画法几何与阴影透视例题精讲与解题方法.ppt
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点、直线、平面的投影直线的投影直线的投影直角三角形法求线段实长及倾角直角三角形法求线段实长及倾角直线上的点直线上的点两直线的相对位置关系两直线的相对位置关系2/8/20241土建2004-12WWWWHHHHVVVVZZZZAAAAaaaaaaxxaayyaazzaaaaXXXXYYYYVVVVHHHHWWWWXXXXYYYYHHHHYYYYWWWWOOOOaaaaxxxxaaaazzzzaaaayhyhyhyhaaaaywywywywZZZZaaaaaaXXXXYYYYHHHHYYYYWWWWOOOOaaaaxxxxaaaazzzzaaaayhyhyhyhZZZZaaaaywywywywaaaaaa1111点的直角坐标和投影规律点的直角坐标和投影规律a=a=aaaaxx=aaaazz=oyoyAaAa=aa=aaxx=a=aaayy=oz=ozAaAa=aaaazz=aaaayy=ox=ox1点到投影面的距离等于相邻投影的投影到相对应的投影轴上的距离。
aaaaoxoxaaaaozozaaaaxx=aaaazz=oyoy2点的投影连线垂直于所对应的轴线。
2/8/20242/8/202422土建土建2004-122004-12根据两点相对于投影面的根据两点相对于投影面的距离距离(坐标坐标)不同,即可确定两不同,即可确定两点的相对位置。
点的相对位置。
图中图中AA点的点的横标横标小于小于BB点点的横标,点的横标,点AA在点在点BB的右方。
的右方。
同样,可以判断点同样,可以判断点AA在点在点BB上方;点上方;点AA在点在点BB前方前方(规定距规定距VV面远为前,距面远为前,距VV面近为后面近为后)。
1.21.2两点的相对位置和重影点两点的相对位置和重影点1.3.1两点的相对位置两点的相对位置2/8/20242/8/202433土建土建2004-122004-12例例例例8888:
已知点:
已知点:
已知点:
已知点AAAA在点在点在点在点BBBB之前之前之前之前5555,之上,之上,之上,之上9999,之右,之右,之右,之右8888,求点,求点,求点,求点AAAA的投影。
的投影。
的投影。
的投影。
aaa9852/8/20242/8/202444土建土建2004-122004-12直线的投影两点决定一条直线。
两点决定一条直线。
分别将两点的同名(同面)投影分别将两点的同名(同面)投影用直线连接,就得到直线的投影。
用直线连接,就得到直线的投影。
ZZXXOOYYHHYYWWaaaaa”a”bbbbb”b”直线的投影仍为直线,特殊情况下为一点。
直线的投影仍为直线,特殊情况下为一点。
abc(d)直线对投影面的倾角:
直线对投影面的倾角:
对水平投影面的倾角对水平投影面的倾角对正立投影面的倾角对正立投影面的倾角对侧立投影面的倾角对侧立投影面的倾角2/8/20245土建2004-12直线在三投影面体系中分为:
直线在三投影面体系中分为:
各种位置直线的投影特性各种位置直线的投影特性投影面平行线投影面平行线一般位置直线一般位置直线特殊位置直线特殊位置直线水平线水平线正平线正平线侧平线侧平线投影面垂直线投影面垂直线铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线平行于某一投影面,且平行于某一投影面,且倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面垂直于某一投影面垂直于某一投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜2/8/20246土建2004-12水水平平线线侧侧平平线线投影面平行线投影面投影面平行线平行线的投影特性:
的投影特性:
11、在其所平行的投影面上的投影,反映直线段的实长。
、在其所平行的投影面上的投影,反映直线段的实长。
该投影与投影轴的夹角,反映该直线与其它两投影面的该投影与投影轴的夹角,反映该直线与其它两投影面的倾角;倾角;22、在其它两投影面上的、在其它两投影面上的投影,平行于相应的投影轴,投影,平行于相应的投影轴,且小于实长。
且小于实长。
XXaabbaabbbbaaOOzzYYHHYYWWXXZZaabbbbbbaaOOYYHHYYWW2/8/20247土建2004-12正正垂垂线线侧侧垂垂线线投影面垂直线投影面垂直线垂直线垂直线的投影特性:
的投影特性:
11、在其所垂直的投影面上的投影,积聚为一点;、在其所垂直的投影面上的投影,积聚为一点;22、在其它两个投影面上的、在其它两个投影面上的投影,反映实长,且垂投影,反映实长,且垂直于相应的投影轴。
直于相应的投影轴。
2/8/20248土建2004-12投影特性:
投影特性:
三个投影都是缩短了的倾三个投影都是缩短了的倾斜线段斜线段,都不反映空间线段的都不反映空间线段的实长及与三个投影面的倾角。
实长及与三个投影面的倾角。
