矩阵论同步学习辅导-张凯院-西北工业大学出版社.docx
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矩阵论同步学习辅导
(习题与试题精解)
张凯院徐仲编
西北工业大学出版社
图书在版编目(CIP)数据
矩阵论同步学习辅导/张凯院,徐仲编.—西安:
西北工业大
学出版社,2002.8
ISBN7-5612-1542-8
Ⅰ.矩⋯Ⅱ.①张⋯②徐⋯Ⅲ.矩阵-理论-高等学校-教学
参考资料Ⅳ.0151.21
中国版本图书馆CIP数据核字(2002)第062114号
出版发行:
西北工业大学出版社
通信地址:
西安市友谊西路127号邮编:
710072电话:
029-8493844
网址:
http:
//www.nwpup.com
印刷者:
印刷厂
开本:
850×1168mm1/32
印张:
字数:
版次:
2002年8月第1版2002年8月第1次印刷
印数:
1~
定价:
元
【内容简介】本书由两部分内容组成。
第一部分按照程云鹏等编的
研究生教材《矩阵论》(第2版)的自然章节,对矩阵论课程的基本概念、主要
结论和常用方法做了简明扼要的分类总结,对各章节的课后习题做了详细的
解答;第二部分收编了近年来研究生矩阵论课程的考试试题12套和博士入
学考试试题3套,并做了详细的解答。
本书叙述简明,概括性强。
可作为理、工科研究生和本科高年级学生学
习矩阵论课程的辅导书,也可供从事矩阵论教学工作的教师和有关科技工作
者参考。
—Ⅳ—
前言
矩阵论是高等学校和研究院、所面向研究生开设的一门数学
基础课。
作为数学的一个重要分支,矩阵理论具有极为丰富的内
容;作为一种基本工具,矩阵理论在数学学科以及其他科学技术领
域都有非常广泛的应用。
因此,学习和掌握矩阵的基本理论与方
法,对于研究生来说是必不可少的。
矩阵论课程的理论性强,概念比较抽象,而且有独特的思维方
式和解题技巧。
读者在学习矩阵论课程时,往往感到概念多、结论
多、算法多,对教学内容的全面理解也感到困难。
为了配合课堂教
学,使研究生更好地掌握该门课程的教学内容,我们编写了这本同
步学习辅导书。
本书由两部分内容组成。
第一部分根据程云鹏等编的研究生
教材《矩阵论》(第2版)的内容体系,对矩阵论课程的基本概念、主
要结论和常用方法做了简明扼要的分类总结,对各章节的课后习
题做了详细的解答;第二部分收编了近年来西北工业大学研究生
矩阵论课程(60学时)的考试试题12套和博士入学考试试题3
套,并做了详细的解答。
本书对于学习矩阵论课程的研究生以及
参加博士入学矩阵论课程考试的有关人员有很好的辅导作用,对
于从事矩阵论教学工作的教师也有一定的参考价值。
本书由张凯院、徐仲共同编写,张凯院任主编。
—1—
限于水平,书中疏漏和不妥之处在所难免,敬请读者批评
指正。
编者
2002年7月于西北工业大学
—2—
符号说明
R(C)实(复)数集合
R
n(Cn)实(复)n维向量集合
Rm×n(Cm×n)实(复)m×n矩阵集合
m×nm×n
Rr(Cr)秩为r的实(复)m×n矩阵集合
Pn[t]次数不超过n的一元多项式集合
nn维线性空间V
W⊥子空间W的正交补
dimV线性空间V的维数
span{x1,x2,⋯,xm}由元素x1,x2,⋯,xm生成的子空间
0零向量或线性空间的零元素
ei第i个分量为1,其余分量为0的向量
O零矩阵
I单位矩阵
Eij第i行第j列元素为1,其余元素为0的矩阵
JJordan标准形矩阵
diag(λ1,λ2,⋯,λn)以λ1,λ2,⋯,λn为对角元素的对角矩阵
detA方阵A的行列式
trA方阵A的迹
ρ(A)方阵A的谱半径
adjA方阵A的伴随矩阵
rankA矩阵A的秩
—1—
R(A)矩阵A的值域
N(A)矩阵A的零空间
R(T)线性变换T的值域
N(T)线性变换T的零空间
vec(A)矩阵A按行拉直的列向量
AT矩阵A的转置
H矩阵A的共轭转置A
A+矩阵A的Moore-Penrose逆
(1)矩阵A的{1}-逆A
A(1,j)矩阵A的{1,j}-逆
A{1}矩阵A的{1}-逆的集合
A{1,j}矩阵A的{1,j}-逆的集合
(d)矩阵A的Drazin逆A
A#矩阵A的群逆
AíB矩阵A与B的直积
(x,y)元素x与y的内积
x⊥y元素x与y正交
‖x‖p向量x的p-范数
‖A‖F矩阵A的Frobenius范数
V1∩V2子空间V1与V2的交
V1∪V2子空间V1与V2的并
V1+V2子空间V1与V2的和
V1īV2子空间V1与V2的直和
Re(λ)复数λ的实部
lm(λ)复数λ的虚部
�f(λ)多项式f(λ)的次数
—2—
目录
第一部分同步学习辅导
第一章线性空间与线性变换⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3
一、基本概念⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3
二、主要结论⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7
三、常用方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12
四、内容结构框图⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17
五、课后习题全解⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯18
第二章范数理论及其应用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯45
一、基本概念⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯45
二、主要结论⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯47
三、常用方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯49
四、内容结构框图⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯50
五、课后习题全解⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯51
第三章矩阵分析及其应用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯58
一、基本概念⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯58
二、主要结论⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯61
三、常用方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯65
四、内容结构框图⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯67
五、课后习题全解⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯68
第四章矩阵分解⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯80
—Ⅰ—
一、基本概念⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯80
二、主要结论⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯82
三、常用方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯84
四、内容结构框图⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯91
五、课后习题全解⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯92
第五章特征值的估计及对称矩阵的极性⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯108
一、基本概念⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯108
二、主要结论⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯110
