第15章-短面板.docx
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©陈强,《高级计量经济学及Stata应用》课件,第二版,2014年,高等教育出版社。
第15章 短 面 板
15.1面板数据的特点
面板数据(paneldata或longitudinaldata),指的是在一段时间内跟踪同一组个体(individual)的数据。
它既有横截面的维度(n个个体),又有时间维度(T个时期)。
一个T=3的面板数据结构如表15.1。
表15.1 面板数据的结构
y
x1
x2
x3
Individual1:
t=1
Individual1:
t=2
Individual1:
t=3
LL
Individualn:
t=1
Individualn:
t=2
Individualn:
t=3
31
如果面板数据T较小,而n较大,在使用大样本理论时让n趋于无穷大。
这种面板数据被称为“短面板”(shortpanel)。
反之,如果T较大,而n较小,则被称为“长面板”(longpanel)。
在面板模型中,如果解释变量包含被解释变量的滞后值,则称
为“动态面板”(dynamicpanel);反之,则称为“静态面板”(static
panel)。
如果在面板数据中,每个时期在样本中的个体完全一样,则称为“平衡面板数据”(balancedpanel);反之,则称为“非平衡面板数据”(unbalancedpanel)。
面板数据的优点:
(1)解决遗漏变量问题:
遗漏变量常由不可观测的个体差异或“异质性”(heterogeneity)造成。
如果个体差异“不随时间而改变”(timeinvariant),则面板数据可解决遗漏变量问题。
(2)提供个体动态行为的信息:
例:
考虑区分规模效应与技术进步对企业生产效率的影响。
对于截面数据,没有时间维度,无法观测到技术进步。
对于时间序列,无法区分生产效率的提高究竟有多少由于规模扩大,有多少
由于技术进步。
例:
对于失业问题,截面数据能告诉在某个时点上哪些人失业,时间序列数据能告诉某个人就业与失业的历史,但这两种数据均无法告诉是否失业的总是同一批人(低流转率),还是失业的人群总在变动(高流转率)。
(3)样本容量较大:
同时有截面维度与时间维度,面板数据的样本容量更大,可提高估计精度。
面板数据也会带来问题,比如,数据通常不满足独立同分布的假定,因为同一个体在不同期的扰动项一般存在自相关。
面板数据的收集成本通常较高,不易获得。
15.2面板数据的估计策略
一个极端策略是将其看成是截面数据而进行混合回归(pooledregression),要求样本中每位个体拥有相同的回归方程。
此策略忽略个体间不可观测或被遗漏的异质性(heterogeneity),而该异质性可能与解释变量相关,导致估计不一致。
另一极端策略则是,为每位个体估计一个单独的回归方程。
此策略忽略了个体的共性,可能没有足够大的样本容量。
实践中常采用折衷的估计策略,即假定个体的回归方程拥有相同的斜率,但可有不同的截距项,以此来捕捉异质性。
个体效应模型(individual-specificeffectsmodel)
yit
=xi¢tb
+zi¢d
+ui
+eit
(i=1,L,n;t
=1,L,T)
zi为不随时间而变(timeinvariant)的个体特征,比如性别;
xit可随个体及时间而变(time-varying);
扰动项由(ui
+eit)两部分构成,称为“复合扰动项”(compositeerror
term);不可观测的随机变量ui是代表个体异质性的截距项。
eit为随个体与时间而改变的扰动项。
假设{eit}为iid,且与ui不相关。
如果ui与某个解释变量相关,则称为“固定效应模型”(FixedEffectsModel,简记FE)。
此时,OLS不一致。
如果ui与所有解释变量(xit,zi)均不相关,则称为“随机效应模型”
(RandomEffectsModel,简记RE)。
15.3混合回归
如果所有个体拥有一样的回归方程,则方程可写为
yit
=a+
xi¢tb
+zi¢d
+eit
xit不包括常数项。
把所有数据放在一起,像对待横截面数据那样进行OLS回归,称为“混合回归”(pooledregression)。
应使用聚类稳健的标准误(cluster-robuststandarderrors),聚类
(cluster)由每位个体不同期的所有观测值所组成。
15.4个体固定效应模型
对于固定效应模型,给定个体i,将方程两边对时间平均:
yi=
xi¢b
+zi¢d
+ui
+ei
将原方程减去平均后的方程可得:
yit
-yi
=(xit
-xi)¢b
+(eit
-ei)
定义y%it
ºyit
-yi,x%it
ºxit
-xi,e%it
ºeit
-ei,则
y%it
=x%i¢tb
+e%it
上式已将ui消去,只要e%it与x%it不相关,可用OLS一致地估计b,称为“固定效应估计量”(FixedEffectsEstimator),记为bˆFE。
bˆFE主要使用了每个位体的组内离差信息,也称“组内估计量”
(withinestimator)。
即使个体特征ui与解释变量xit相关,组内估计量也一致。
在作离差转换时,zi¢d也被消掉,无法估计d,故FE无法估计不随时间而变的变量之影响。
为保证(eit
-ei)与(xit
-xi)不相关,要求第i个观测值满足严格外
生性,即E(eit
xi1,L,
xiT)=0,因为xi中包含了所有(xi1,L,
xiT)的信
息。
扰动项须与各期解释变量均不相关(不仅仅是当期解释变量)。
在原方程中引入(n-1)个虚拟变量(如果没有截距项,则引入n
个虚拟变量)来代表不同的个体,可得到同样结果。
FE也称为“最小二乘虚拟变量模型”(LeastSquareDummyVariableModel,简记LSDV)。
正如线性回归与离差形式的回归在某种意义上是等价的。
比如,
yi=a
+bxi
+ei Û
yi-y
=b(xi
-x)+(ei
-e)
使用LSDV的好处是可以得到个体异质性ui的估计。
LSDV法的缺点是,如果n很大,须在回归方程中引入很多虚拟变量,可能超出计量软件所允许的解释变量个数。
15.5时间固定效应
引入时间固定效应,可解决不随个体而变(individualinvariant)但随时间而变(timevarying)的遗漏变量问题。
假设模型为
yit
=xi¢tb
+zi¢d
+gSt
+ui
+eit
St不可观测。
定义ltºgSt,则
yit
=xi¢tb
+zi¢d
+lt
+ui
+eit
将lt视为第t期独有的截距项,并将其解释为“第t期”对y的效应,故l1,L,lT称为“时间固定效应”(timefixedeffects)。
使用LSDV法来,对每个时期定义一个虚拟变量,把(T-1)个时间虚拟变量包括在回归方程中:
yit
=xi¢tb
+zi¢d
+g2D2t
+L+gTDTt
+ui
+eit
其中,时间虚拟变量D2t
以此类推。
=1,如果t=
2;D2t
=0,如果t¹2;
此方程既考虑个体固定效应,又考虑时间固定效应,称为“双向固定效应”(Two-wayFE)。
为节省参数,可引入时间趋势项,替代(T-1)个时间虚拟变量:
yit
=xi¢tb
+zi¢d
+gt+ui
+eit
上式隐含较强假定,即每个时期的时间效应相等,每期均增加g。
15.6一阶差分法
对于固定效应模型,可对原方程两边进行一阶差分,以消去个体效应ui(同时把zi¢d消掉了),
yit
-yi,t-1
=(xit
-xi,t-1)¢b
+(eit
-ei,t-1)
对此方程使用OLS,即得到“一阶差分估计量”(FirstDifferencingEstimator),记为bˆFD。
只要(eit
-ei,t-1)与(xit
-xi,t-1)不相关,则bˆFD一致。
此一致性条件比严格外生性假定更弱,这是bˆFD的主要优点。
可以证明(参见习题),如果T=2,则bˆFD=bˆFE。
对于T>2,如果{eit}为iid,则bˆFE比bˆFD更有效率,故实践中主要使用bˆFE。
对于动态面板(第16章),严格外生性假定无法满足,用差分法。
15.7随机效应模型
对于方程yit=xi¢tb+zi¢d+ui+eit,随机效应模型假设ui与解释变
量{xit,zi}均不相关,故OLS一致。
但扰动项由(ui
+eit)组成,不是球型扰动项,故OLS不是最有效
率的,应进行FGLS估计。
假设不同个体之间的扰动项互不相关。
由于ui的存在,同一个体不同时期的扰动项之间仍存在自相关,
ìs2, 若t¹s
Cov(ui
+eit,ui
+eis)=í u
s2+s2, 若t=s
î u e
s2为u的方差,s2为e的方差。
u i e it
当t¹s时,其自相关系数为
rºCorr(ui
+eit,
2
s
s
i is
u+e)= u
e
u
2+s2
自相关系数不随时间距离(t-s)而改变。
越大,则复合扰动项(ui
+eit)中个体效应的部分(ui)越重要。
同一个体扰动项的协方差阵为
æs2
+s2 s2
...
