
解析函数的导(函)数一般记为或。
注解1、语言,如果任给,可以找到一个与有关的正数,使得当,并且时,
,
注解2、解析性与连续性:
在一个点的可导性的函数必然是这个上的连续函数;
注解3、解析性与可导性:
在一个点的可导性是一个局部概念,而解析性是一个整体概念;
注解4、函数在一个点解析,是指在这个点的某个邻域内解析,因此在此点可导;反之,在一个点的可导性不能得到在这个点解析。
解析函数的四则运算:
和在区域内解析,那么,,(分母不为零)也在区域内解析,并且有下面的导数的四则运算法则:
。
复合求导法则:
设在平面上的区域内解析,在平面上的区域内解析,而且当时,,那么复合函数在内解析,并且有
求导的例子:
(1)、如果(常数),那么;
(2)、,;
(3)、的任何多项式
在整个复平面解析,并且有
(4)、在复平面上,任何有理函数,除去使分母为零的点外是解析的,它的导数的求法与z是实变量时相同。
第二节函数解析的充要条件
柯西-黎曼条件
可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理:
定理1设函数f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内确定,那么f(x,y)在点可微的充要条件是:
1、实部u(x,y)和虚部v(x,y)在(x,y)处可微;
2、u(x,y)和v(x,y)满足柯西-黎曼条件(简称C-R方程)
证明:
(必要性)设在有导数,根据导数的定义,当时()
其中,。
比较上式的实部与虚部,得
因此,由实变二元函数的可微性定义知,u(x,y),v(x,y)在点(x,y)可微,并且有
因此,柯西-黎曼方程成立。
(充分性)设u(x,y),v(x,y)在点(x,y)可微,并且有柯西-黎曼方程成立:
设则由可微性的定义,有:
令,当()时,有
令,则有
所以,f(x,y)在点可微的。
定理2设函数f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)在D区域D内确定,那么f(x,y)在区域D内解析的充要条件是:
1、实部u(x,y)和虚部v(x,y)在D内可微;
2、u(x,y)和v(x,y)在D内满足柯西-黎曼条件(简称C-R方程)
关于柯西-黎曼条件,有下面的注解:
注解1、解析函数的实部与虚部不是完全独立的,它们是C-R方程的一组解,它们是在研究流体力学时得到得;
注解2、解析函数的导数形式更简洁:
注解3、利用此定理,可以判断一个复变函数是否在一点可微或在一个区域内解析:
如以及在整个复平面内解析,而在任何点都不可微。
第三节初等函数
一指数函数
定义:
注:
1、
2、
3、解析性:
整个复平面
4、周期性:
,为一个基本周期
5、欧拉(Euler)公式:
当时,有
二、对数函数
定义指数函数的反函数为对数函数:
注:
1、由定义,
2、对数函数是多值函数,当定义中取主值分支时其分支记为,称为对数函数的主值分支。
即,
3、当时,即复变函数的自变量退化成为正实数时,对数函数即为实变对数函数。
例求及其主值分支。
解:
,其主值分支即为。
4、解析性
由定义中的实部和虚部两个函数,可知复变对数函数的解析域为:
除去原点与负实轴的整个复平面。
5、复变对数函数与实变对数函数的区别
相同性质:
第二式中要求
不同性质:
在时不再成立。
这是由复变对数函数的多值性所导致的。
三、乘幂幂函数
利用对数函数,可以定义乘幂函数:
设a是任何复数,则定义z的a次幂函数为
当a为正实数,且z=0时,还规定。
由于
因此,对同一个的不同数值的个数等于不同数值的因子
个数。
因此,有下面的结论:
乘幂函数的基本性质:
1、由于对数函数的多值性,幂函数一般是一个多值函数;
2、当是正整数时,幂函数是一个单值函数;
3、当(当n是正整数)时,幂函数是一个n值函数;
4、当是有理数时,幂函数是一个n值函数;
5、当a是无理数或虚数时,幂函数是一个无穷值多值函数。
6、解析性:
由定义中所包含的对数函数所决定的解析域:
除去原点与负实轴的复平面。
例求的值
解:
,
四、三角函数
由于Euler公式,对任何实数x,我们有:
,
所以有
因此,对任何复数z,定义余弦函数和正弦函数如下:
则对任何复数z,Euler公式也成立:
关于复三角函数,有下面的基本性质:
1、cosz和sinz是单值函数;
2、cosz是偶函数,sinz是奇函数:
3、cosz和sinz是以为周期的周期函数:
4、;
证明:
,
所以
5、
注解:
由于负数可以开平方,所以由此不能得到
,
例如z=2i时,有
6、cosz和sinz在整个复平面解析,并且有:
证明:
7、cosz和sinz在复平面的零点:
cosz在复平面的零点是,,sinz在复平面的零点是,。
8、同理可以定义其他三角函数:
第三章复变函数的积分
第一节:
复变函数积分的概念
1、复变函数的积分:
设在复平面C上有一条连接及Z两点的简单曲线C。
