半导体物理与器件(吕淑媛)课件第2章平衡半导体中的载流子浓度..pptx
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半导体物理与器件(吕淑媛)课件第2章平衡半导体中的载流子浓度..pptx
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第2章平衡半导体中的载流子浓度,2.1状态密度函数和费米分布函数2.2平衡载流子浓度2.3只含一种杂质的杂质半导体中的载流子浓度2.4补偿半导体的载流子浓度2.5费米能级的位置2.6简并半导体习题,要想掌握任何半导体器件的工作原理,推导出它的电流电压特性,必须首先能计算出半导体在平衡状态下的电子和空穴两种载流子的浓度,因为电流是由载流子的定向运动产生的。
这就是这一章主要要解决的问题。
2.1状态密度函数和费米分布函数,晶体中的电子是不可分辨的,而且按照以前学过的泡利不相容原理,一个量子态上仅允许被一个电子占据。
因此要计算载流子的浓度,就等于计算被电子占据的量子态的数量。
要计算被电子占据的量子态的数量,首先要了解状态密度分布的函数,了解量子态按能量的分布,即知道在导带中单位能量间隔dE内有多少量子态。
当然这些量子态上并不是每一个都有电子,还需要知道载流子在量子态上的分布概率,将状态密度函数和分布函数相乘后得到单位能量间隔内的电子浓度,在整个导带范围内积分后就可以计算出导带电子浓度。
空穴浓度的计算也是类似的,将状态密度函数和空穴占据量子态的概率相乘,再对整个价带能量范围积分后可以计算出价带空穴浓度。
通过这样的方法可以计算出导带电子浓度和价带空穴浓度。
2.1.1状态密度函数状态密度的定义是单位体积、单位能量间隔中存在的量子态数,其定义式为为了计算出状态密度,利用了k空间的状态分布,先计算出k空间的状态密度,再计算出在k空间能量分布在EE+dE范围内的体积,二者相乘得到了EE+dE范围内存在的量子态数Z(E),再代入式(2.1)中计算得到状态密度。
之所以在计算状态密度时要借用k空间,是因为量子态在k空间是均匀分布的。
假设由周期性排列的原子构成三维的晶体结构,类比于一个三维的无限深势阱(这个类比会引入一定的误差,导致实验结果和推导出的理论函数不是完全吻合),在这个势阱中,与一维无限深势阱的结论类似,k只能取分立值。
当设晶体的周期是a时,kx、ky、kz将均是/a的整数倍,即有,在式(2.2)中nx、ny、nz均只能为正整数,则在k空间,kx、ky、kz的值是均匀分布的,图2.1为二维k空间量子态的分布示意图。
在图中,一个黑点表示一个允许的量子态,量子态在k空间中是均匀分布的。
从图2.1中可以看出,相邻两个量子态的间隔为/a,因此在k空间中可以认为,每个允许的k值对应的k空间体积为,图2.1二维k空间量子态的分布示意图,既然k空间中的量子态是均匀分布的,求出能量在EE+dE范围内的k空间体积就可确定k空间的量子态密度,当能量从E增加至E+dE时,在k空间对应的体积增量为1/84k2dk。
其中4k2dk是当能量从E增加至E+dE时,在k空间对应的两个球体之间包含的体积;“1/8”是考虑到nx、ny、nz均只能为正整数,因此只占用了球体的1/8。
结合式(2.3)中每一个量子态占据的体积,当能量从E增加至E+dE时,在k空间对应存在的量子态数为式(2.4)中的“2”是考虑到每个量子态可以容纳两个自旋相反的电子而引入的。
式(2.8)给出了在体积为a3的晶体中能量在E到E+dE之间的量子态数,按照状态密度的定义,在单位体积、单位能量间隔中的导带电子的状态密度为需要说明的是,式(2.9)只在EEc时有效。
因此状态密度同时是体积密度和能量密度,是双重密度函数,状态密度的值和载流子的有效质量有关。