三、常用方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯112
四、内容结构框图⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯114
五、课后习题全解⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯115
第六章广义逆矩阵⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯125
一、基本概念⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯125
二、主要结论⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯127
三、常用方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯130
四、内容结构框图⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯132
五、课后习题全解⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯133
第二部分试题精解
试题一⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯159
试题一解答⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯161
试题二⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯165
试题二解答⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯167
试题三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯172
试题三解答⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯174
试题四⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯179
试题四解答⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯181
试题五⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯186
—Ⅱ—
试题五解答⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯188
试题六⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯193
试题六解答⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯195
试题七⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯200
试题七解答⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯202
试题八⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯207
试题八解答⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯210
试题九⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯216
试题九解答⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯218
试题十⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯224
试题十解答⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯226
试题十一⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯230
试题十一解答⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯233
试题十二⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯238
试题十二解答⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯240
试题十三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯245
试题十三解答⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯247
试题十四⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯251
试题十四解答⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯253
试题十五⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯255
试题十五解答⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯257
参考文献⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯262
—Ⅲ—
第一部分同步学习辅导
第一章线性空间与线性变换
线性空间是向量空间的推广.具体的线性空间多种多样,其
中的元素既可以是向量,也可以是矩阵、多项式、函数等;其中的线
性运算既可以是通常的,也可以是特殊的.线性空间的核心内容
是线性变换,它反映了线性空间中元素之间的一种基本联系.
在有限维线性空间中,借助于基的概念可在元素与列向量之
间、线性变换与方阵之间建立一一对应关系,从而元素的运算能够
转化为列向量的运算,线性变换的运算能够转化为方阵的运算,一
般线性空间中的问题能够转化为列向量空间中的问题.这种转化
依赖于三类特殊的矩阵,即两个基之间的过渡矩阵、线性变换在指
定基下的矩阵、欧氏(酉)空间中基的度量矩阵.
线性空间中的元素统称为向量,加法运算和数乘运算也使用
通常的运算符号.
一、基本概念
1.线性空间
线性空间指引进了加法运算和数乘运算且满足8条运算律的
某个数域上的非空集合,通常用V表示(n维线性空间记为Vn).
(1)实行向量空间Rn={α=(a1,a2,⋯,an)|ai∈R}
实列向量空间Rn={α=(a1,a2,⋯,an)T|ai∈R}
复行向量空间C1,a2,⋯,an)|ai∈C}n={α=(a
复列向量空间C1,a2,⋯,an)i∈C}n={α=(aT|a
—3—
(2)实矩阵空间Rij)m×n|aij∈R}
m×n={A=(a
m×n={A=(a
复矩阵空间Cij)m×n|aij∈C}
(3)实多项式空间
Pn[t]={f(t)=a0+a1t+⋯+anti∈R}
n|a
复多项式空间
Pn[t]={f(t)=a0+a1t+⋯+antn|ai∈C}
2.线性子空间
线性子空间指线性空间中对加法运算和数乘运算封闭的非空
子集.
(1)生成子空间span{x1,x2,⋯,xm}或者L(x1,x2,⋯,xm):
设
V是数域K上的线性空间,xi∈V(i=1,2,⋯,m),则
span{x1,x2,⋯,xm}=
{x=k1x1+k2x2+⋯+kmxm|ki∈K}
m×n的列向量组为β
(2)矩阵的值域R(A):
设A∈C1,β2,⋯,
βn,则
R(A)=span{β1,β2,⋯,βn}={y=Ax|x∈Cn}
m×n,则(3)矩阵的零空间N(A):
设A∈C
N(A)={x|Ax=0,x∈Cn}
(4)线性变换的值域R(T):
设T是线性空间V的线性变换,
则
R(T)={y=Tx|x∈V}
(5)线性变换的核N(T):
设T是线性空间V的线性变换,则
N(T)={x|Tx=0,x∈V}
(6)线性变换的特征子空间Vλ:
设λ是线性空间V中线性变换
T的一个特征值,则
Vλ={x|Tx=λx,x∈V}
3.线性空间的基
线性空间的基指线性空间V中满足下列条件的向量组x1,x2,
—4—
⋯,xn:
①x1,x2,⋯,xn线性无关;②任意x∈V都可由x1,x2,⋯,
xn线性表示.
