09中国数学中.ppt
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中世纪的中国数学,从刘徽到祖冲之,刘徽的数学贡献,如果离开了刘徽的九章算术注去研究九章算术,则很难深入理解九章算术的精髓。
刘徽的九章算术注对于阐发九章算术的思想方法,发展九章算术的理论,完善九章算术的体系,作出了杰出的贡献。
刘徽的数学贡献,刘徽,魏晋时期人,祖籍淄乡(今山东临淄或淄川一带),生卒年月不详。
经过多年的刻苦钻研,刘徽不仅逐步领会了九章算术的精神实质,而且对其中的深奥玄妙之处有了较透彻的理解,于是他决心把自己的研究所得以对九章算术作注的形式一一记载下来。
刘徽的数学贡献,“析理以辞,解体用图。
”为了使自己的叙述通俗化,他为自己规定的目标是用言辞来分析与表达道理,用图形来建立几何直观帮助解决问题。
刘徽的数学贡献,具体来说,就是要对九章算术中未加论证的公式(方法)和原理从理论上加以证明和阐说,特别是对其中的经验公式或错误公式分别从理论上指出它的近似程度或错误原因,并提出一些理论推断。
对于几何概念和命题,则借助于图形和应用代数与几何相结合的方法,进行一般论证或演绎推理。
公元263年(魏陈留王景元四年),刘徽的数学贡献,在算术方面,刘徽阐发了九章算术中的分数理论。
他的分数的意义、表示方法、运算法则等代表了当时世界上的最高水平,并已接近于近代的成熟程度。
刘徽的数学贡献,他把分数看作比,由此发展出“率”的概念,又在“率”的基础上提出了算术中的比例理论、“盈不足”方法等,成为中国传统算法理论发展的重要基础,并传入印度、阿拉伯和欧洲,对这些地区数学的发展产生了较大的影响。
刘徽的数学贡献,在代数方面,九章算术中的线性方程组解法以及正负数加减运算是当时世界上无与伦比的两项重大成就。
前者比欧洲早1500年,后者也早了1200多年,而给这两项算法以完整理论说明的正是刘徽,他第一个给出了方程的定义并揭示了方程组的同解原理。
刘徽的数学贡献,刘徽把正与负看成是相对存在的数的两种情况,从这一认识出发,刘徽在世界数学史上第一个采取了把数的正负与加减运算关系统一起来的做法。
他还运用平面与立体图形对中国古代的开平方与开立方法做出了直观解释,这种方法对于帮助读者正确理解与掌握开方程序是非常有益的。
刘徽的数学贡献,此外,他由取平方根的近似值而提出的小数概念和表示方法,不仅明显具有近代特征,而且比欧洲最早的小数斯蒂文的小数记法要早出1300多年。
刘徽的数学贡献,在几何方面,刘徽的贡献尤为突出,他是具有中国特色的传统几何理论的奠基者。
他以别具一格的证明方法对中国古代提出的几何命题予以科学的证明,这些方法包括“图形割补法”、“代数法”、“极限法”以及“无穷小分割法”等等,其中最常用的是图形割补法,这与他提出的“解体以图”的目标是一致的。
特别是他为证明立体的体积公式所采用的立体图形割补法尤为出色。
刘徽的数学贡献,割圆术。
刘徽“割圆术”的基本思想是“化圆为方”,并借助于极限的方法。
“割之弥细,所失弥少。
割之又割,以至不可割,则与圆合体而无所失矣”。
刘徽的数学贡献,刘徽从圆的内接正六边形出发,并取半径为1尺,一直推算到圆的内接正192边形。
得到圆周率的近似值为3.14,为为分数就是157/50,这就是著名的“徽率”。
刘徽的数学贡献,体积理论“阳马居二,鳖臑居一,不易之率也。
”,刘徽的数学贡献,“阳马居二,鳖臑居一,不易之率也。
”,刘徽的数学贡献,刘徽的数学贡献,刘徽的数学贡献,刘徽在这里熟练地运用了出入相补原理和无穷分求和原理。
刘徽的数学贡献,球体积计算“牟合方盖”。
V牟:
V球=4:
刘徽的数学贡献,“牟合方盖”。
刘徽的数学贡献,勾股测量海岛算经,“测高望远之术”,重差术。
祖氏父子的数学贡献,祖冲之(429500),字文远,祖籍范阳遒县(今河北涞水县)。
他生活在南北朝,家学渊博,加上他自幼刻苦勤奋,对天文、数学有浓厚的兴趣,而成为一位博学多才的天文学家与数学家、机械制造专家、文学家。
宋孝武帝时把他安排在政府的学术机构华林学省,从事学术研究工作。
祖氏父子的数学贡献,后来被调到南徐州做从事史,不久又被调回建康任公府参军。
