平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解.pdf
- 文档编号:18809563
- 上传时间:2023-11-26
- 格式:PDF
- 页数:153
- 大小:5.39MB
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解.pdf
《平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解.pdf(153页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
目录第1讲偏好、效用与消费者的基本问题.5第2讲间接效用函数与支出函数.11第3讲价格变化对消费者的配置效应与福利效应.19第4讲VNM效用函数与风险升水.28第5讲风险规避、风险投资与跨期决策.35第6讲生产函数与规模报酬.47第7讲要素需求函数、成本函数、利润函数与供给函数.58第8讲完全竞争与垄断.72第9讲古诺(Cournot)均衡、Bertrand与不完全竞争.87第10讲策略性博弈与纳什均衡.98第11讲广延型博弈与反向归纳策略.107第12讲子博弈与完美性.115第13讲委托代理理论初步.119第14讲信息不对称、逆向选择与信号博弈.126第15讲工资、寻找工作与劳动市场中的匹配.133第16讲一般均衡与福利经济学的两个基本定理.140第17讲外在性、科斯定理与公共品理论.147第18讲企业的性质、边界与产权.153?
第1讲偏好、效用与消费者的基本问题1根据下面的描述,画出消费者的无差异曲线。
对于
(2)和(3)题,写出效用函数。
(1)王力喜欢喝汽水x,但是厌恶吃冰棍y。
(2)李楠既喜欢喝汽水x,又喜欢吃冰棍y,但她认为三杯汽水和两根冰棍是无差异的。
(3)萧峰有个习惯,他每喝一杯汽水x就要吃两根冰棍y,当然汽水和冰棍对他而言是多多益善。
(4)杨琳对于有无汽水x喝毫不在意,但她喜欢吃冰棍y。
答:
(1)根据题意,对王力而言,冰棒是厌恶品,相应的无差异曲线如图1-1所示(图中箭头表示更高的效用方向)。
图1-1喜欢喝汽水厌恶吃冰棍
(2)根据题意,对李楠而言,汽水和冰棒是完全替代品,其效用函数为,23uxyxy,相应的无差异曲线如图1-2所示。
图1-2既喜欢喝汽水又喜欢吃冰棍(3)消费者对这两种商品的效用函数为,min,2yuxyx,如图1-3所示。
图1-3喝一杯汽水就要吃两根冰棍(4)如图1-4所示,其中x为中性品。
图1-4对于有无汽水喝毫不在意?
2作图:
如果一个人的效用函数为1212,max,uxxxx
(1)请画出三条无差异曲线。
(2)如果11p,22p,10y。
请在图1-5上找出该消费者的最优消费组合。
答:
(1)由效用函数画出的三条无差异曲线如图1-5所示。
图1-5无差异曲线和最优点
(2)效用函数确定了消费者的最优选择必定是落在便宜的商品上,即他会将所有收入都用于购买相对便宜的商品,最优点如图1-5中的A点所示,在该点此人消费10个单位的1x,0个单位的2x。
3下列说法对吗?
为什么?
若某个消费者的偏好可以由效用函数22121122,10250uxxxxxx来描述,那么对此消费者而言,商品1和商品2是完全替代的。
答:
此说法正确。
由题意知:
1122020MUxx,2122020MUxx,则商品1对于商品2的边际替代率为:
11212212202012020MUxxMRSMUxx由于121MRS,是一个常数,所以商品1与商品2是以11的比率完全替代的。
4设121211,lnln22uxxxx,这里12xxR,。
(1)证明:
1x与2x的边际效用都递减。
(2)请给出一个效用函数形式,但该形式不具备边际效用递减的性质。
答:
(1)将u关于1x和2x分别求二阶偏导数得22211102uxx,22222102uxx,所以1x与2x的边际效用都递减。
(2)如效用函数221212,uxxxx,它关于1x与2x的二阶偏导数恒大于零,所以1x与2x的边际效用都是递增的。
只要效用函数的二阶导数不为负,就可以保证边际效用不是递减的。
5常替代弹性效用函数1121122,uxxxx,请证明:
(1)当1,该效用函数为线性。
(2)当0时,该效用函数趋近于1212121uxxx。
(3)当时,该效用函数趋近于12min,uxxx。
证明:
(1)当1时,121122,uxxxx,此时效用函数是线性的。
?
