灰色模型作业.docx
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灰色模型作业.docx
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8.设有时间序列数据,如下表所示:
时间
2010
2011
2012
2013
2014
k
1
2
3
4
5
X0(k)
2.874
3.278
3.337
3.39
3.679
试建立GM(1,1)模型。
第一步:
构造累加生成列。
X1
(1)=X0
(1)=2.874
X1
(2)=X0
(1)+X0
(2)=6.152
X1(3)=X0
(1)+X0
(2)+X0(3)=9.489
X1(4)=X0
(1)+X0
(2)+X03+X0(4)=12.879
X1(5)=X0
(1)+X0
(2)+X03+X0(4)+X0(5)=16.558
生成列为:
X1={2.874,6.152,9.489,12.879,16.558}
第二步:
构造矩阵B和数据向量Yn。
B=-12[X11+X1
(2)]1-12[X12+X1(3)]1-12[X13+X1(4)]1-12[X14+X1(5)]1=-4.5131-7.82051-11.1841-14.71851
Yn=X0
(2)X0(3)X0(4)X0(5)=3.2783.3373.393.679
第三步:
计算BTB,(BTB)-1,和BTYn.
BTB=-4.513-7.8205-11.184-14.71851111*-4.5131-7.82051-11.1841-14.71851=423.2435-38.236-38.2364
(BTB)-1=423.2435-38.236-38.2364-1
BTYn=-4.513-7.8205-11.184-14.71851111*3.2783.3373.393.679=-132.95413.684
α=(BTB)-1BTYn==423.2435-38.236-38.2364-1-132.95413.684=-0.02533.11696
即:
α=-0.0253μ=3.11696
第四步:
得出预测模型。
dX
(1)dt+αX1=3.11696
X0
(1)=2.874
μα=3.11696-0.0253=-123.2
X01-μα=126.074
X1k+1=126.074e0.0253k-123.2
第五步:
残差检验。
(1)计算
(2)累减生成,X
(1)序列。
即:
X(0)={2.8740.3563640.0351350.0610270.095093}
(2)计算绝对误差序列和相对误差序列。
绝对误差序列为:
相对误差序列为:
第六步:
进行关联度检验。
(1)计算关联系数。
由于只有两个序列,故不再寻找第二级最小差及最大差:
(2)计算关联度。
第七步:
后验差检验。
(1)计算原始序列X0的标准差。
(2)计算残差∆(0)的标准差。
(3)计算C。
(4)计算小误差概率。
所有的e都小于,故P=1,C<0.2,
所以模型有较好的预测精度。
9.设有时间序列数据,如下表所示:
时间
2009
2010
2011
2012
2013
2014
k
1
2
3
4
5
6
X0k
43.45
47.05
52.75
57.14
62.64
68.52
试预测2016年的数据。
第一步:
构造累加生成列。
X11=X01=43.45
X12=X11+X02=43.45+47.05=90.5
X13=X12+X03=90.5+52.75=143.25
X14=X13+X04=143.25+57.14=200.39
X15=X14+X05=200.39+62.64=263.03
X16=X15+X06=263.03+68.52=331.55
生成列为:
X1=43.45,90.5,143.25,200.39,263.03,331.55
第二步:
构造矩阵B和数据向量Yn。
B=-12X11+X12-12X12+X1311-12X13+X14-12X14+X15-12X15+X16111=-1243.45+90.5-1290.5+143.2511-12143.25+200.39-12200.39+263.03-12263.03+331.55111=-66.975-116.87511-171.82-231.71-297.29111
Yn=X02X03X04X05X06=47.0552.7557.1462.6468.52
第三步:
计算BTB,BTB-1和BTYn。
BTB=-66.975-116.875-171.82-231.71-297.2911111×-66.975-116.87511-171.82-231.71-297.29111=189738.4-884.67-884.675
BTB-1=189738.4-884.67-884.675-1=0.0000300.0053280.0053281.142652
BTYn=-66.975-116.875-171.82-231.71-297.2911111×47.0552.7557.1462.6468.52=-54018.8288.1
α=BTB-1BTYn=0.0000300.0053280.0053281.142652-54018.8288.1=-0.0855741.38587
即:
a=-0.08557μ=41.38587
第四步:
得出预测模型。
dX1dt-0.091660546X1=41.40213302
X01=43.45
μa=-451.6897946