还出任过娄县令,到齐灭刘宋以后他又到齐政府中担任谒者仆射,晚年提升为南朝首都建康的长水校尉。
祖冲之的一生虽然担任过各种大小官职,行政事务十分繁忙。
可是他热爱科学,几十年中仍利用一切空余时间孜孜不倦地从事天文历法和数学的研究。
祖氏父子的数学贡献,他编制的大明历,首次考虑到岁差的计算,其日、月运行周期的数据也比当时颁行的历法精确。
此外,他还改造了指南车,制造了水碓磨、千里船等。
他的儿子祖暅,字景烁,也精通历法、数学。
父子俩都对九章算术与刘徽注有浓厚的兴趣,他们的著作缀术在唐代被李淳风收入“算经十书”作为数学教科书。
祖氏父子的数学贡献,祖冲之继承了刘徽的思想,其最突出的成就是对圆周率值的推算。
隋书律历志记载着他对圆周率的研究成果3.1415926。
由于中国古代习惯使用分数,故祖冲之又给出了圆周率的两个分数值:
密率为355/113;约率为22/7。
其中密率在欧洲由德国数学家奥托于1573年得到,这比祖冲之要晚1100年之久。
祖氏父子的数学贡献,至于祖冲之是如何得到圆周率的,由于他的著作已经失传,已无从了解了。
但大多数人认为,他可能使用的就是刘徽的割圆术。
刘徽:
192边形。
祖冲之:
24576边形。
祖氏父子的数学贡献,祖氏父子在研究九章算术及刘徽注时发现了刘徽遗留下的如何计算“牟合方盖”的体积问题,并开始沿着刘徽开辟的道路继续探索,经父子两代人不懈的努力,终于由祖暅解决了牟合方盖体积的计算,得到牟合方盖与其外切正方体的体积比为2/3。
祖氏父子的数学贡献,祖氏父子所用的方法论证严谨,推导完善,无懈可击;同时,祖暅还将起推导过程中所用、事实上也是刘徽已经使用过的不可分量原理,总结提炼成一般的命题:
“缘幂势既同,则积不容异”。
它被称为“祖暅原理”,这实际上也就是西方数学界所谓的“卡瓦列利原理”。
这一原理在西方直到17世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现,比祖暅晚了1100多年。
祖氏父子的数学贡献,祖氏父子的数学贡献,祖氏父子的数学贡献,祖氏父子的数学贡献,祖氏父子的数学贡献,算经十书,魏晋时期是中国古代学术研究继承春秋战国以后又一个繁荣时期。
刘徽注九章算术、赵爽注周髀及祖氏父子的工作,使中国古代数学在理论研究方面达到了一个新的高度。
这一时期的数学著作较多,流传至今的就有孙子算经、张邱建算经、五曹算经、五经算术、数术记遗和夏侯阳算经等,这些著作大多反映了当时社会各方面的需要,在内容上基本是九章算术的沿袭与补充,在编写风格上也大多模仿九章算术,这些著作的出现,标志着数学研究的深入和数学教育的普及。
算经十书,隋唐时期是中国封建社会发展的鼎盛阶段,社会稳定,农业生产发展迅速,使得与生产密切相关的历法、数学又有了长足的进步。
从隋代开始,中国有了专门的数学教育机构,在其最高学府国子监中,设立算学科,专门从事数学教学。
唐朝建立以后,在隋的基础上,继续在国子监中设立数学教育机构,他们把数学教育与明经、明法、明书等并列为六科,称作明算科,设有算学博士与算学助教各二人,并招收算学生80人。
算经十书,为了教学的需要,由数学家李淳风等人共同审定并注释了十部算经作为数学教材,这十部著作是周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、张邱建算经、五曹算经、五经算术、夏侯阳算经、缀术和辑古算经,这就是历史上著名的“算经十书”,其记载了汉唐的数学成就,并成为后人数学教学与研究的重要源泉。
算经十书,孙子算经出现在45世纪,其具体的成书年代与作者姓名已不可考,这是继九章算术之后又一部重要的数学著作。
孙子算经分上、中、下三卷,卷上叙述度量衡制度、筹算记数和筹算乘除运算方法;卷中举例说明筹算分数算法和开平方算法,以及简单的面积、体积计算;卷下是各种应用问题,涉及田域、仓窖、营建、赋役、军旅等。
从其内容特色来看,它以实际应用为主,注重计算技术,题目通俗有趣,解法巧妙简便,在中国古代数学著作中是很有代表性的。
算经十书,孙子算经还记载了举世闻名的“孙子问题”,这就是卷下第26题,也即全书的最后一题。
“今有物不知数。
三三数之剩二;五五数之剩三;七七数之剩二,问物几何?