与三个投影面都倾斜的直线。
与三个投影面都倾斜的直线。
n一般位置直线(投影面倾斜线)一般位置直线(投影面倾斜线)各种位置直线的投影特性各种位置直线的投影特性abbabaOXYHYWZ2/8/20249土建2004-12例3:
过点A向右上方作一正平线AB,使其实长为2,与H面的倾角=30。
2525bb3030bb”OOXXZZYYHHYYWWaaaaa”a”bb解题思路解题思路:
熟悉:
熟悉正平正平线的投影特性,并从线的投影特性,并从反映实长和反映实长和的投影的投影入手。
入手。
作图要点作图要点:
做做正正平线的正面投影;平线的正面投影;过点过点aa做正平线做正平线的水平投影和侧面投的水平投影和侧面投影。
影。
2/8/202410土建2004-12|zzAA-z-zBB|ABAB|zzAA-z-zBB|ABABabab|zzAA-z-zBB|ABAB|zzAA-z-zBB|abab直角三角形法求直角三角形法求线段线段实长实长及线段与投影面的及线段与投影面的倾角倾角求直线AB的实长及其对水平投影面的倾角角。
2/8/202411土建2004-12即:
直角三角形的组成即:
直角三角形的组成:
斜边实长斜边实长直角边直角边11投影投影,直角边直角边22坐标差坐标差,投影与实长的夹角倾角。
投影与实长的夹角倾角。
直角三角形法求直角三角形法求线段线段实长实长及线段与投影面的及线段与投影面的倾角倾角2/8/202412土建2004-12例例55:
已知直线的一个投影已知直线的一个投影abab及实长,求直线的投影及实长,求直线的投影abab。
XXOOaabbaaBB00解题思路及步骤解题思路及步骤1.1.根据直角三角形的组成,利根据直角三角形的组成,利用用abab及实长作直角三角形;及实长作直角三角形;2.2.求出求出YY坐标差;坐标差;3.3.利用利用YY坐标差求坐标差求abab投影投影。
bbABAB实长实长思考:
若将已知条件实长换思考:
若将已知条件实长换成成=30=30,则如何解题?
,则如何解题?
2/8/202413土建2004-12直线上的点ABCVHbccbaa从属性:
从属性:
若点在直线上,则若点在直线上,则点的投影必在直线的同面投点的投影必在直线的同面投影上,且符合点的投影规律。
影上,且符合点的投影规律。
反之,亦然。
反之,亦然。
定比性:
定比性:
若点在直线上,则点的投影分割线若点在直线上,则点的投影分割线段的同面投影之比与空间点分割线段之比相等。
段的同面投影之比与空间点分割线段之比相等。
反之,亦然。
反之,亦然。
即即AC/CB=ac/cb=ac/cb=ac:
cb,利用这一特性,在利用这一特性,在不作侧面投影的情况下,可以在侧平线上找点不作侧面投影的情况下,可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。
或判断已知点是否在侧平线上。
直线上点的投影特性直线上点的投影特性2/8/202414土建2004-12例6:
判断点C是否在线段AB上。
点点CC不不在直在直线线ABAB上上点点CC在直在直线线ABAB上上aabbccaabbccccaabbccaabbOXOX2/8/202415土建2004-12例7:
判断点K是否在线段AB上。
aabbkk因因k不在不在ab上,上,故点故点K不在不在AB上。
上。
方法二:
应用定比定理方法二:
应用定比定理aabbkkaabbkk方法一:
作出第三投影方法一:
作出第三投影因因ak/kb不等于不等于ak/kb,故点故点K不在不在AB上。
上。
OXYHYWZ2/8/202416土建2004-12cccc例例88已知线段已知线段ABAB的投影图,试将的投影图,试将ABAB分成分成2121两段,两段,求分点求分点CC的的投影投影cc、cc。
O2/8/202417土建2004-12空间两直线的相对位置关系分为四种:
空间两直线的相对位置关系分为四种:
平行、相交、交叉、垂直。
平行、相交、交叉、垂直。
两直线平行两直线平行投影特性投影特性(判别方法)(判别方法):
aVHcbcdABCDbda两直线的相对位置1若空间两直线相互若空间两直线相互平行,则其各同面投影必平行,则其各同面投影必相互平行;反之,若两直相互平行;反之,若两直线的各同面投影相互平行,线的各同面投影相互平行,则此两直线在空间也一定则此两直线在空间也一定相互平行。
相互平行。
2平行两线段之比等平行两线段之比等于其投影之比。
于其投影之比。
2/8/202418土建2004-12例9:
判断图中两条直线是否平行。
对于一般位置直线,只对于一般位置直线,只要有两个同面投影互相平行,要有两个同面投影互相平行,空间两直线就平行。
空间两直线就平行。
AB/CDAB/CDaabbccddccaabbddOX2/8/202419土建2004-12HHVVAABBCCDDKKaabbccddkkaabbcckkdd两直线相交两直线相交若空间两直线相交,若空间两直线相交,则其各同面投影必相交,且交则其各同面投影必相交,且交点的投影必符合空间一点的投影规律点的投影必符合空间一点的投影规律;反之,亦然。