类似地,也可以推出价带空穴的状态密度函数,在价带的空穴,其Ek关系为价带的状态密度函数为同样,式(2.11)只在EEv时有效。
为了能更直观地看出状态密度函数gc(E)、gv(E)随E的变化规律,在图2.2中画出了gc(E)、gv(E)随着能量E的变化规律。
在图2.2中,为了和常用的能带图保持一致,将能量E作为纵坐标,状态密度函数gc(E)、gvE)作为横坐标。
从图中可以看出,禁带中不存在量子态,状态密度函数为零,与前面的能带理论的结果一致。
当电子有效质量和空穴有效质量相等时,gc(E)和gv(E)两支曲线关于禁带中央对称分布。
一般的情况下,电子有效质量不等于空穴有效质量,因而这两支曲线也不对称。
图2.2导带和价带的状态密度函数随能量E的变化,例2.1当室温T=300K时,在半导体材料硅中,计算从Ec到Ec+kT之间包含的量子态总数。
解:
根据导带电子的状态密度公式,2.1.2费米狄拉克分布函数在求出了状态密度函数后,就明确了在已知能量范围内存在的量子态数目,要了解电子在量子态上的分布情况,还需了解电子在量子态上的分布概率。
因为这是一个包含大量粒子的系统,没办法掌握其中每个粒子运动的规律,只能确定其整体的统计特征,晶体中的电子是不可分辨的,而且遵循泡利不相容原理,一个量子态上仅允许被一个电子占据。
其统计特征符合费米-狄拉克分布函数,表达式为,式中:
g(E)表示的是单位体积、单位能量间隔的量子态数;N(E)表示的是单位体积、单位能量间隔的粒子数;f(E)为费米狄拉克分布函数,简称为费米分布函数,它是指在热平衡状态下,能量为E的量子态被电子占据的概率;EF为费米能级。
为了认识费米分布函数,需研究在不同的温度下f(E)值的大小与EF位置的关系。
当T=0K时,根据式(2.12)f(E)只有0和1两种取值,当EEF时,f(E)=0,当EEF时,f(E)=1。
当T=0K时,f(E)的变化如图2.3所示。
图2.3T=0K时,费米分布函数与能量的关系曲线,也就是说,在绝对零度时,能量比费米能级低的量子态全被电子占据,而能量比费米能级高的量子态没有电子,全部为空。
随着温度的升高,大于绝对零度后(T0K),电子会获得一定的能量,向更高能级跃迁,相应的电子在量子态的分布情况也会发生变化。
图2.4是在T0K时,费米分布函数随能量变化的关系曲线。
当E=EF时,费米分布函数为,计算结果说明,能量为EF的量子态被电子占据的概率为1/2。
当EEF时,费米分布函数f(E)EF的能级,其被电子占据的概率小于其空着的概率,并且随着E的增加,电子占据能量为E的量子态的概率指数式减小。
当E1/2,也就是说对于EEF的能级,其被电子占据的概率大于其空着的概率,并且随着E的减小,电子占据能量为E的量子态的概率趋近于1。
通过上面的描述可以认为费米能级是电子占据能级水平高低的度量。
费米能级低,电子占据高能级的概率较低,在高能级上的电子数较少;费米能级高,电子占据高能级的概率较大,在高能级上的电子数较多。
例2.2分别计算在室温T=300K时,比费米能级高3kT和比费米能级低2kT的量子态被电子占据的概率。
图2.4T0K时,费米分布函数随能量变化的关系曲线,从计算结果可以看出,比费米能级高的量子态中,电子占据量子态的概率远小于1,而比费米能级低的量子态,电子占据量子态的概率接近1。
因此,也可以认为费米能级以上的能级几乎全空,而费米能级以下的能级几乎全满。
既然f(E)表示的是电子占据某个能量为E的量子态的概率,则1-f(E)表示某个能量为E的量子态空着的概率,也可以说是空穴占据某个能量为E的量子态的概率。
图2.5为T=300K时,1-f(E)和f(E)与能量的关系曲线。
图2.5T=300K时,1-f(E)(虚线)和f(E)(实线)与能量的关系,例2.3证明在费米能级以上E的量子态被电子占据的概率和在费米能级以下E的量子态为空状态的概率相等。
解:
已知费米分布函数,那么能量为E的量子态处于空状态的概率为1-f(E)。
费米能级以上E的量子态被电子占据的概率为,而在费米能级以下E的量子态处于空状态的概率为上面两式结果经计算相等,命题得证。
例2.4利用MATLAB编程,画出费米分布函数在300K、400K及500K三种温度下在-0.3eVE-EF0.3eV之间随能量的变化曲线,并画出1-f(E)在这三种温度及同样的能量范围内的变化曲线。
其计算后得到的结果如图2.6所示,图中的虚线是300K时的结果,实线是400K时的结果,点线是500K时的结果。
对于1-f(E)的计算,只需在上述程序稍作调整,得到的结果如图2.7所示。
在以后的计算中,如果满足E-EFkT,则费米分布函数可以做下面的近似,图2.6不同温度下费米分布函数随能量变化的关系曲线,图2.7不同温度下1-f(E)随能量变化的关系曲线,近似后的函数形式就是麦克斯韦玻尔兹曼分布函数,把近似后的函数称为麦克斯韦玻尔兹曼近似下的费米分布函数,简称玻尔兹曼近似,如图2.8所示。
实际中,为了确定量子态的能量比费米能级高多少才可以应用玻尔兹曼近似,我们做了一个简单的估算。
一般来说由于近似而引起的误差为05%即可。
在前面的例2.2中,当E-EF=3kT时,费米分布函数计算的结果为4.7%,如果采用玻尔兹曼近似下的费米分布函数,把分母的1略去,则计算的结果为4.97%,由此引发的误差(4.97-4.74)/4.74=4.8%5%,故一般认为E-EF=3kT就满足了E-EFkT的条件。
图2.8费米分布函数与玻尔兹曼近似,2.2平衡载流子浓度,有了2.1节中的准备知识,计算平衡半导体的载流子浓度已经很容易了。
比如要计算导带的电子浓度,只需将导带电子的状态密度函数与费米分布函数相乘,并对整个导带能量范围进行积分即可得到导带的总电子浓度。
类似地,要计算价带的空穴浓度,只需将价带空穴的状态密度函数与能量为E的能级不被电子占据的概率相乘,并对整个价带能量范围积分即可。
在具体计算之前,先来看一个定性的图示,来了解半导体中的载流子浓度的大小和费米能级位置之间,图2.9费米能级在不同位置时,载流子浓度的变化情况,图2.9费米能级在不同位置时,载流子浓度的变化情况,当假设导带电子有效质量和价带空穴有效质量相等时,gc(E)、gv(E)关于禁带中央对称。
在图2.9第一列的三个图中,费米能级位置分别在禁带上部、禁带中央和禁带下部。
如图2.5所示f(E)、1-f(E)是关于E=EF对称的,因此在图2.9的第三列f(E)、1-f(E)的位置随着费米能级位置的移动而相应发生整体移动,而形貌不发生变化。
图2.9的第四列是电子的状态密度函数与费米分布函数相乘并积分后结果的示意图,第四列中阴影部分表示导带电子浓度,而在价带顶部附近的曲线下包含的面积则是空穴浓度。
从图2.9中可以看出,当费米能级位于禁带中央时,gc(E)、gv(E)及f(E)、1-f(E)都关于禁带中央对称,导带电子的数目和价带空穴的数目是相等的,这与本征半导体的情况是相同的。
当费米能级位于禁带上部时,gc(E)和f(E)的重合较多,二者相乘后积分,得到的导带电子浓度较大。
类似地,当费米能级位于禁带的下部时,gv(E)和1-f(E)的重合较多,二者相乘后积分,得到价带空穴的浓度较大。
从图2.9中还可以看出,当假设电子有效质量等于空穴有效质量时,gc(E)、gv(E)关于禁带中央对称,那么要得到相等的电子浓度和空穴浓度,费米能级必须严格位于禁带中央。
如果两种载流子的有效质量不等,为得到相等的电子浓度和空穴浓度,则费米能级的位置也要相应在禁带中央发生移动。
在图2.9中,状态密度函数gc(E)、gv(E)随能量的变化规律在三种情况下均保持不变。
2.2.1平衡半导体中的载流子浓度的公式下面定量计算导带电子浓度和价带空穴浓度的表达式,按照前面的思路,有,说明:
这个结果与费米能级位于禁带上部的情况一样,定量计算结果表明,导带电子浓度远大于价带空穴浓度。
费米能级在禁带中虽然移动量只有零点几电子伏特,但这种移动引起的载流子浓度的变化是很大的。
2.2.2本征半导体中的载流子浓度本征半导体是指没有掺入其他杂质而且也没有晶格缺陷的纯净半导体。
在本征半导体中,要产生载流子,价带的电子吸收外界的能量后,摆脱共价键的束缚,向导带跃迁,这个过程称为本征激发。
本征激发在导带产生一个电子,与此同时在价带产生一个空穴。
因此,在本征半导体中,导带电子和价带空穴是成对产生的,导带电子浓度和价带空穴浓度是相等的。
通常用下标i来表示本征半导体的相关参数,ni、pi分别表示本征半导体的电子浓度和空穴浓度,由于ni=pi,可以用ni或pi表示本征半导体的载流子浓度,也称为本征载流子浓度,用EFi表示本征费米能级。
根据式(2.22)和式(2.30)有,将式(2.31)和式(2.32)相乘,得到式(2.33)表明,对于处于平衡状态下的本征半导体,本征载流子浓度仅与温度和半导体的禁带宽度有关,而与费米能级无关。
将式(2.33)取平方根,得到,对于T=300K下的硅,将其禁带宽度1.12eV代入到式(2.34)中,计算出其本征载流子浓度为6.95109cm-3,与表2.1中给出的硅在T=300K下本征载流子浓度的测量值1.51010cm-3有一些差别。
这种差别主要来源于Nc、Nv公式中出现的电子有效质量m*n、空穴有效质量m*p理论值与实验值的差别,以及用简单的三维无限深势阱模型在计算状态密度时导致的误差。
在以后的计算及应用的时候,用到本征载流子浓度时,选取公认值即可。
例2.6请画出三种常见的半导体材料,硅、锗和砷化镓的本征载流子浓度在200K600K之间随温度变化的曲线。
解:
根据本征载流子浓度的公式,从图2.10中可以看出本征载流子浓度强烈的依赖外界温度的变化,随着外界温度的增加而指数增加。
图2.10本征载流子浓度随温度变化的曲线,2.2.3载流子浓度的乘积通过对本征载流子浓度的讨论,可以发现本征载流子浓度只和半导体的种类及温度有关,可以认为它是在已知温度下半导体材料的一个重要基本参数。
将式(2.22)和式(2.30)相乘后,得到对于热平衡状态下的半导体有,式(2.35)说明在某一温度下的半导体,其导带电子浓度和价带空穴浓度的乘积是一个常数。
式(2.35)在实际的计算中很有用,当算出其中一种载流子的浓度后,可以利用式(2.35)计算出另一种载流子的浓度。
但式(2.35)是在式(2.22)和式(2.30)的基础上得出的结论,而式(2.22)和式(2.30)成立的前提是满足玻尔兹曼近似。
因此式(2.35)是仅对满足玻尔兹曼近似前提下的热平衡半导体适用的公式。
可以利用ni或pi,将载流子浓度n0或p0用ni或pi表示,在式(2.22)的指数项上加上本征费米能级,再减去本征费米能级,其结果保持不变,即有,热平衡载流子浓度可以表示为,2.2.4本征费米能级位置通过对图2.9(b)中的定性分析,已经知道本征半导体的费米能级在禁带中央附近,下面将通过严格的推导证明本征半导体费米能级的精确位置。
因为ni=pi,固式(2.31)与式(2.32)相等,即有,可以将式(2.38)看做关于本征费米能级EFi的方程,两边同时取对数后,进行变换,得将Nc、Nv的表达式(2.21)和式(2.29)代入式(2.39)后,得到可以将式(2.40)变形为,式(2.41)表明当电子有效质量和空穴有效质量严格相等时,本征费米能级严格在禁带中央,如图2.9(b)所示。
当电子有效质量和空穴有效质量不相等时,导致导带电子的状态密度函数和价带空穴的状态密度函数不对称,因此为了使本征电子浓度和本征空穴浓度相等,本征费米能级也相应地要在禁带中央附近发生移动。
当电子有效质量大于空穴有效质量时,式(2.41)右边的表达式计算为负值,本征费米能级会低于禁带中央;当空穴有效质量大于电子有效质量时,式(2.41)右边的表达式计算为正值,本征费米能级会高于禁带中央。