(2)当0时,此时对效用函数1121122,uxxxx两边变换求极限有:
12112212120001112221122121201122lnlim,limexpln,limexplnlnexplimexplnln1xxuxxuxxxxxxxxxxxx(3)当时,对效用函数1121122,uxxxx两边变换求极限有:
121211221112221122lim,limexpln,lnlnlnlimexpexplimuxxuxxxxxxxxxx最后一个等号用到洛必达法则,下面分情况讨论:
当12xx时:
11122212221122lnlnlim,explimexplnxxxxuxxxxxx上式中倒数第二个等号成立是因为当121xx时,12limxx。
当12xx时:
22111112112211lnlnlim,explimexplnxxxxuxxxxxx当12xx时,有1212min,uxxxxx。
综上可知:
1212lim,min,uxxxx6茜茜总喜欢在每一杯咖啡里加两汤匙糖。
如果每汤匙糖的价格是1p,每杯咖啡的价格是2p,消费者花费M元在咖啡和糖上,那么,她将打算购买多少咖啡和糖?
如果价格变为1p和2p,对她关于咖啡和糖的消费会发生什么影响?
答:
(1)由于茜茜总喜欢在每一杯咖啡里加两汤匙糖,所以咖啡和糖对茜茜而言是完全互补品,如果用c和s分别表示她消费的咖啡的数量(以杯为单位)和糖的数量(以汤匙为单位),那么她的效用函数就可以表示为:
1,min,2ucscs从而她的效用最大化问题可以表示为:
1maxmin,2cscs12stpspcM对于最优选择,必有12cs。
这是因为如果12cs,那么在保持预算约束不变的条件下,增加一些糖的消费,再减少一些咖啡的消费,就可以提高茜茜的效用,如图1-6的A点所示。
所以对于最优选择,12cs一定不成立;?
对于12cs也有类似的理由。
图1-6互补偏好的最优选择再结合预算约束,就可以得到消费者对咖啡和糖的最优消费量分别为:
122Mcpp1222Mspp
(2)当价格变为1p和2p时,茜茜对咖啡和糖的消费变为:
122Mcpp1222Mspp所以,咖啡和糖两者之中任何一个价格上涨都会引起茜茜对它们的需求同时下降。
7令表示偏好关系,表示严格偏好关系,表示无差异关系,证明下列关系:
(1)
(2)(3)=(4)=证明:
(1)的含义是:
弱偏好本身是弱偏好的一个子集。
根据子集的定义,任何非空集合都是自己的一个子集。
由于偏好关系是定义在选择集的二次幂集上的完备的序关系,又由选择集的非空性质得到选择集二次幂集的非空性,得到偏好关系的非空性质。
(2)的含义是:
如果A和B之间无差异,那么A至少和B一样好,从而本结论成立。
(3)=的含义是:
如果消费者对A的偏好超过了对B的偏好这一关系和消费者对A和B的偏好是无差异的这一关系中有一个成立,那么消费者对A的偏好至少和B一样好这一关系一定成立,反之亦然。
根据关系的定义可知这个结论是成立的。
(4)=的含义是:
消费者对A的偏好超过了对B的偏好这一关系和消费者对A和B的偏好是无差异的这一关系不能同时成立。
理由如下:
如果AB和AB同时成立,那么就有ABA,从而得到AA,矛盾。
8证明下列结论(或用具说服力的说理证明):
(1)“”与“”都不具有“完备性”。
(2)“”满足反省性。
(3)严格偏好关系不满足反省性。
(4)对于任何X中的1x与2x,在下列关系中只能居其一:
12xx,或12xx,或12xx。
证明:
(1)“”与“”都不具有完备性。
理由如下:
如果一种偏好关系具有完备性,那么对消费集中任意两个消费束之间都可以建立这种关系。
“”表示严格偏好关系,但是对任意的两个消费束A和B,消费者对它们可能是无差异的,这时A和B之间就不能建立严格偏好的关系。
“”表示无差异关系,但是对任意的两个消费束A和B,消费者可能严格偏好于A,这时A和B之间就不能建立无差异的关系。
?
(2)“”满足反省性。
理由如下:
反省性是说,如果消费束A和消费束B之间满足某种二元关系,那么B和A之间也满足这种关系。
如果A和B之间是无差异的,那么显然,B和A之间也是无差异的,所以“”满足反省性。
(3)严格偏好关系不满足反省性,理由如下:
如果消费者对A的偏好超过了对B的偏好,即AB,那么根据反省性,消费者对B的偏好也超过了对A的偏好,即BA。
从而就有AA,即消费者对A的偏好超过了他对A的偏好,这样就出现了矛盾。
所以严格偏好关系不满足反省性。
(4)对于X中的任何1x与2x,下列关系中只有一个能成立:
12xx,或12xx,或12xx。
理由如下:
利用反证法,假设如果这三种关系中至少有两个同时成立,那么共有以下四种情况:
12xx且12xx,由此可以得到121xxx,即11xx,矛盾!