反之,亦然。
两直线的相对位置交点是两直交点是两直线的线的共有点共有点投影特性投影特性(判别方法)判别方法):
aabbccddbbaaccddkkkkOX2/8/202420土建2004-123.两直线交叉:
两直线交叉:
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。
两直线的相对位置1
(2)3(4)投影特性投影特性(判别方法)判别方法):
同面投影可能相交,但同面投影可能相交,但“交点交点”不符合空间一个不符合空间一个点的投影规律点的投影规律。
也可能有。
也可能有两对同面投影平行,但第两对同面投影平行,但第三对决不会平行。
三对决不会平行。
“交点交点”是两直线上的一是两直线上的一对对重影点的投影重影点的投影,用其可帮,用其可帮助判断两直线的空间位置。
助判断两直线的空间位置。
、是面的重影点,是面的重影点,、是是H面的重影点。
面的重影点。
为什么?
为什么?
两直线相交吗?
两直线相交吗?
dbaabcdc1234OX2/8/202421土建2004-12例10:
过直线CD外一点A,作正平线AB与CD相交。
aacdcdbbc1b1XO2/8/202422土建2004-12例12判断图中两条直线的空间位置。
对于特殊位置直线,只对于特殊位置直线,只有两个特殊投影互相平行,有两个特殊投影互相平行,空间直线不一定平行,必须空间直线不一定平行,必须在直线所平行的投影面内进在直线所平行的投影面内进行判断。
行判断。
求出侧面投影后可知:
求出侧面投影后可知:
ABAB与与CDCD不平行。
不平行。
bbddccaaccbbaaddddbbaacc还可以如何判断?
还可以如何判断?
XZOYHYW2/8/202423土建2004-12例14:
求作水平线L,使其距H面的距离为15,且与直线AB、CD都相交。
ababcddc15llXO2/8/202424土建2004-12例例88已知线段已知线段ABAB的投影,试定出属于线段的投影,试定出属于线段ABAB的点的点CC的的投影,使投影,使BCBC的实长等于已知长度的实长等于已知长度LL。
ccLLABABzzBB-z-zAAccabab2/8/202425土建2004-12一、一、用几何元素表示平面用几何元素表示平面用用几几何何元元素素表表示示平平面面有有五五种种形形式式:
不不在在一一直直线线上上的的三三个个点点;一一直直线线和和直直线线外外一一点点;相相交交二二直直线线;平平行行二二直直线线;任任意意平平面面图形。
图形。
二、二、平面的迹线表示法平面的迹线表示法平面的迹线为平面与投影面的交线。
特殊位置平面可以用平面的迹线为平面与投影面的交线。
特殊位置平面可以用在它们所垂直的投影面上的迹线来表示。
在它们所垂直的投影面上的迹线来表示。
1.4.1平面的表示法2/8/202426土建2004-12abcabc不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点abcabc直线及线直线及线外一点外一点abcabcdd两平行直线两平行直线abcabc两相交直线两相交直线abcabc平面图形平面图形一、用几何元素表示平面一、用几何元素表示平面2/8/202427土建2004-12平行平行垂直垂直倾斜倾斜实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性一、一、一、一、平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性2.4.2平面对投影面的相对位置2/8/202428土建2004-12二、各种位置平面的投影特性
(一)、投影面的垂直面
(一)、投影面的垂直面1铅垂面铅垂面2正垂面正垂面3侧垂面侧垂面
(二)、投影面的平行面
(二)、投影面的平行面1水平面水平面2正平面正平面3侧平面侧平面(三)、(三)、一般位置平面一般位置平面2/8/202429土建2004-12PPH1铅垂面铅垂面投影特性
(1)abc积聚为一条线
(2)abc、abc为ABC的类似形(3)abc与OX、OY的夹角反映、角的真实大小ABCacbababbabccc2/8/202430土建2004-12abcacbcba类似性类似性类似性类似性积聚性积聚性铅垂面铅垂面投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性:
在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。
该在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。
该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。
面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影有类似性。
另外两个投影面上的投影有类似性。
为什么?
