2016高考第二轮复习--极坐标与参数方程.doc
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极坐标与参数方程
1.极坐标系的概念:
在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系。
2.点M的极坐标:
设M是平面内一点,极点O与点M的距离叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的∠XOM叫做点M的极角,记为。
有序数对叫做点M的极坐标,记为M.极坐标与表示同一个点。
极点O的坐标为.
3.若,则,规定点与点关于极点对称,即与表示同一点。
如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的。
(1)极坐标系问题:
①极坐标与直角坐标的互化:
互化公式(i),互化公式(ii),
如(i)将化为直角坐标方程为,
(ii)将化为直角坐标方程为,
(iii)将化为极坐标方程为,
(iv)将化为极坐标方程为,
②直线、圆的极坐标方程:
O
O
O
x
x
x
x
O
a
a
a
(i)直线的极坐标方程:
(ii)圆的极坐标方程:
O
O
O
x
x
x
x
O
a
a
a
(2)参数方程问题:
●
●
●
t
r
x
x
y
y
O
O
消去参数t
消去参数
M
①直线的参数方程与普通方程
注意:
直线参数方程t的几何意义
其中t表示直线上以定点为起点,任意一点M(x,y)为终点的有向线段的数量,的几何意义是直线上点M到P的距离.此时,若t>0,则的方向向上;若t<0,则的方向向下;若t=0,则点P与点M重合.由此,易得参数t具有如下的性质:
若直线上两点A、B所对应的参数分别为,则
性质一:
A、B两点之间的距离为,特别地,A、B两点到的距离分别为
性质二:
A、B两点的中点所对应的参数为,若是线段AB的中点,则,反之亦然。
如将参数方程为参数)化为普通方程为,反之则有多个参数方程,
将参数方程为参数)化为普通方程为,反之则有多个参数方程,
②消去参数的常用方法(类似于方程的解法):
(i)代入消参法:
如为参数)的普通方程为,
(ii)加减消参法:
如为参数)的普通方程为.
(2)解决极坐标与参数方程的思路
1)全部化为直角坐标方程解决互化公式
2)直接利用极坐标方程,解极坐标方程解决
3)注意直线参数方程的应用
4)常用的三角函数知识:
特殊角三角函数值、和差、倍角公式等
0
sin
cos
1.在椭圆上找一点,写出椭圆的参数方程并在椭圆上找这一点到直线的距离的最小值.
2.(2009·辽宁)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcos=1,M、N分别为C与x轴,y轴的交点.
(1)写出C的直角坐标方程,并求M、N的极坐标;
(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
解题导引 直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式x=ρcosθ及y=ρsinθ直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,构造形如ρcosθ,ρsinθ,ρ2的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须同解,因此应注意对变形过程的检验.
3.(2011·课标全国)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数)
M是C1上的动点,P点满足=2,P点的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的方程;
(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.
4.(12分)(2010·福建)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=2sinθ.
(1)求圆C的直角坐标方程;
(2)设圆C与直线l交于点A,B.若点P的坐标为(3,),求|PA|+|PB|.
5.(14分)(2010·课标全国)已知直线C1:
(t为参数),圆C2:
(θ为参数).
(1)当α=时,求C1与C2的交点坐标;
(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,P为OA的中点,当α变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.
6.设过原点的直线与圆:
的一个交点为,点为线段的中点.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)求点M轨迹的极坐标方程,并说明它是什么曲线.
7.直线过点,倾斜角为,且与圆相交于A、B两点。
(1)求弦长AB.
(2)求和的长。
8.过点,倾斜角为的直线和抛物线相交于A、B两点,求线段AB的中点M点的坐标。
点评:
对于上述直线的参数方程,A、B两点对应的参数为,则它们的中点所对应的参数为
9.(2013•郑州一模)已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l的方程为
(I)求曲线C在极坐标系中的方程;
(II)求直线l被曲线C截得的弦长.
10.(2014•抚顺一模)在直角坐标系中,以原点O为极点,x轴为正半轴为极轴,建立极坐标系.设曲线C:
(α为参数);直线l:
ρ(cosθ+sinθ)=4.
(Ⅰ)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
(Ⅱ)求曲线C上的点到直线l的最大距离.
11.(2014•河南模拟)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l的参数方程为(t为参数,0<α<π),曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ.
(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)设直线l与曲线C相交于A、B两点,当α变化时,求|AB|的最小值.
12.(2013•唐山二模)选修4﹣4:
坐标系与参数方程
已知直线(t为参数)经过椭圆(φ为参数)的左焦点F.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,求|FA|•|FB|的最大值和最小值.
13.(2012·高考辽宁卷)
在直角坐标系xOy中,圆C1:
x2+y2=4,圆C2:
(x-2)2+y2=4.
(Ⅰ)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示);
(Ⅱ)求圆C1与C2的公共弦的参数方程.
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