s2 ö
ç u e u u ÷
s2 s2
+s2
... s2
Σ=ç
u u e u ÷
ç M M O M ÷
ç s2 s2 ... s2+s2÷
è u u u
eøT´T
整个样本的协方差阵为块对角矩阵(blockdiagonalmatrix),
æS 0ö
W=ç O ÷
ç ÷
ç0 S÷
è ønT´nT
由于OLS是一致的,且其扰动项为(ui+eit),故可用OLS的残差
来估计(s2+s2)。
u e
另一方面,FE也一致,且其扰动项为(eit
e
来估计s2。
-ei),故可用FE的残差
然后,用FGLS估计原模型,得到“随机效应估计量”(RandomEffectsEstimator),记为bˆRE。
具体来说,用OLS来估计以下“广义离差”(quasi-demeaned)模型:
yit
-qˆyi
=(xit
-qˆxi)¢b
+(1-qˆ)zi¢d
+é(1-qˆ)ui+(eit-qˆei)ù
ë144424443û
误差项
其中,qˆ是q
º1- se
的一致估计量。
(Ts2+s2)12
u
e
可以证明,此扰动项不再有自相关。
对于随机效应模型,如果进一步假设扰动项服从正态分布,可进行MLE估计。
15.8组间估计量
对于随机效应模型,还可使用“组间估计量”。
如果个体数据较不准确,可对每位个体取时间平均值,然后用平均值来回归:
yi=
xi¢b
+zi¢d
+ui
+ei
(i=1,L,n)
对上式用OLS,可得“组间估计量”(BetweenEstimator),记bˆBE。
由于{xi,
zi}中包含了{xit,
zi}的信息,如果ui与解释变量{xit,
zi}相
关,则bˆBE不一致。
故不能在固定效应模型下使用组间估计法。
15.9拟合优度的度量
在有常数项的情况下,线性模型的R2等于被解释变量y与预测
值yˆ之间相关系数的平方,即R2
=[corr(y,
yˆ)]2。
对于面板模型,如使用混合回归,可直接用混合回归的R2。
如使用固定效应、随机效应或组间回归,拟合优度略复杂。
给定估计量(bˆ,dˆ),Stata提供了以下三种R2。
首先,对应于原模型,称[Corr(y,x¢bˆ+z¢dˆ)]2为“整体R2”
it it i
(R2overall),衡量估计量(bˆ,dˆ)对原模型的拟合优度。
其次,对应于组内模型,称[Corr(y%,x%¢bˆ)]2为“组内R2”
it it
(R2within),衡量估计量(bˆ,dˆ)对组内模型的拟合优度。
再次,对应于组间模型,称[Corr(y,x¢bˆ+z¢dˆ)]2为“组间R2”
i i i
(R2between),衡量估计量(bˆ,dˆ)对组间模型的拟合优度。
对于固定效应模型,建议使用组内R2,即组内方程的R2。
对于组间回归模型,建议使用组间R2,即组间方程的R2。
对于随机效应模型,这三种R2都只是相应的相关系数平方,而非随机效应方程的R2。
15.10非平衡面板
非平衡面板数据并不影响计算离差形式的组内估计量(withinestimator),固定效应模型的估计可照样进行。
对于随机效应模型而言,非平衡面板数据也没有实质性影响,只要在做广义离差变换时让
(Ts2+s2)12
i u
e
s
qiº1- e
其中,Ti为个体i的时间维度,就可照常进行FGLS估计。