为什么?
是什么位置是什么位置的平面?
的平面?
小结:
小结:
2/8/202431土建2004-121水平面水平面投影特性:
(1)abc、abc积聚为一条线,具有积聚性
(2)水平投影abc反映BC实形CABabcbacabccabbbaaccPvPw2/8/202432土建2004-12三、一般位置平面三、一般位置平面投影特性
(1)abc、abc、abc均为ABC的类似形
(2)不反映、的真实角度abccabbaaabbccbacABC2/8/202433土建2004-121.4.3平面上的直线和点一、平面上取任意直线平面上取任意直线二、二、二、二、平面上取点平面上取点平面上取点平面上取点三、三、三、三、属于特殊位置平面的点和直线属于特殊位置平面的点和直线在平面上取点、直线的作图,实质上就是在平面内作在平面上取点、直线的作图,实质上就是在平面内作辅助线的问题。
利用在平面上取点、直线的作图,可辅助线的问题。
利用在平面上取点、直线的作图,可以解决三类问题:
以解决三类问题:
1、判别已知点、线是否属于已知平面;、判别已知点、线是否属于已知平面;2、完成已知平面上的点和直线的投影;、完成已知平面上的点和直线的投影;3、完成多边形的投影、完成多边形的投影。
2/8/202434土建2004-121取属于平面的直线取属于定平面的直线,要经过属于该平面的已知两点;或经过取属于定平面的直线,要经过属于该平面的已知两点;或经过属于该平面的一已知点,且平行于属于该平面的一已知直线。
属于该平面的一已知点,且平行于属于该平面的一已知直线。
EDFddeeff2/8/202435土建2004-122取属于平面的点取属于平面的点,要取自属于该平面的已知直线取属于平面的点,要取自属于该平面的已知直线EDddee2/8/202436土建2004-12例题1已知已知ABC给定一平面,试判断点给定一平面,试判断点D是否属于该平面。
是否属于该平面。
ddeen不属于平面不属于平面2/8/202437土建2004-12bckadadbcadadbckbc例题例题3:
已知:
已知ACAC为正平线,补全平行四边形为正平线,补全平行四边形ABCDABCD的水平投影。
的水平投影。
解法一解法一解法二解法二2/8/202438土建2004-12n做平面四边形做平面四边形ABCD的投影。
其中的投影。
其中AD/BCbCdaab2/8/202439土建2004-12三、属于特殊位置平面的点和直线三、属于特殊位置平面的点和直线11取属于投影面垂直面的点和直线取属于投影面垂直面的点和直线22过一般位置直线总可作投影面的垂直面过一般位置直线总可作投影面的垂直面迹线表示法迹线表示法3.3.属于平面的投影面平行线属于平面的投影面平行线2/8/202440土建2004-12abbaSbaabAB2过一般位置直线总可作投影面的垂直面过一般位置直线总可作投影面的垂直面过一般位置直线过一般位置直线AB作作铅垂面铅垂面PH过一般位置直线过一般位置直线AB作作正垂面正垂面SVPPHSVAB2/8/202441土建2004-12过一般位置直线作投影面的垂直面(迹线表示法)baSVQWPH2/8/202442土建2004-123.属于平面的投影面平行线属于平面的投影面平行线属于平面的水平线和正平线属于平面的水平线和正平线例题例题442/8/202443土建2004-12例题4已知已知ABC给定一平面,试过点给定一平面,试过点C作属于该平面的正平线,作属于该平面的正平线,过点过点A作属于该平面作属于该平面的水平线的水平线。
mnnm2/8/202444土建2004-12【基本作图五】一般线与一般面相交mmnnQV解题步骤解题步骤:
1、过过EF作正垂面作正垂面Q。
2、求求Q平面与平面与ABC的交线的交线MN。
3、求交线求交线MN与与EF的交点的交点K。
4、可见性判别可见性判别feefbaacbcmmnnFECABQMNKkkkk2/8/202445土建2004-12HVabcceaABbCFEffkKke可见性判别方法11(2
(2)判别可见性的原理判别可见性的原理是利用重影点。
是利用重影点。
33(4)(4)2/8/202446土建2004-12利用重影点判别可见性feefbaacbckk1122112244334433()()2/8/202447土建2004-12贯穿点贯穿点直线与立体相交,表面的交点。