12xx且12xx,由此可以得到121xxx,即11xx,矛盾!
12xx且12xx,由此可以得到121xxx,即11xx,矛盾!
12xx,12xx且12xx,由此可以得到121xxx,即11xx,矛盾!
综上可知这三种关系中只有一个能成立。
9一个只消费两类物品的消费者面临正的价格,其拥有正的收入,他的效用函数为:
121,uxxx导出其马歇尔需求函数。
答:
消费者的效用最大化问题为:
12112,1122,maxxxxxsuxtpxpxy由约束条件可知2211ypxxp,从而当2211ypxxp,20x时,消费者效用达到最大,因此该消费者的马歇尔需求函数为:
11yxp20x10一个人的效用函数为11122,Axuxxx,这里1,0A。
假定存在内点解,请推导其马歇尔需求函数。
解:
该消费者的效用最大化问题为:
12112,1122maxxxxxstpxpxyA该问题的拉格朗日函数为:
112112122,AxxyppLxxxx使L最大化的1x、2x、满足一阶条件:
111211122211220100LAxxpxLAxxpxLypxpx?
由上述三式解得:
11yxp,221yxp。
上述两式即为1x和2x的马歇尔需求函数。
11在下列效用函数形式里,哪些是效用函数的单调变换?
(1)213uv。
(2)21uv。
(3)21uv。
(4)lnuv。
(5)vue。
(6)2uv。
(7)2uv,对于0v(8)2uv,对于0v。
答:
当12uu意味着12fufu,则称fu为原效用函数ux的单调变换。
本质上说,单调变换与一个单调函数是一回事。
一个效用函数是原效用函数的单调变换,则该效用函数严格的单调递增。
(1)213uv是单调变换,因为20uv。
(2)在0v时是单调变换,0v时不是单调变换。
理由如下:
因为32uvv,所以当0v时,0uv;当0v时,0uv。
从而只有当0v时,21uv才是单调变换。
(3)在0v时不是单调变换,0v时,是单调变换。
32uvv,当0v时,0uv;当0v时,0uv,故效用函数形式21uv在0v时,是单调变换。
(4)在0v时是单调变换,0v时不是单调变换。
由1uvv,所以当0v时,0uv;当0v时,0uv。
从而只有当0v时,lnuv才是单调变换。
(5)是单调变换。
由vuev,对于任意的v的取值都有0vuev,故vue是单调变换。
(6)在0v时是单调变换,0v时,不是单调变换。
因为2uvv,当0v时,0uv;当0v时,0uv。
所以,在0v时,2uv是单调变换。
(7)是单调变换。
因为2uvv,对于0v,有0uv,因而该效用函数形式为单调变换。
(8)不是单调变换。
因为2uvv,对于0v,有0uv,因而该效用函数形式不是单调变换。
?
第2讲间接效用函数与支出函数1设一个消费者的直接效用函数为12lnuqq。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证:
这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。
解:
(1)当20yp时,消费者的效用最大化问题为:
12122,112mlnaxqqstqppyqqq构造拉格朗日函数:
121122lnLqqqyppqL对1q、2q和分别求偏导得:
1110Lpqq2210Lpq11220qLyppq从式和式中消去后得:
211pqp再把式代入式中得:
222yppq从而解得马歇尔需求函数为:
211pqp222yppq由式可知:
当20yp时,20q,消费者同时消费商品1和商品2。
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数:
2112122,lnpvppypqqyup当20yp时,消费者只消费商品1,为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为:
11qyp20q将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数:
12121,lnvppyuqpyq
(2)当20yp时,此时的间接效用函数为:
2112122,lnpvppypqqyup将间接效用函数分别对1p、2p和y求偏导得:
11vpp2222vyppp21vyp由罗尔恒等式,得到:
1112121vpppvypqp222222221ypvppypyqvpp?