实际中半导体材料的导带电子有效质量和价带空穴有效质量不相等,严格地说,此时本征费米能级的位置偏离了禁带中央,但由于种种原因偏离量很小,在以后的计算和应用中,忽略这种偏离,近似认为本征费米能级就在禁带中央。
2.3只含一种杂质的杂质半导体中的载流子浓度,在上一节中,推出了适用于平衡半导体的电子浓度和空穴浓度的一般公式,并讨论了本征半导体这种特殊对象的载流子浓度和费米能级位置。
在实际应用中,由于本征半导体对温度的变化很敏感而很少用来制作器件,制造半导体器件的材料一般使用掺杂半导体。
可以说,掺入定量的特定的杂质后才可以真正显示出半导体的性质。
在本节中,将利用上节中得出的公式计算杂质半导体中的载流子浓度。
2.3.1施主杂质和受主杂质在实际中更为常用的是掺杂半导体,半导体真正的性质也是在其掺杂后表现出来的,通过掺杂这种手段可以有效地改变半导体的电学特性。
与本征半导体相对应,通常将掺杂的半导体称为非本征半导体。
以第四族的典型半导体硅为例,它以共价键的方式结合在一起,图2.11为硅晶体结构的二维示意图。
从图2.11中可以看出每个硅原子周围都有四个硅原子,两两之间共用一个电子对,形成最外层八个电子的稳定结构。
假定有一个第五族的元素磷掺入到硅半导体中,并取代硅的位置(将这种杂质称为替位式杂质),则由于磷元素的最外层有五个电子,因此除了四个与相邻的硅原子形成共用电子对外,还剩余一个电子,这个电子仍受到磷原子的束缚,但这种束缚作用和其他四个电子的共价键束缚相比要弱得多。
掺入磷原子后的硅晶体二维示意图如图2.12所示。
图2.11硅晶体的共价键二维示意图,图2.12掺入磷原子后的硅晶体二维示意图,由于多余出来的第五个电子摆脱磷原子的束缚较为容易,只需要很少的能量即可成为自由电子,摆脱磷原子束缚所需的能量称为施主杂质的电离能。
这个电子是由于杂质的引入而产生的,称为施主电子,对应的掺入的磷元素称为施主杂质,电离后的磷原子带正电,因其受到四个共价键的束缚而不能移动。
上面的这个过程也可以从能带图的角度解释,当施主杂质电离后,成为自由电子,即为导带中的电子。
由此反推,电离前施主原子的能级位置应该在离导带底部较近的禁带之中,图2.13(a)、(b)分别是施主杂质电离前和电离后的能带图。
图2.13施主杂质的能带图,当在半导体中掺入施主杂质后,施主杂质的电离将会给导带提供很多电子,但同时并不产生价带空穴。
这种半导体中电子浓度大于空穴浓度,称为N型半导体,其中N表示的是带负电的电子,也把N型半导体中的电子称为多数载流子,简称多子;N型半导体中的空穴称为少数载流子,简称少子。
在表示时,和施主杂质有关的参量都用“D”来表示,如图2.13中用ED来表示施主能级。
当假定有一个第三族的元素硼掺入到半导体硅中成为替位式杂质时,由于硼元素最外层只有三个电子,因此它只与相邻的三个硅原子之间共用电子对,形成共价键,有一个应该形成共价键的位置是空的,如图2.14所示。
图2.14掺入硼原子的硅晶体共价键二维示意图,由于硼原子周围的一个共价键是空的,因此这一位置可能吸引其他位置的电子,但其他共价键位置的电子要填入这个空位,也需要一定的能量,但是这个能量和共价键中的电子摆脱共价键的束缚所需的能量相比要小得多。
图2.15画出了这个过程,硼原子周围的共价键被填满,与此同时在其他位置留下空的电子位置。
图2.15硼原子电离过程示意图,硼原子电离后变成带负电的硼离子,由于它受到共价键的束缚因而不能移动。
在图2.14中空出来的电子位置就是在第1章中讨论的假想载流子空穴。
掺入第三族的元素硼后,它接受价带的电子发生电离,同时在价带产生空穴,通常把这种杂质称为受主杂质。
受主杂质的引入可以在价带产生空穴,但同时并不在导带产生电子。