设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上的连续函数。
其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部。
把曲线C用分点分成n个更小的弧,在这里分点是在曲线C上按从到Z的次序排列的。
如果是到的弧上任意一点,那么和式
,
可以写成
或者
在这里分别表示的实部与虚部。
按照关于实变函数的线积分的结果,当曲线C上的分点的个数无穷增加,而且时,上面的四个式子分别有极限:
这时,我们说原和式有极限这个极限称为函数f(z)沿曲线C的积分,记为
于是,我们有
如果C是简单光滑曲线:
,并且,那么上式右边的积分可以写成黎曼积分的形式,例如其中第一个可以写成
,
因此,我们有
我们可以看到,把dz形式地换成微分,就直接得到上式,因此有
,
当是分段光滑简单曲线时,我们仍然可以得到这些结论。
复变函数积分的基本性质:
设f(z)及g(z)在简单曲线C上连续,则有
(1)
(2)
(3),其中曲线C是有光滑的曲线连接而成;
(4)其中如果曲线用方程:
表示,那么曲线就由给出。
即积分是在相反的方向上取的。
如果C是一条简单闭曲线,那么可取C上任意一点作为取积分的起点,而且积分当沿C取积分的方向改变时,所得积分相应变号。
(5)如果在C上,|f(z)| , 证明: 因为 两边取极限即可得结论。 例1、设C是连接及Z两点的简单曲线,那么 , 如果是C闭曲线,即,那么积分都是零。 例2、设C是圆,其中是一个复数,是一个正数,那么按反时针方向所取的积分 。 证明: 令, 于是, 从而 第二节柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理 定理设C是一条简单闭曲线,函数f(z)在以C为边界的有界闭区域D上解析,那么 。 定理3.2设f(z)是单连通区域D的解析函数,那么f(z)在D内有原函数。 基本定理阐述了一种积分与路径无关的概念,注意定理中单连通域的要求。 第三节复合闭路定理 柯西定理可以推广到多连通区域: 复合闭路定理: 设有n+1条简单闭曲线曲线中每一条都在其余曲线的外区域内,而且所有这些曲线都在的内区域,围成一个有界多连通区域D,D及其边界构成一个闭区域。 设f(z)在上解析,那么令C表示D的全部边界,我们有 其中积分是沿C按关于区域D的正向取的。 即沿按反时针方向,沿按顺时针方向取积分;或者说当点沿着C按所选定取积分的方向一同运动时,区域D总在它的左侧。 因此 也有: 第五节柯西积分公式 设f(z)在以圆为边界的闭圆盘上解析,f(z)沿C的积分为零。 考虑积分 则有: (1)被积函数在C上连续,积分I必然存在; (2)在上述闭圆盘上不解析,I的值不一定为0,例如; 现在考虑f(z)为一般解析函数的情况。 作以为心,以为半径的圆,由柯西定理,得 因此,I的值只f(z)与在点附近的值有关。 令, 则有 由于I的值只f(z)与在点附近的值有关,与无关,由f(z)在点的连续性,应该有,即 事实上,当趋近于0时,有 由于由f(z)在点的连续性,所以,使得当时,,因此 即当趋近于0时,上式右边的有第二个积分趋近于0;而,因此,结论成立。 定理(柯西积分公式)设D是以有限条简单闭曲线C为边界的有界区域。 设f(z)在D及C所组成的闭区域上解析,那么在内任一点z,有 其中,沿曲线C的积分是按反时针方向取的,我们称它为柯西公式。 证明: 设,显然函数在满足的点处解析。 以到z为心,作一个包含在D内的圆盘,设其半径为,边界为圆。 在上,挖去以为边界的圆盘,余下的点集是一个闭区域。 在上,的函数以及解析,所以有 其中,沿曲线C的积分是按关于D的正向取的,沿的积分是按反时针方向取的。 因此,结论成立。 注解1、对于某些有界闭区域上的解析函数,它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来。 注解2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一,对于复变函数理论本身及其应用都是非常重要的。 注解3、柯西公式有非常明确的物理背景和物理意义。 第六节解析函数的高阶导数 定理(高阶求导公式)设D是以有限条简单闭曲线C为边界的有界区域。 设f(z)在D及C所组成的闭区域上解析,那么f(z)在D内有任意阶导数 注解1、以上讨论表明,函数在一个区域内的解析性是很强的条件,和仅仅在一个点可导是有非常大的差异; 注解2、任意阶导数公式是柯西公式的直接推论; 注解3、设函数f(z)在区域D内解析,那么f(z)在D内有任意阶导数。 第四章级数 第一节复数项级数 复数序列就是: 在这里,是复数,一般简单记为。 按照是有界或无界序列,我们也称为有界或无界序列。 设是一个复常数。 如果任给,可以找到一个正数N,使得当n>N时 那么我们说收敛或有极限,或者说是收敛序列,并且收敛于,记作 。 