北航自控原理课件7(英文版).ppt
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Chapter7Therootlocusmethod重点掌握根轨迹的绘制通过根轨迹分析闭环系统的性能Maincontents1、Therootlocusconceptandrootlocusequation2、Therootlocusprocedure3、Zerodegreerootloci4、Estimatingthespecificationsbythedominantpoles17.1TherootlocusconceptandrootlocusequationTherootsoftheclosed-loopsystem2DefinitionTherootslocusisthepathoftherootsofthecharacteristicequationtracedoutinthes-planeasasystemparameterischanged.q根轨迹是指系统中某个参数由根轨迹是指系统中某个参数由00变动时,闭环特征根在变动时,闭环特征根在ss平面上移动的轨迹。
平面上移动的轨迹。
3G(s)H(s)R(s)C(s)D(s)=1+G(s)H(s)=0ThecharacteristicequationisWhereK:
therootlocusgainZerosofopenlooptransferfunction.Polesofopenlooptransferfunction.4TheequationmayberewritteninpolarformasThenMagnitudeequationPhaseequation57.2TherootlocusprocedureStep1:
WritethecharacteristicequationasParameterthatischangedG(s)H(s)R(s)C(s)examplewhen6CharacteristicequationisSoWhen7Characteristicequationis8Step2:
FactorP(s),writethepolynomialintheformofpolesandzerosStep3:
LocatethepolesandzerosofP(s)ons-planewithselectedsymbols9z210Thelocusoftherootsofthecharacteristicequation1+KP(s)=0beginsatthepolesofP(s)andendatthezerosofP(s)asKincreasesform0toinfinity.Step4:
Locatethesegmentsoftherealaxisthatarerootloci.Therootlocusontherealaxisalwaysliesinasectionoftherealaxistotheleftofanoddnumberofpolesandzeros.11Step5:
Thenumberofseparateloci.Thenumberofseparatelociisequaltothenumberofpoles.Step6:
Therootlocimustbesymmetricalwithrespecttothehorizontalrealaxis.qn阶系统的特征方程有阶系统的特征方程有n个特征根,当个特征根,当K(由由0)变动,则)变动,则n个特征根跟随变化,在个特征根跟随变化,在s平面平面上必然出现上必然出现n条根轨迹。
条根轨迹。
12Step7:
AsymptotesoftherootlociAsymptotecentroidAngleoftheasymptotes渐近线与实轴正方向的夹角为:
渐近线与实轴正方向的夹角为:
渐近线与实轴相交点的坐标为:
渐近线与实轴相交点的坐标为:
1314Step8:
Determinethepointatwhichthelocuscrossestheimaginaryaxis.根轨迹与虚轴相交,表明系统闭环特征根轨迹与虚轴相交,表明系统闭环特征方程有纯虚根,系统处于临界稳定状态。
方程有纯虚根,系统处于临界稳定状态。
求解方法求解方法1:
将将S=jw代入闭环特征方程式中代入闭环特征方程式中1+KP(s)=0中,得:
中,得:
1+KP(jw)=0可分解为:
可分解为:
Re1+KP(jw)+jIm1+KP(jw)=0Re1+KP(jw)=0Im1+KP(jw)=015求解方法求解方法2:
应用Routh-Hurwitz稳定判据,令Routh表s所对应的行全为零,从而求得和K。
exampleThenegativefeedbacksystemhastheopenlooptransferfunctionSketchtherootlocus.16q根轨迹的起始角是指根轨迹在起点处的根轨迹的起始角是指根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角。
切线与水平正方向的夹角。
q根轨迹的终止角是指终止于某开环零点根轨迹的终止角是指终止于某开环零点的根轨迹在该点处的切线与水平正方向的的根轨迹在该点处的切线与水平正方向的夹角夹角。
Step9:
Determinetheangleofdepartureofthelocusfromapoleandtheangleofarrivalofthelocusatazero.171819ExampleThesystemopen-looptransferfunctionisConstructtherootlocus.20Step10:
Determinethebreakawaypointandthebreakawayangleandarrivalangleontherealaxis.所谓所谓分离角分离角是指根轨迹离开重极点处的是指根轨迹离开重极点处的切线与实轴正方向的夹角。
切线与实轴正方向的夹角。
breakawaypoint21为为P(s)的零点;的零点;22n所谓所谓会合角会合角是指根轨迹进入重极点处的切线是指根轨迹进入重极点处的切线与实轴正方向的夹角。
与实轴正方向的夹角。
23为为P(s)P(s)的极点的极点.-ip个非重根,现看作其零点。
个非重根,现看作其零点。
其它其它个重极点外,个重极点外,时,除时,除为当为当lnlkksdi-=-24Exampleabandon2526Sumofallrootsofclosed-loopcharacteristicequationTheclosed-loopcharacteristicequationisWhenSumofrootsisconstant277.3ZerodegreerootlociThecharacteristicequationofpositivefeedbacksystemisAnditsrootlocusequationisThephaseequationisThemoduleequationis28Sosomerulesmustbemodified:
Real-AxisLocusTherootlocusontherealaxisalwaysliesinasectionoftherealaxistotheleftofanevennumberofpolesandzeros.Asymptotesoftherootlocitheangleofdepartureofthelocusfromapoleandtheangleofarrivalofthelocusatazero.29Example1TheopenlooptransferfunctionofapositivefeedbacksystemisSketchtherootlocus.Example2:
TheopenloopfunctionofanegativefeedbacksystemisSketchtherootlocus.30Example3:
Theopen-looptransferfunctionofthesystemisConstructtherootlociofthesystemfor
(1)thepolesare
(2)angleofdeparture(3)Breakawaypoint31(4)Thepointatwhichthelocuscrossestheimaginaryaxis32Thedominantpole:
Thedominantpoleofasystemarethepolesthatareclosesttothejwaxisintheleft-halfs-plane,andnohasthezeroaboutthepole.7.4Thedominantpoleanddipolejdipole337.5EstimatingthespecificationsbythedominantpolesExample1:
Thetransferfunctionofclosed-loopsystemisCalculatetheovershootandsettlingtime.Example2:
Thetransferfunctionofclosed-loopsystemisEstimatethespecificationsofthefeedbacksystem.34Example3:
Theopen-looptransferfunctionofthenegativefeedbacksystemis
(1)Sketchtherootlociofthesystem.
(2)Determinetherootsoftheclosed-loopcharacteristicequationwhenthedominantpoleswithdampingratio.Answer:
351、单位负反馈系统其开环传递函数为试画出K0时闭环系统的根轨迹,并求出有一个闭环极点为-4时开环增益K的值和另外两个闭环极点。
2、单位负反馈系统的结构图如图所示,试画出K0的闭环系统的根轨迹图(要求按步骤做)。
补充习题363、系统结构如下图所示
(1)按步骤作出K(由0)变动时系统的根轨迹。
(2)计算根轨迹分离点对应的K值,并求出此K值下系统阶跃响应的性能指标和。
374、已知单位负反馈系统的开环传递函数为
(1)作K0时闭环根轨迹。
(2)确定使闭环传递函数主导极点的阻尼比时的K值。
5、已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为作以a为参量的根轨迹()。
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