X01-μa=495.1397946
X1k+1=495.1397946e0.091660546k-451.6897946
第五步:
进行关联度检验。
(1)计算:
∆1=0,∆2=43.63∆3=90.32∆4=143.02∆5=200.10
∆6=262.80min∆k=0,max∆k=262.80
计算关联系数:
φ1=0+0.5*262.800+0.5*262.80=1
φ2=0.5*262.8043.63+0.5*262.80=1.75
φ3=0.5*262.8090.32+0.5*262.80=0.59
φ4=0.5*262.80143.02+0.5*262.80=0.48
φ5=0.5*262.80200.10+0.5*262.80=0.40
φ6=0.5*262.80262.80+0.5*262.80=0.33
r=161+1.75+0.59+0.48+0.40+0.33=0.758
r=0.758是基本满足ρ=0.5时,r>0.6的,所以关联度检验通过。
第六步:
后验差检验。
(1)计算:
x0=1643.45+47.05+52.75+57.14+62.64+68.52=55.258
S1=X0k-X02n-1=294.6
(2)计算残差的残差:
∆=16*0+43.63+90.32+143.02+200.10+262.80=123.31
残差的标准差:
S2=∆k-∆2n-1=298.37
C=S2S1=298.37294.6=1.02
S0=0.6745S1=0.6745*294.6=200.38
ek=∆k-∆=123.31,79.68,32.99,19.71,76.79,139.49
所以ek都小于S0,故P=1,C<2,后验差检验通过。
第七步:
残差检验。
(1)计算:
K=0,
X11=495.1397946e0-451.6897946=43.45
K=1,
X12=495.1397946e0.091660546*1-451.6897946=90.98
K=2,
X13=495.1397946e0.091660546*2-451.6897946=143.07
K=3,
X14=495.1397946e0.091660546*3-451.6897946=200.16
K=4,
X15=495.1397946e0.091660546*4-451.6897946=262.74
K=5,
X16=495.1397946e0.091660546*5-451.6897946=331.32
(2)累减生成数列:
X01=X11=43.45
X02=X12-X11=47.05
X03=X13-X12=52.75
X04=X14-X13=57.14
X05=X15-X14=62.64
X06=X16-X15=68.52
(3)计算绝对误差序列及相对误差序列:
绝对误差序列∆0=0,43.63,90.32,143.02,200.10,262.80
相对误差序列∅=0,92.7%,171.2%,250.3%,319.4%,383.5%
相对误差序列中有的相对误差很大,所以要对原模型
X1k+1=495.1397946e0.091660546k-451.6897946k=1,2,3⋯⋯
进行残差修正,以提高精度。
(4)利用残差对原模型进行修正:
我们取
e0=43.63,90.32,143.02,200.10,262.80
e
(1)=43.63,133.95,176.97,377.07,639.87
BT=-9.3-10.09-9.89-11.381111
BTB=415.6146-40.66-40.664
BTB-1=0.4337084.408644.4086445.06382
Yn=90.32143.02200.10262.80
BTYn=-7252.7696.24
α=BTB-1BTYn=-0.0760815599.309
μnan=-787.72
e1k+1=e01-μnane0.07608k-787.72=831.35e0.07608k-787.72
对上述求导,得:
e1k+1’=63.25e0.07608k
这样得到经过残差修正后的模型:
X1k+1=495.1397946e0.091660546k-451.6897946+δk-163.25e0.07608(k-1)
其中:
δk-1=1k≥20k<2
修正后,精度有所提高。
修正后的残差计算见表
修正后的残差计算表
序号k
X
X
修正后误差
相对误差%
1
43.45
43.45
0
0
2
90.5
211.31888
120.81888
1.33501521
3
143.25
273.80372
130.55372
0.91136977
4
200.39
342.21472
141.82472
0.70774348
5
263.03
417.06636
154.03636
0.58562278
6
331.55
499.01302
167.46302
0.50509131
因此,可用上述经过残差修正后的模型来预测该地区2016年的数据:
K=6,
X17=495.1397946e0.091660546*6-451.6897946+63.25e0.07608*5=588.7179
K=7,
X18=495.1397946e0.091660546*7-451.6897946+63.25e0.07608*6=686.87465
该地区2016年的数据=X18-X17=98.15675
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