当20yp时,间接效用函数为12121,lnvppyuqpyq,将间接效用函数分别对1p、2p和y求偏导得:
11vpp20vpvyy由罗尔恒等式,得到:
1111vppyvypyq2200vpvyyq(3)比较可知,通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
2某个消费者的效用函数是12212,uxxxx,商品1和2的价格分别是1p和2p,此消费者的收入为m,求马歇尔需求函数和支出函数。
解:
(1)消费者的效用最大化问题为:
12212maxxxxx,1221.sxmppxt构造该问题的拉格朗日函数:
2121122xmppLxxx拉格朗日函数对1x、2x和分别求偏导得:
121120Lxxpx21220Lxpx11220Lmpxpx从式和式中消去后得:
11222pxxp把式代入式中得:
11212,3mxppmp把式代入式中得:
2122,3mxppmp式和式就是商品1和2的马歇尔需求函数。
将马歇尔需求函数代入直接效用函数中,可得间接效用函数:
2322211244,3927xymmmVppmpppp由于支出函数与间接效用函数互为反函数,得支出函数为:
12321231212273,242ppueppuppu3试根据间接效用函数1212,mvppmpp求出相应的马歇尔需求函数,这里m表示收入。
?
解:
由间接效用函数可得:
2112vmppp,2212vmppp,121vmpp。
根据罗尔恒等式可知商品1和商品2的马歇尔需求函数分别为(其中1i或2):
2121112121mppvpmxvypppp2122212121mppvpmxvypppp4考虑一退休老人,他有一份固定收入,想在北京、上海与广州三城市中选择居住地。
假定他的选择决策只依赖于其效用函数12uxx,这里212,xxR。
已知北京的物价为12,aapp,上海的物价为12,bbpp,并且1212aabbpppp,但11abpp,22abpp。
又知广州的物价为12112211,22ccababpppppp,。
若该退休老人是理智的,他会选择哪个城市去生活?
解:
老人的效用最大化问题为:
12121122max.xxxxstpxpxm,构造该问题的拉格朗日函数:
12121212,Lxxxxmxppx拉格朗日函数对1x、2x和分别求偏导得:
2110Lxpx1220Lxpx11220Lmpxpx由三式求解,可得:
1121,2mxppmp,2122,2mxppmp。
将上述两式代入目标式中就得到了老人的间接效用函数:
21212,4mvppmpp于是他在北京、上海、广州三地的效用分别为:
2114aaamvpp2114bbbmvpp2114cccmvpp因为1212aabbpppp,所以abvv。
又因为1122121122121222ababccababaabbpppppppppppppp,由于已知1122ababpppp,所以该不等式的等号并不成立,则有cabvvv。
综合上述分析可知:
若该退休老人是理性的,则他会选择在北京或上海生活,但不会选择去广州生活。
5
(1)设12uxx,这里212,xxR,求与该效用函数相对应的支出函数12,eppu。
?
(2)又设12lnlnuxx,这里,212,xxR,求与该效用函数相对应的支出函数12,eppu。
(3)证明:
1212,eppueppu,其中lnuu。
答:
(1)消费者的支出最小化问题为:
12112212maxxxpxpxstxxu,构造该问题的拉格朗日函数:
12112212Lxxpxpxuxx,拉格朗日函数对1x、2x和分别求偏导得:
1210Lpxx2120Lpxx120Luxx由上述三式解得:
12211upxp,12122upxp。
把两式代入目标函数式中,就得到了消费者的支出函数:
1212121212,22eppuppuppu
(2)消费者的支出最小化问题为:
12112212min.lnlnxxpxpxstxxu,构造该问题的拉格朗日函数:
12112212,lnlnLxxpxpxuxx拉格朗日函数对1x、2x和分别求偏导得:
1110Lpxx2220Lpxx12lnln0Luxx由三式可解得:
122211upxep,122122upxep。
把上述两式代入目标函数式中,就得到了消费者的支出函数:
122121212,22uueppuppeppe(3)证明:
12ln12121212ln222lnlnuuuxxuuppeppeppuuxx根据
(1)与
(2)的结果,可得1212,eppueppu。
?
6设某消费者的间接效用函数为12112,mvppmpp,这里1。
什么是该消费者对物品1的希克斯需求函数?
答:
根据间接效用函数与支出函数是反函数的关系,由于消费者的间接效用函数为12112,mvppmpp,从中反解出m关于1p、2p和v的表达式,并用u替换v,就得到了消费者的支出函数:
112,epuupp根据谢泼特引理,可知物品1的希克斯需求函数为:
111221111,uppepuphpuuppp7考虑含n种商品的Cobb-Douglass效用函数1iniiuxAx,这里0A,11nii。
(1)求每种商品的马歇尔需求函数。
(2)求消费者的间接效用函数。
(3)计算消费者的支出函数。
(4)计算每种商品的希克斯需求函数。
解:
(1)消费者的效用最大化问题为:
1211maxinnixxxiniiiuxAxstpxy,构造该问题的拉格朗日函数:
11inniiiiiLAxypx拉格朗日函数对ix1,2,in和分别求偏导数得:
101,2,jiiijijiiLAxxpinx10niiiLypx从前n个等式可知,对任意的i和j,都有如下关系成立:
ijijijxpijxp从而得到,对任意的ji都有:
jiijijpxxp把这1n个等式代入式中,就有:
0jiiiijiipxypx即:
1iiijiiiijiiipppxpxy从而解得商品的马歇尔需求函数为:
?