非平衡面板的最大问题是,那些原来在样本中但后来丢掉的个
体,如果“丢掉”的原因是内生的(即与扰动项相关),则会导致样本不具有代表性(不再是随机样本),从而导致估计量不一致。
比如,低收入的人群更易从面板数据中丢掉。
15.11究竟该用固定效应还是随机效应模型
检验原假设“H0:
ui与xit,zi不相关”(即随机效应模型为正确模型)。
无论原假设成立与否,FE都是一致的。
如果原假设不成立,则RE不一致。
如果H0成立,则FE与RE估计量将共同收敛于真实的参数值,故
(bˆFE
-bˆ )¾p¾®0。
如果二者的差距过大,则倾向于拒绝原假设。
RE
豪斯曼检验(Hausman,1978)的统计量为
ˆ ˆ ¢é·ˆ
·ˆ ù-1 ˆ ˆ d 2
(bFE
-bRE)
êëVar(bFE)-Var(bRE)ûú
(bFE
-bRE)¾¾®c
(K)
其中,K为bˆFE的维度。
上述检验假设在H0成立的情况下,bˆRE最有效率。
如果存在异方差,则bˆRE并非最有效率的估计量,故不适用异方差的情形。
解决方法之一,通过自助法计算Var(bˆFE-bˆRE),参见第19章。
解决方法之二,进行以下辅助回归(Wooldridge,2010),
yit
-qˆyi
=(xit
-qˆxi)¢b
+(1-qˆ)zi¢d
+(xit
-xi)¢g
+é(1-qˆ)ui
+(eit
-qˆei)ù
使用聚类稳健标准误检验原假设“H0:
g
的情况下也适用。
ë û
=0”,此检验在异方差
由于总可以把原模型变换为随机效应的方程:
yit
-qˆyi
=(xit
-qˆxi)¢b
+(1-qˆ)zi¢d
+é(1-qˆ)ui+(eit-qˆei)ù
ë144424443û
误差项
故在上面的辅助回归中,g=0。
如果随机效应模型成立,则OLS一致,故plimgˆ=g
n®¥
=0。
如果固定效应模型成立,扰动项é(1-qˆ)ui+(eit-qˆei)ù与(xit
-xi)
ë û
相关(因为u与x相关),OLS不一致,即plimgˆ
=g*¹g
=0。
i it
n®¥
拒绝“H0:
g
=0”,则意味着拒绝随机效应,接受固定效应。
i
对于非平衡面板,则以qˆ替代方程中的qˆ即可。
15.12个体时间趋势
个体异质性还可能表现为个体的不同时间趋势。
比如,在跨国面板中,各国的经济增长率可能不同。
考虑以下模型:
yit
=xi¢tb
+zi¢d
+git+ui
+eit
git为个体时间趋势。
一般将gi视为来自某分布的随机变量(从该分布随机抽出一个观测值后,就不再随时间而变)。
此模型称为“随机趋势模型”(randomtrendmodel)。
如果yit取对数形式(比如lnGDPit),则gi可解释为在给定(xit,
zi)条件
下的平均增长率(即¶E(lnGDPit)/¶t),故也称“随机增长模型”(randomgrowthmodel)。
首先对方程两边做差分,去掉ui:
Dyit
=Dxi¢tb
+gi
+Deit
在形式上,此方程与标准的个体效应模型一样。
如果gi与解释变量Dxit不相关,可用RE估计此方程。
如果gi与解释变量Dxit相关,可用FE或FD估计此方程。
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