通常把掺入受主杂质的半导体称为P型半导体,其中P表示带正电的空穴,P型半导体中的价带空穴比导带电子多,是多数载流子,简称多子;P型半导体中的电子是少数载流子,简称少子。
与施主杂质的分析类似,对于受主杂质,也可以从能带图的角度去解释。
价带的电子需要很少的能量就可以跃迁到受主杂质上,由此反推,受主杂质的能级位置应该在禁带中靠近价带顶部的位置,如图2.16所示。
在图2.16(b)中箭头表示的是电子的运动方向,空穴的运动方向和电子的运动方向相反。
在表示时,和受主杂质有关的参量都用“A”来表示,如图2.16中用EA来表示受主能级。
图2.16受主杂质的能带图,在前面讨论施主杂质和受主杂质时,提到将第五族的磷原子和第三族的硼原子掺入到半导体硅材料中,其施主能级或受主能级非常靠近导带底部或价带顶部,因此施主杂质或受主杂质电离所需的能量较小,较容易电离,电离能小。
下面利用一个简单的理论模型定量的估算一下杂质的电离能,这个理论模型称为类氢原子模型。
对于掺入硅中的磷原子,其中最外层中的四个电子形成共价键,只留下一个电子,这个电子受到磷原子的束缚,围绕磷原子转动。
这样的情况和氢原子核外的一个电子围绕原子核运动的情况很类似,可以用玻尔理论来估算施主杂质或受主杂质的电离能。
根据玻尔理论,氢原子核外的电子具有量子化的能量,其表达式为,当n=1时(对应为基态)对氢原子计算得到-13.6eV,因此氢原子的最低能级电离所需的电离能为13.6eV。
当把这一结果应用到半导体中施主杂质或受主杂质时,需要做两方面的修正:
第一因为公式中出现了介电常数,氢原子计算时采用的是真空的介电常数,而不同半导体材料的介电常数都不同,比如半导体硅的相对介电常数为11.7,应该根据计算的半导体材料的介电常数进行修正;第二因为公式中出现了电子的质量,而在半导体中需要根据杂质是施主杂质或受主杂质而将其变为电子有效质量或空穴有效质量。
经过这两点修正后,将施主杂质的电离能用ED表示,其值为Ec-ED,则有类似地,受主杂质的电离能EA=EA-Ev可以表示为,用上面的类氢原子模型对半导体硅中掺入的施主杂质估算出其电离能为0.0258eV,表2.2中列出了在半导体硅和锗中,几种施主杂质和受主杂质的电离能,可以看出电离能的数值和禁带宽度相比是很小的,而不同的材料和不同载流子的有效质量导致表中的每个电离能都不同,但表中的电离能与前面的类氢原子模型估算的数量级相同。
通常把电离能比半导体的禁带宽度小得多的这种杂质称为浅施主杂质或浅受主杂质。
2.3.2施主杂质能级上的电子和受主杂质能级上的空穴在上一节中讨论了纯净的半导体也就是本征半导体的载流子浓度,其导带电子浓度和价带空穴浓度相等。
当半导体中引入施主杂质或者受主杂质时,其变为N型半导体或P型半导体,其多子为电子或空穴,通常将掺入杂质(施主杂质或受主杂质)的半导体统称为非本征半导体,这一节里将要讨论如何求解只含一种杂质的非本征半导体的载流子浓度。
在2.1节中引入了费米分布函数,用它来描述某一量子态被电子占据的概率。
类似地,在这一节中将讨论施主杂质能级被电子占据的概率和受主杂质能级被空穴占据的概率。
与费米分布函数的引入类似,这里直接给出电子占据施主杂质能级的概率函数为类似地,空穴占据受主杂质能级的概率函数为,施主杂质的浓度用ND表示,受主杂质的浓度用NA表示,则ND就是施主杂质的量子态密度,NA就是受主杂质的量子态密度,则有,式(2.46)和式(2.47)中:
pA表示占据受主杂质能级的空穴浓度;N-A表示电离的受主杂质浓度。
从式(2.44)式(2.47)可以看出,杂质能级相对于费米能级的分布情况决定了杂质电离的情况。
从式(2.42)中可以看出若满足ED-EFkT,则式(2.
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- 半导体 物理 器件 吕淑媛 课件 平衡 中的 载流子 浓度