1,2,iiiyxinp
(2)把每个商品的马歇尔需求函数代入效用函数中,就得到了消费者的间接效用函数:
11,iinniiiiiiyvpyuxpyAAypp(3)从间接效用函数中反解出y关于1p、2p和v的表达式,并用u替换v,就得到了消费者的支出函数:
1,iniiipuepuA(4)把支出函数两边取对数,得:
1lnlnlnlnlnniiiieuApa上式关于ip求导得:
1iiieepp再根据谢泼特引理,iiepuxhpup得到消费者对物品的希克斯需求函数为:
11,1,2,3,jijjhijijjjjippexepuuAjnpp8以柯布一道格拉斯效用函数为例说明求解效用最大化问题和求解支出最小化问题可以得到同一需求函数。
答:
(1)如果消费者的效用函数为柯布道格拉斯效用函数,那么他的效用最大化问题可以描述为:
121121122max.xxAxxstpxpxm,构造该问题的拉格朗日函数:
112121122,xxAxxmpxpx拉格朗日函数对1x、2x和分别求偏导得:
1112110Axxpx122210Axxpx11220mpxpx从式和式中消去后得:
11221pxxp把式代入式中解得:
11mxp把式代入式中解得:
221mxp、两式就是与柯布道格拉斯效用函数相对应的马歇尔需求函数,把它们代入目标函数式中,就得到了?
间接效用函数:
1121,vpmAmpp
(2)消费者的支出最小化问题为:
121122112minxxpxpxstuxAxx,构造该问题的拉格朗日函数:
112112212,xxpxpxuAxx拉格朗日函数对1x、2x和分别求偏导得:
1111210pAxxx212210pAxxx1120uAxx从式和式中消去后得:
11221pxxp把式代入式中解得商品1的希克斯需求函数为:
1211,1puhpuAp把式代入式中解得商品2的希克斯需求函数为:
1221,puhpuAp把,两式代入目标函数式中,就得到了消费者的支出函数:
11211,1uepuppA(3)下面来验证问题的结论:
对柯布道格拉斯效用函数而言,求解效用最大化问题和求解支出最小化问题可以得到同一需求函数。
把间接效用函数的表达式代入商品1和2的希克斯需求函数中,就得到了它们的马歇尔需求函数:
1112112111,1pAamxpmmApppp1121222111,mpAxpmmApppp把支出函数的表达式代入商品1和2的马歇尔需求函数中,就得到了它们的希克斯需求函数:
1121121111,=11puuhpupppAAp11212221111,=1puuhpupppAAp由此可知,对柯布道格拉斯效用函数而言,求解效用最大化问题和求解支出最小化问题可以得到同一需求函数。
?
9下列说法对吗?
为什么?
函数12,hxxxpupu可以作为某个消费者对某种商品的希克斯需求函数。
答:
函数12,hxxxpupu不能作为某个消费者对某种商品的希克斯需求函数。
理由如下:
希克斯需求函数(用,ihpu表示,其中下标表示第i种商品)是指在消费者的效用保持不变的情况下,商品的价格和消费者对该商品的需求量之间的关系。
特别地,希克斯需求函数具有以下性质:
(1),ihpu关于价格p是零次齐次的,即:
对任意的0t,,iihpuhtptu;
(2),ihpu关于第i种商品的价格ip单调递减,即:
0iihpup;(3)对任意的i和j两种商品,,jijihpuhpupp总是成立。
对任意的0t,1212,hhxxxxxpuputptuxtptu,,102hxxxxpuppu。
故对于函数12,hxxxpupu而言,由于不满足上述三条性质中的前两条,所以它不是希克斯需求函数。
10下列函数能成为一个马歇尔需求函数吗?
为什么?
222,xxyxypIxppIpp这里,x与y为两种商品,I为收入。
答:
马歇尔需求函数是指在消费者的收入保持不变和消费者追求效用最大化的条件下,商品的价格和消费者对该商品的需求量之间的关系。
马歇尔需求函数具有以下性质
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 微观经济学十八讲 平新乔 微观经济学 十八 课后 习题 详解