直线与立体相交,表面的交点。
作图要点作图要点:
利用棱柱棱面及底面的积聚性,求特殊位置平面与直线的交点。
注意注意:
穿入立体内的直线不画出。
穿入立体内的直线不画出。
例例11:
求直线与棱柱的贯穿点:
求直线与棱柱的贯穿点。
解题思路:
将求贯穿点转化成求直线与平面的交点。
aabb12341423kkmm2/8/202448土建2004-12作图要点作图要点:
11、求过直线的截平面与棱、求过直线的截平面与棱锥的截交线;锥的截交线;22、求截交线与直线的交点。
、求截交线与直线的交点。
33、判别直线的可见性。
、判别直线的可见性。
用过直线的平面截棱锥,用过直线的平面截棱锥,求截交线及其与直线的交点。
求截交线及其与直线的交点。
1bsa2a123b3smkmk例例5:
求直线与棱锥的贯穿点:
求直线与棱锥的贯穿点2/8/202449土建2004-12VHAaaaxX更换一次投影面更换一次投影面旧投影体系旧投影体系XVH新投影体系新投影体系P1HX1A点的两个投影:
点的两个投影:
a,aA点的两个投影:
点的两个投影:
a,a1新投影体系的建立新投影体系的建立三、点的投影变换规律三、点的投影变换规律X1P1a1ax1VHXP1HX1aaa1axax1.2/8/202450土建2004-12ax1VHXP1HX1aaa1VHAaaxXX1P1a1ax1新旧投影之间的关系新旧投影之间的关系aa1X1a1ax1=aax点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。
轴的距离。
axa一般规律:
一般规律:
点的新投影和与它有关的原投影的连线,必垂直于新投影点的新投影和与它有关的原投影的连线,必垂直于新投影轴。
轴。
.2/8/202451土建2004-12XVHaaax更换更换H面面求新投影的作图方法求新投影的作图方法VHXV1HX1aaX1H1Va1axax1ax1更换更换V面面a1.作图规律作图规律:
由点的不变投影向新投影轴作由点的不变投影向新投影轴作垂线垂线,并在垂,并在垂线上量取一段距离,使这段距离等于被代替的投影到原线上量取一段距离,使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离投影轴的距离(旧投影到旧投影轴的距离等于新投影到旧投影到旧投影轴的距离等于新投影到新投影轴的距离新投影轴的距离)。
(旧投影旧投影)(旧投影旧投影)(新投影新投影)(新投影新投影)(旧投影轴旧投影轴)(旧投影轴旧投影轴)(新投影轴新投影轴)(新投影轴新投影轴)2/8/202452土建2004-12VHABabab四、换面法的六个基本问题四、换面法的六个基本问题1.把一般位置直线变换成投影面平行线把一般位置直线变换成投影面平行线用用P1面代替面代替V面,在面,在P1/H投影体系中,投影体系中,AB/P1。
X1HP1P1a1b1空间分析空间分析:
换换H面行吗?
面行吗?
不行!
不行!
作图:
作图:
例:
求直线例:
求直线AB的实长及与的实长及与H面的夹角。
面的夹角。
ababXVH新投影轴的位置?
新投影轴的位置?
a1b1与与ab平行。
平行。
.2/8/202453土建2004-122将投影面的平行线变换为投影面的垂直线将投影面的平行线变换为投影面的垂直线功用功用:
一次换面后可用于求点与直线一次换面后可用于求点与直线,两直线间的距离等。
两直线间的距离等。
问题的关键:
新轴要垂直于反映实长的那个投影。
问题的关键:
新轴要垂直于反映实长的那个投影。
X1VHXABababH1a1b1X1H1Va1b1XVHabab一般位置直线变换为垂直线一般位置直线变换为垂直线2/8/202454土建2004-12a1b1VHaaXBbbA3.把一般位置直线变换成投影面垂直线把一般位置直线变换成投影面垂直线空间分析:
空间分析:
ababXVHX1H1P1P1P2X2作图:
作图:
X1P1a1b1X2P2二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
X2轴的位置?
轴的位置?
a2b2ax2a2b2.与与a1b1垂直垂直一次换面把直
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