如果序列不收敛,则称发散,或者说它是发散序列。 令,其中a和b是实数。 由不等式 容易看出,等价于下列两极限式: 因此,有下面的注解: 注解1、序列收敛(于)的必要与充分条件是: 序列收敛(于a)以及序列收敛(于b)。 注解2、复数序列也可以解释为复平面上的点列,于是点列收敛于,或者说有极限点的定义用几何语言可以叙述为: 任给的一个邻域,相应地可以找到一个正整数N,使得当n>N时,在这个邻域内。 注解3、利用两个实数序列的相应的结果,我们可以证明,两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛,并且其极限是相应极限的和、差积、商。 复数项级数就是 或记为,或,其中是复数。 定义其部分和序列为: 如果序列收敛,那么我们说级数收敛;如果的极限是,那么说的和是,或者说收敛于,记作 , 如果序列发散,那么我们说级数发散。 注解1、对于一个复数序列,我们可以作一个复数项级数如下 则序列的敛散性和此级数的敛散性相同。 注解2、级数收敛于的定义可以叙述为: , 注解3、如果级数收敛,那么 注解4、令 ,我们有 因此,级数收敛(于)的必要与充分条件是: 级数收敛(于a)以及级数收敛(于b)。 注解5、关于实数项级数的一些基本结果,可以不加改变地推广到复数项级数,例如下面的柯西收敛原理: 柯西收敛原理(复数项级数): 级数收敛必要与充分条件是: 任给,可以找到一个正整数N,使得当n>N,p=1,2,3,…时, 柯西收敛原理(复数序列): 序列收敛必要与充分条件是: 任给,可以找到一个正整数N,使得当m及n>N, 对于复数项级数,我们也引入绝对收敛的概念: 如果级数 收敛,我们称级数绝对收敛。 注解1、级数绝对收敛必要与充分条件是: 级数以及绝对收敛: 事实上,有 注解2、若级数绝对收敛,则一定收敛。 例、当时,绝对收敛;并且有 我们有,当时, 如果复数项级数及绝对收敛,并且它们的和分别为,那么级数 也绝对收敛,并且它的和为。 第二节幂级数 一、幂级数的概念 幂级数: 本节研究一类特别的解析函数项级数,即幂级数 其中z是复变数,系数是任何复常数。 注解1、这类级数在复变函数论中有特殊重要的意义; 注解2、一般幂级数在一定的区域内收敛于一个解析函数; 注解3、在一点解析的函数在这点的一个邻域内可以用幂级数表示出来,因此一个函数在某个点解析的必要与充分条件是,它在这个点的某个邻域内可以展开成一个幂级数。 首先研究幂级数的收敛性,我们有阿贝尔第一定理: 定理1如果幂级数在收敛,那么对满足的任何z,它都不仅收敛,而且绝对收敛。 二、收敛圆与收敛半径 定理2设的收敛半径是R,那么按照不同情况,我们分别有: (1)、如果,那么当时,级数绝对收敛,当时,级数发散; (2)如果,那么级数在复平面上每一点绝对收敛; (3)如果R=0,那么级数在复平面上除去外每一点发散。 注解1、当时,对于,级数的敛散性不定。 注解2、和数学分析中一样,定理3.2中的称为此级数的收敛半径;而称为它的收敛圆盘。 当时,我们说此级数的收敛半径是,收敛圆盘扩大成复平面。 当R=0时,我们说此级数的收敛半径是0,收敛圆盘收缩成一点。 注解3、因此,求的收敛半径的问题归结成求的收敛半径的问题 三、收敛半径的求法 定理3如果下列条件之一成立: (1) (2) (3) 那么当时,级数的收敛半径;当时,;当时,。 第三节泰勒级数 定理(泰勒级数展开定理): 设函数f(z)在圆盘内解析,那么在U内, 注解1: 解析函数在其解析点具有泰勒级数展开式; 注解2: 解析函数的泰勒级数展开式是唯一的。 例1、求在z=0的泰勒展式。 解: 由于,所以,因此 同理,有 第四节洛朗级数 考虑级数 这里是复常数。 当级数 都收敛时,我们说原级数收敛,并且它的和等于上式中两个级数的和函数相加。 设上式中第一个级数在内绝对收敛并且内闭一致收敛,第二个级数在内绝对收敛并且内闭一致收敛。 于是两级数的和函数分别及在内解析。 又设,那么这两个级数都在圆环内绝对收敛并且内闭一致收敛,于是我们说级数在这个圆环内绝对收敛并且内闭一致收敛;显然它的和函数是一个解析函数。 我们称级数为洛朗级数。 因此,洛朗级数的和函数是圆环D内的解析函数,我们也有 定理设函数f(z)在圆环: 内解析,那么在D内 其中, 是圆是一个满足的任何数。 注解1、由于函数f(z)的解析区域不是单连通区域,所以公式 不能写成: 注解2、我们称为f(z)的解析部分,而称为其主要部分。 注解3、我们称为f(z)的洛朗展式。 、 注解4、洛朗级数展开式的唯一性。 第五章留数 第一节孤立奇点 设函数f(z)在去掉圆心的圆盘内确定并且解析,那么我们称为f(z)的孤立奇点。 在D内,f(z)有洛朗展式 其中 是圆。 例如,0是的孤立奇点。 一般地,对于上述函数f(z),按照它的洛朗展式含负数幂的情况
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- 函数 积分 变换 教案