机械振动课件.ppt
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单自由度系统自由振动教学内容教学内容单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动线性系统的受迫振动线性系统的受迫振动工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题任意周期激励的响应任意周期激励的响应非周期激励的响应非周期激励的响应2振动振动(振荡振荡)系统在系统在外力外力(策动力策动力)作用下所作作用下所作的振动的振动(振荡振荡)。
当振动。
当振动(振荡振荡)系统在周期性策动系统在周期性策动力作用下达到稳定振动状力作用下达到稳定振动状态时,受迫振动的频率态时,受迫振动的频率(或周期或周期)与策动力的频率与策动力的频率(或周期或周期)相同。
相同。
线性系统的受迫振动34线性系统的受迫振动令令x为位移,以质量块的静平衡位置为位移,以质量块的静平衡位置为坐标原点,为坐标原点,为静变形。
为静变形。
当系统受到初始扰动时,由牛顿第二当系统受到初始扰动时,由牛顿第二定律,得:
定律,得:
在静平衡位置:
在静平衡位置:
固有振动或自由振动微分方程固有振动或自由振动微分方程:
单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置0x静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置m567固有振动或自由振动微分方程固有振动或自由振动微分方程:
令令:
单位:
弧度单位:
弧度/秒(秒(rad/s)则有则有:
通解通解:
任意常数,由初始条件决定任意常数,由初始条件决定振幅振幅:
初相位初相位:
固有频率固有频率单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动8单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动9系统固有的数值特征,与系统是否正在振动着以及如系统固有的数值特征,与系统是否正在振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系何进行振动的方式都毫无关系不是系统的固有属性的数字特征,与系统过去所受到不是系统的固有属性的数字特征,与系统过去所受到过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动10考虑系统在初始扰动下的自由振动考虑系统在初始扰动下的自由振动设设的初始位移和初始速度为:
的初始位移和初始速度为:
令令:
有有:
单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动11时刻以后的自由振动解为:
时刻以后的自由振动解为:
零时刻的初始条件:
零时刻的初始条件:
零初始条件下的自由振动:
零初始条件下的自由振动:
单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动12零初始条件下的自由振动:
零初始条件下的自由振动:
无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后,其自由振动是以无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后,其自由振动是以为振动频率的简谐振动,并且永无休止。
为振动频率的简谐振动,并且永无休止。
初始条件的说明:
初始条件的说明:
初始条件是外界能量转入的一初始条件是外界能量转入的一种方式,有初始位移即转入了种方式,有初始位移即转入了弹性势能,有初始速度即转入弹性势能,有初始速度即转入了动能。
了动能。
单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动13零初始条件下的自由振动:
零初始条件下的自由振动:
无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后,其自由振动是以无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后,其自由振动是以为振动频率的简谐振动,并且永无休止。
为振动频率的简谐振动,并且永无休止。
单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动1415固有频率计算的另一种方式:
固有频率计算的另一种方式:
在静平衡位置:
在静平衡位置:
则有:
则有:
对于不易得到对于不易得到m和和k的系统,若能测出静变形的系统,若能测出静变形,则用该,则用该式计算是较为方便的式计算是较为方便的。
单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置16例:
例:
提升机系统提升机系统重物重重物重量量钢丝绳的弹簧刚度钢丝绳的弹簧刚度重物以重物以的速度均匀下降的速度均匀下降求:
求:
绳的上端突然被卡住时,(绳的上端突然被卡住时,
(1)重物的振动频率,)重物的振动频率,
(2)钢丝绳中的最大张力。
)钢丝绳中的最大张力。
单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动Wv17解:
解:
振动频率振动频率重物匀速下降时处于静平衡位重物匀速下降时处于静平衡位置,若将坐标原点取在绳被卡置,若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置住瞬时重物所在位置则则t=0时,有:
时,有:
振动解:
振动解:
单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动W静平衡位置静平衡位置kxWv18振动解:
振动解:
绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和动张力之和:
动张力几乎是静张力的一半动张力几乎是静张力的一半由于由于为了减少振动引起的动张力,应当降低升降系统的刚度为了减少振动引起的动张力,应当降低升降系统的刚度单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动Wv19例:
例:
重物落下,与简支梁做完全非弹性碰撞重物落下,与简支梁做完全非弹性碰撞梁长梁长L,抗弯刚度,抗弯刚度EJ求:
求:
梁的自由振动频率和最大挠度梁的自由振动频率和最大挠度单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动mh0l/2l/220解:
解:
由材料力学由材料力学:
自由振动频率为自由振动频率为:
单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动取平衡位置取平衡位置以梁承受重物时的静平以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建立衡位置为坐标原点建立坐标系坐标系静变形静变形mh0l/2l/2x静平衡位置静平衡位置21撞击时刻为零时刻,则撞击时刻为零时刻,则t=0时,有:
时,有:
则自由振动振幅为则自由振动振幅为:
梁的最大扰度:
梁的最大扰度:
单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动mh0l/2l/2x静平衡位置静平衡位置22例:
圆盘转动例:
圆盘转动圆盘转动惯量圆盘转动惯量I在圆盘的静平衡位置上任意选一根在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置半径作为角位移的起点位置扭振固有频率扭振固有频率单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动为轴的扭转刚度,定义为使得圆盘为轴的扭转刚度,定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩产生单位转角所需的力矩由牛顿第二定律:
由牛顿第二定律:
23由上例可看出,除了选择了坐标不同之外,由上例可看出,除了选择了坐标不同之外,角振动角振动与与直线振直线振动动的数学描述是完全相同的。
如果在弹簧质量系统中将的数学描述是完全相同的。
如果在弹簧质量系统中将m、k称为广义质量及广义刚度,则弹簧质量系统的有关结论完称为广义质量及广义刚度,则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。
以后不加特别声明时,弹簧质量系统是广全适用于角振动。
以后不加特别声明时,弹簧质量系统是广义的义的。
单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置24从前面两种形式的振动看到,单自由度无阻尼系统总包含着从前面两种形式的振动看到,单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件惯性元件和和弹性元件弹性元件两种基本元件,惯性元件是感受加速度两种基本元件,惯性元件是感受加速度的元件,它表现为系统的质量或转动惯量,而弹性元件是产的元件,它表现为系统的质量或转动惯量,而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件,它表现为具有刚度生使系统恢复原来状态的恢复力的元件,它表现为具有刚度或扭转刚度度的弹性体。
同一个系统中,若惯性增加,则使或扭转刚度度的弹性体。
同一个系统中,若惯性增加,则使固有频率降低,而若刚度增加,则固有频率增大。
固有频率降低,而若刚度增加,则固有频率增大。
单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置25例:
复摆(物理摆)例:
复摆(物理摆)刚体质量刚体质量m对悬点的转动惯量对悬点的转动惯量重心重心C求:
求:
复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动a0C26解:
解:
由动量矩定律由动量矩定律:
因为微振动:
因为微振动:
则有则有:
固有频率固有频率:
实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法若已测出物体的固有频率若已测出物体的固有频率,则可求出,则可求出,再由移轴定,再由移轴定理,可得物质绕质心的转动惯量:
理,可得物质绕质心的转动惯量:
单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动a0C27单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动例:
弹簧质量系统沿光滑斜面做自由振动例:
弹簧质量系统沿光滑斜面做自由振动斜面倾角斜面倾角300质量质量m=1kg弹簧刚度弹簧刚度k=49N/cm开始时弹簧无伸长,且速度为零开始时弹簧无伸长,且速度为零求:
求:
系统的运动方程系统的运动方程m300重力角速度取重力角速度取9.828单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动解:
解:
以静平衡位置为坐标原点以静平衡位置为坐标原点建立坐标系建立坐标系振动固有频率:
振动固有频率:
振动初始条件:
振动初始条件:
考虑方向考虑方向初始速度:
初始速度:
运动方程:
运动方程:
m30029教学内容教学内容无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动能量法能量法能量法能量法瑞利法瑞利法瑞利法瑞利法等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效粘性阻尼单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动30能量法能量法对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统,也可以对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统,也可以利用利用能量守恒原理能量守恒原理建立自由振动的微分方程,或直接求出系建立自由振动的微分方程,或直接求出系统的固有频率。