”虽然孙子算经记载的“孙子问题”似乎是一个数字游戏,但古代产生这一问题的背景却是非常深刻的,这主要是天文历法的需要。
算经十书,例如在制定魏景初历(公元237年)时就明确规定,把冬至、月朔和甲子日零时重合的时刻取作历法起算的原点,古代历法中称之为“上元”。
如果制定立法那一年冬至发生在甲子日零时后r1日,在月朔后r2日,那么,这一年冬至距上元的年数x就是同余式组axr1(mod360)r2(modb)的解。
这里a是一回归年的日数,b是一朔望月的日数。
算经十书,据研究,早在公元前2世纪时,我国就已研究过需要一次同余式才能解决的天文问题。
这类问题在中国古代数学中是经常碰到的,不过由于问题的提法不同而赋予不同的名称,如“鬼谷算”、“秦王暗点兵”、“剪管术”、“隔墙算”等等。
算经十书,把上述问题用同余式组表示出来就是x2(mod3)3(mod5)2(mod7),求x。
孙子算经的解答原文隐晦难懂,但它揭示了关键是要找出70,21,15这三个常数,为什么呢?
因为70不仅是57的倍数(2倍),而且被3除余1;21不仅是37的倍数(1倍),而且被5除余1;15不仅是35的倍数(1倍),而且被7除也余1,即70=2571(mod3)0(mod5)0(mod7),
(1)21=370(mod3)1(mod5)0(mod7),
(2)15=350(mod3)0(mod5)1(mod7)。
(3),算经十书,由题设,用3,5,7分别除以x所得的余数为2,3,2,故用2,3,2分别去乘
(1),
(2),(3)式,再相加即得2332(mod3)3(mod5)2(mod7)。
这表示233是满足条件的x的一个解。
为了求满足条件的最小解,可用357=105的倍数去减233,得到的差23便是所求的解。
算经十书,后来有人将这一问题的解法写成一首诗歌,这就是明代数学家程大位的算法统宗卷五所载的“孙子歌”:
三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知。
算经十书,张邱建算经三卷,为5世纪时期北魏人张邱建所撰,其主要数学成就有:
最大公约数与最小公倍数的应用、等差数列、开带从平方和不定方程。
算经十书,“百鸡问题”“今有鸡翁一,直钱五;鸡母一,直钱三;鸡雏三,直钱一。
凡百钱买鸡百只。
问鸡翁、母、雏各几何?
”此题相当于给出不定方程组:
这里的x,y,z分别为鸡翁、鸡母、鸡雏的只数。
算经十书,张邱建给出了三组解这恰好是所有可能的三组正整数解。
至于如何得到这三组解,张邱建算经的“术”文是“鸡翁每增四,鸡母每减七,鸡雏每益三,即得。
”这实际上指出了这个不定方程的通解公式为,算经十书,五曹算经为北周甄鸾所撰,共5卷。
分别介绍田曹、兵曹、集曹、仓曹和金曹五个行政职能部门的数学应用问题,是一本为地方行政官员编写的实用算术手册。
五经算术亦为北周甄鸾所撰,共2卷。
该书对尚书、诗经、周易、礼记和论语等儒家经典及其古代经师的注解中涉及的数学知识进行解释,但数学内容并不深。
算经十书,现传本夏侯阳算经已不是唐代立于学官的原著,是北宋时期重刻算经十书时顶替早已亡佚的原著而选用的唐代中叶的一本实用算术书,其作者可能是韩延。
该书共3卷,较为重要的是有许多关于捷算方法的记载。
辑古算经为唐代数学家王孝通所撰。
全书共20题,最重要的是堤岸的体积计算公式和对高次方程的研究,弥补了九章算术和缀术等书的不足。
辑古算经是世界上最早讨论三次方程组代数解法的著作。
高次方程的数值解法,在宋、元时期得到了高度的发展。
算经十书,尽管隋唐时期对数学教育十分重视,但就数学成就而言,这一时期并不十分突出。
不过也还是出现了一些数学成就。
如在天文历法的研究中,隋代卓越的天文学家刘焯(544610)在周髀算经中一次内插法的启发中,首先在天文历法研究中应用了等间距二次内插法公式。
算经十书,接着,唐代的僧一行(俗名张遂,687727)推广建立了不等间距的二次内插法公式,即数学史上有名的“张遂内插法公式”。
同时,僧一行还组织了世界上第一次对地球子午线的实际测量这些都是中国数学史上光辉的一页。
天台国清寺,本节重点P80阳马术P86球体积P89孙子问题,
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