(1)向量空间Rn(Cn)的简单基为e1,e2,⋯,en,其中ei表示第
i个分量为1,其余分量为0的n维向量.
(2)矩阵空间Rm×n(Cm×n)的简单基为
E11,E12,⋯,E1n,E21,⋯,Emn
其中Eij表示第i行第j列元素为1,其余元素为0的m×n矩阵.
(3)多项式空间Pn[t]的简单基为1,t,⋯,tn.
4.两个基之间的过渡矩阵
过渡矩阵是以线性空间的一个基中各元素在另一个基下的坐
标为列向量构成的方阵.
(1)表示方法:
已知线性空间Vn的两个基为(Ⅰ)x1,x2,⋯,
xn;(Ⅱ)y1,y2,⋯,yn.设yj在基(Ⅰ)下的坐标为βj(j=1,2,⋯,
n),则由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵为C=(β1,β2,⋯,βn),
基变换公式为
(y1,⋯,yn)=(x1,⋯,xn)C
(x1,⋯,xn)=(y1,⋯,yn)C-1
〔评注〕一般地,上式中进行乘法运算时,只能将xi或者yj作为一个
“数”看待;比较等号两端的对应“分量”时,亦将xi或者yj作为一个“数”
看待.
(2)主要特征:
两上基之间的过渡矩阵是可逆方阵,它的阶数
等于线性空间的维数.
5.元素的坐标
元素的坐标指元素由线性空间的基线性表示时,表示式中的
系数构成的列向量.
(1)表示方法:
设线性空间Vn的一个基为x1,x2,⋯,xn,对于
任意x∈Vn,有x=a1x1+a2x2+⋯+anxn,则x在该基下的坐标
为(a1,a2,⋯,an)T.
—5—
(2)主要特征:
元素的坐标是列向量,它的维数等于线性空间
的维数.
(3)运算转化:
设数域K上的线性空间Vn的一个基为x1,x2,
⋯,xn,且x,y∈V1,a2,⋯,an)
n在该基下的坐标分别为α=(aT和
β=(b1,b2,⋯,bn)
T,则
1)x+y在该基下的坐标为α+β;
2)kx在该基下的坐标为kα(k∈K).
6.线性变换的矩阵
线性变换的矩阵是以线性空间的基中各元素的像在该基下的
坐标为列向量构成的方阵.
(1)表示方法:
设线性空间Vn的一个基为x1,x2,⋯,xn,线性
变换为T,基像组Tx1,Tx2,⋯,Txn在该基下的坐标依次为β1,β2,
⋯,βn,则T在该基下的矩阵为A=(β1,β2,⋯,βn),且有
def
T(x1,x2,⋯,xn)(Tx1,Tx2,⋯,Txn)=
(x1,x2,⋯,xn)A
(2)主要特征:
线性变换的矩阵是方阵,它的阶数等于线性空
间的维数.
(3)运算转化:
设数域K上的线性空间Vn的一个基为x1,x2,
⋯,xn,线性变换T1和T2在该基下的矩阵分别为A和B,则
1)T1+T2在该基下的矩阵为A+B;
2)kT1在该基下的矩阵为kA(k∈K);
3)T1T2在该基下的矩阵为AB;
-1
-1(若T
4)T1在该基下的矩阵为A1为可逆变换).
7.基的度量矩阵
度量矩阵是以欧氏(酉)空间的基中第i个元素与第j个元素
的内积为i行j列元素构成的方阵.
(1)表示方法:
设欧氏(酉)空间Vn的一个基为x1,x2,⋯,xn,
—6—
令aij=(xi,xj)(i,j=1,2,⋯,n),则该基的度量矩阵为A=
(aij)n×n.
(2)主要特征:
基的度量矩阵是实对称(Hermite)正定矩阵,
它的阶数等于欧氏(酉)空间的维数.
(3)运算转化:
设酉空间V1,x2,⋯,xn,该基的n的一个基为x
度量矩阵为A,x,y∈Vn在该基下的坐标(列向量)分别为α和β,
那么x与y的内积(x,y)=αTAβ.当Vn为欧氏空间时,(x,y)=
αTAβ.
8.标准正交基
标准正交基指欧氏(酉)空间中由两两正交的单位向量构成
的基.
(1)构造方法:
对欧氏(酉)空间的一个基进行Schmidt正交化
可得正交基,再对正交基进行单位化可得标准正交基.
(2)主要特征:
正交基的度量矩阵是对角矩阵,标准正交基的
度量矩阵是单位矩阵.
(3)运算转化:
设欧氏(酉)空间V1,n的一个标准正交基为x
x2,⋯,xn,x,y∈V1,a2,⋯,an)n在该基下的坐标分别为α=(aT
和β=(b1,b2,⋯,bn)T,则
1)ai=(x,xi),bi=(y,xi)(i=1,2,⋯,n);
2)(x,y)=a1b1+a2
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