统的固有频率。
无阻尼系统为无阻尼系统为保守系统保守系统,其,其机械能守恒机械能守恒,即动能,即动能T和势能和势能V之和保持不变之和保持不变,即:
,即:
或:
或:
单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动3132弹簧质量系统弹簧质量系统动能:
动能:
势能:
势能:
(重力势能)(重力势能)(弹性势能)(弹性势能)不可能恒为不可能恒为0单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置33如果将坐标原点不是取在系统的静平衡位如果将坐标原点不是取在系统的静平衡位置,而是取在弹簧为自由长时的位置置,而是取在弹簧为自由长时的位置动能:
动能:
势能:
势能:
设新坐标设新坐标单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动0mx静平衡位置静平衡位置34如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位置,那么将坐标原点取在静平衡位平衡位置,那么将坐标原点取在静平衡位置上,方程中就不会出现重力项置上,方程中就不会出现重力项。
单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动35考虑两个特殊位置上系统的能量考虑两个特殊位置上系统的能量静平衡位置上,系统势静平衡位置上,系统势能为零,动能达到最大能为零,动能达到最大最大位移位置,系统动最大位移位置,系统动能为零,势能达到最大能为零,势能达到最大单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动对于转动:
对于转动:
x是广义的是广义的0mx静平衡位置静平衡位置静平衡位置静平衡位置最大位移位置最大位移位置xmax0mx36例:
如图所示是一个倒置的摆例:
如图所示是一个倒置的摆摆球质量摆球质量m刚杆质量忽略刚杆质量忽略每个弹簧的刚度每个弹簧的刚度求求:
(1)倒摆作微幅振动时的固有频率倒摆作微幅振动时的固有频率
(2)摆球摆球时,测得频率时,测得频率为为,时,测时,测得频率为得频率为,问摆球质量为多少千克时恰问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态?
使系统处于不稳定平衡状态?
单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动lmak/2k/237解法解法1:
广义坐标广义坐标动能动能势能势能平衡位置平衡位置1零平衡位置零平衡位置1单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动lmak/2k/238解法解法2:
平衡位置平衡位置2动能动能势能势能零平衡位置零平衡位置2单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动lmak/2k/239单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动例:
均质圆柱例:
均质圆柱质量质量m,半径,半径R与地面纯滚动与地面纯滚动在在A、B点挂有弹簧点挂有弹簧确定系统微振动的固有频率确定系统微振动的固有频率k1abRk1k2k2AB40平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能刚体的平面运动可以分解刚体的平面运动可以分解为随质心的平移和相对于质心平移参考系的转动。
根为随质心的平移和相对于质心平移参考系的转动。
根据柯希尼定理据柯希尼定理平面运动刚体的动能等于刚体随质心平移的动平面运动刚体的动能等于刚体随质心平移的动能与相对于质心平移参考系的转动动能之和。
能与相对于质心平移参考系的转动动能之和。
41单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动解:
解:
k1abRk1k2k2AB广义坐标:
圆柱微转角广义坐标:
圆柱微转角圆柱做一般运动,由柯希圆柱做一般运动,由柯希尼定理,动能:
尼定理,动能:
C点为运动瞬心点为运动瞬心势能:
势能:
CA点速度:
点速度:
B点速度:
点速度:
任何质点组的总动能都可以等于质点组全任何质点组的总动能都可以等于质点组全部质量集中质心而运动时的动能与质点组部质量集中质心而运动时的动能与质点组中各质点相对质心运动时的动能之和中各质点相对质心运动时的动能之和42单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动解:
解:
k1abRk1k2k2AB动能:
动能:
势能:
势能:
C43单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动k1Rk2Mm例:
例:
铅垂平面内一个滑轮铅垂平面内一个滑轮-质量质量-弹簧系统弹簧系统确定系统微振动的固有频率确定系统微振动的固有频率滑轮为匀质圆柱滑轮为匀质圆柱,绳子不可伸,绳子不可伸长,且与滑轮间无滑动,绳右下长,且与滑轮间无滑动,绳右下端与地面固结。
端与地面固结。
44单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动解:
解:
k1Rk2Mm广义坐标:
质量块的垂直位移广义坐标:
质量块的垂直位移x动能:
动能:
x势能:
势能:
45单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动解:
解:
k1Rk2Mm广义坐标:
质量块的垂直位移广义坐标:
质量块的垂直位移x动能:
动能:
x势能:
势能:
46教学内容教学内容无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动能量法能量法能量法能量法瑞利法瑞利法瑞利法瑞利法等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效粘性阻尼单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动47瑞利法瑞利法利用能量法求解固有频率时,对于系统的动能的计算只考虑利用能量法求解固有频率时,对于系统的动能的计算只考虑了惯性元件的动能,而忽略不计弹性元件的质量所具有的动了惯性元件的动能,而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能,因此算出的固有频率是实际值的上限。
这种简化方法在能,因此算出的固有频率是实际值的上限。
这种简化方法在许多场合中都能满足要求,但有些工程问题中,弹性元件本许多场合中都能满足要求,但有些工程问题中,弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略,否则算身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略,否则算出的固有频率明显偏高。
出的固有频率明显偏高。
单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动mkx048例如:
弹簧质量系统例如:
弹簧质量系统设弹簧的动能设弹簧的动能:
系统最大动能:
系统最大动能:
系统最大势能:
系统最大势能:
若忽略若忽略,则,则增大增大单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动弹簧等效质量弹簧等效质量mtmkx049教学内容教学内容无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动能量法能量法能量法能量法瑞利法瑞利法瑞利法瑞利法等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效粘性阻尼单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动50等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度方法方法1:
选定广义位移坐标后,将系统得动能、势能写成如下形式:
选定广义位移坐标后,将系统得动能、势能写成如下形式:
当当、分别取最大值时:
分别取最大值时:
则可得出:
则可得出:
Ke:
简化系统的等效刚度:
简化系统的等效刚度Me:
简化系统的等效质量:
简化系统的等效质量这里等效的含义是指简化前后的系统的动能和势这里等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等能分别相等单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动51动能动能势能势能单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动零平衡位置零平衡位置1lmak/2k/252单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动k1abRk1k2k2AB动能动能势能势能53单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动k1Rk2Mmx动能动能势能势能54方法方法2:
定义法:
定义法等效刚度:
等效刚度:
使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力,叫做系统在这个坐标上的坐标方向上施加的力,叫做系统在这个坐标上的等效刚度等效刚度等效质量:
等效质量:
使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力,叫做系统在这个坐标上此坐标方向上施加的力,叫做系统在这个坐标上的等效质量的等效质量单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动55例:
串联系统例:
串联系统总变形:
总变形:
在质量块上施加力在质量块上施加力P弹簧弹簧1变形:
变形:
弹簧弹簧2变形:
变形:
根据定义:
根据定义:
或或Pmk1k2单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力,叫做系统在这个坐标上的等效刚度施加的力,叫做系统在这个坐标上的等效刚度56例:
并联系统例:
并联系统两弹簧变形量相等:
两弹簧变形量相等:
受力不等:
受力不等:
在质量块上施加力在质量块上施加力P由力平衡:
由力平衡:
根据定义:
根据定义:
并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和Pmk1k2单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动mk1k2使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力,叫做系统在这个坐标上的等效刚度施加的力,叫做系统在这个坐标上的等效刚度57例:
杠杆系统例:
杠杆系统杠杆是不计质量的刚体杠杆是不计质量的刚体求:
求:
系统对于坐标系统对于坐标x的等效质量和等效刚度的等效质量和等效刚度单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动k1k2m1m2l1l2l3x58解法解法1:
能量法:
能量法动能:
动能:
势能:
势能:
单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动等效质量:
等效质量:
等效刚度:
等效刚度:
固有频率:
固有频率:
k1k2m1m2l1l2l3x59解法解法2:
定义法:
定义法设使系统在设使系统在x方向产生单位加速度需要施加力方向产生单位加速度需要施加力P设使系统在设使系统在x坐标上产生单位位移需要施加力坐标上产生单位位移需要施加力P单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动则在则在m1、m2上产生惯性力,对支座取矩:
上产生惯性力,对支座取矩:
则在则在k1、k2处将产生弹性恢复力,对支点取矩:
处将产生弹性恢复力,对支点取矩:
PPk1k2m1m2l1l2l3x60教学内容教学内容无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动能量法能量法能量法能量法瑞利法瑞利法瑞利法瑞利法等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效粘性阻尼单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动61阻尼自由振动阻尼自由振动前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响,实际系统的前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响,实际系统的机械能不可能守恒,因为总存在着各种各样的阻力。
振动中机械能不可能守恒,因为总存在着各种各样的阻力。
振动中将阻力称为阻尼,例如摩擦阻尼,电磁阻尼,介质阻尼和结将阻力称为阻尼,例如摩擦阻尼,电磁阻尼,介质阻尼和结构阻尼。
尽管已经提出了许多数学上描述阻尼的方法,但是构阻尼。
尽管已经提出了许多数学上描述阻尼的方法,但是实际系统中阻尼的物理本质仍然极难确定。
实际系统中阻尼的物理本质仍然极难确定。
最常用的一种阻尼力学模型是最常用的一种阻尼力学模型是粘性阻尼粘性阻尼。
在流体中低速运动。
在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体,通常就认为受到粘性阻尼。
或沿润滑表面滑动的物体,通常就认为受到粘性阻尼。
单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动6263粘性阻尼力与相对速度称正比,即:
粘性阻尼力与相对速度称正比,即:
c:
为粘性阻尼系数,或阻尼系数:
为粘性阻尼系数,或阻尼系数单位:
单位:
动力学方程:
动力学方程:
或写为:
或写为:
固有频率固有频率相对阻尼系数相对阻尼系数mkc单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动建立平衡位置,并受力分析建立平衡位置,并受力分析mx064令:
令:
特征方程:
特征方程:
特征根:
特征根:
令:
令:
或或65令:
令:
66动力学方程:
动力学方程:
令:
令:
特征方程:
特征方程:
特征根:
特征根:
三种情况:
三种情况:
欠阻尼欠阻尼过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动67第一种情况:
第一种情况:
欠阻尼欠阻尼动力学方程:
动力学方程:
特征方程:
特征方程:
特征根:
特征根:
特征根:
特征根:
阻尼固有频率阻尼固有频率有阻尼的自由振动频率有阻尼的自由振动频率振动解:
振动解:
c1、c2:
初始条件决定:
初始条件决定单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动两个复数根两个复数根68欠阻尼欠阻尼振动解:
振动解:
设初始条件:
设初始条件:
则:
则:
或:
或:
单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动69欠阻尼欠阻尼振动解:
振动解:
阻尼固有频率阻尼固有频率阻尼自由振动周期:
阻尼自由振动周期:
T0:
无阻尼自由振动的周期:
无阻尼自由振动的周期阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动70欠阻尼欠阻尼响应图形响应图形单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动振动解:
振动解:
欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动=01时间时间位置位置71不同阻尼,振动衰减的快慢不同不同阻尼,振动衰减的快慢不同单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动不同阻尼大小下的振动衰不同阻尼大小下的振动衰减情况减情况:
阻尼小:
阻尼小:
阻尼大:
阻尼大阻尼大,则振动衰减快阻尼大,则振动衰减快阻尼小,则衰减慢阻尼小,则衰减慢72评价阻尼对振幅衰减快慢的影响评价阻尼对振幅衰减快慢的影响与与t无关,任意两个相邻振幅之比均为无关,任意两个相邻振幅之比均为衰减振动的频率为衰减振动的频率为,振幅衰减的快慢取决于,振幅衰减的快慢取决于,这两个重要,这两个重要的特征反映在特征方程的特征根的实部和虚部的特征反映在特征方程的特征根的实部和虚部减幅系数减幅系数单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动定义为相邻两个振幅的比值:
定义为相邻两个振幅的比值:
73减幅系数:
减幅系数:
含有指数项,不便于工程应用含有指数项,不便于工程应用实际中常采用实际中常采用对数衰减率对数衰减率:
单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动74实验求解实验求解利用相隔利用相隔j个周期的两个个周期的两个峰值峰值进行求解进行求解得:
得:
当当较小时(较小时()单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动75第二种情况:
第二种情况:
过阻尼过阻尼动力学方程:
动力学方程:
特征方程:
特征方程:
特征根:
特征根:
特征根:
特征根:
两个不等的负实根两个不等的负实根振动解:
振动解:
c1、c2:
初始条件决
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