概率论与数理统计(文科)吴传生7.1节.ppt
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第七章,参数估计,7-1,第七章,参数估计问题,假设检验问题,点估计,区间估计,7-2,什么是参数估计?
参数是刻画总体某方面概率特性的数量.,当此数量未知时,从总体抽出一个样本,用某种方法对这个未知参数进行估计就是参数估计.,例如,XN(,2),若,2未知,通过构造样本的函数,给出它们的估计值或取值范围就是参数估计的内容.,参数估计的类型,点估计估计未知参数的值,区间估计估计未知参数的取值范围,并使此范围包含未知参数真值的概率为给定的值.,7.1点估计方法,点估计的思想方法,设总体X的分布函数的形式已知,但含有一个或多个未知参数:
1,2,k,设X1,X2,Xn为总体的一个样本,构造k个统计量:
随机变量,7-5,7.1,当测得样本值(x1,x2,xn)时,代入上述统计量,即可得到k个数:
数值,如何构造统计量?
如何评价估计量的好坏?
7-6,三种常用的点估计方法,频率替换法,利用事件A在n次试验中发生的频率,作为事件A发生的概率p的估计量,7-7,法一,解由,查表得,于是的估计值为,7-8,例1,方法,用样本k阶矩作为总体k阶矩的估计量,建立含有待估参数的方程,从而解出待估参数,7-9,一般,不论总体服从什么分布,总体期望与方差2存在,则它们的矩估计量分别为,矩法,法二,7-10,事实上,按矩法原理,令,7-11,设待估计的参数为,设总体的r阶矩存在,记为,样本X1,X2,Xn的r阶矩为,令,含未知参数1,2,k的方程组,7-12,解方程组,得k个统计量:
未知参数1,k的矩估计量,代入一组样本值得k个数:
未知参数1,k的矩估计值,例2设总体XN(,2),X1,X2,Xn为总体的样本,求,2的矩法估计量.,解,例3设总体XE(),X1,X2,Xn为总体的样本,求的矩法估计量.,解,令,7-13,故,例23,例4设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机抽取10只灯泡,测得其寿命为(单位:
小时)1050,1100,1080,1120,12001250,1040,1130,1300,1200试用矩法估计该厂这天生产的灯泡的平均寿命及寿命分布的方差.,解,7-14,例4,例5设总体XU(a,b),a,b未知,求参数a,b的矩法估计量.,解,由于,令,7-15,例5,解得,7-16,极大似然估计法,思想方法:
一次试验就出现的事件有较大的概率,例如:
有两外形相同的箱子,各装100个球一箱99个白球1个红球一箱1个白球99个红球,现从两箱中任取一箱,并从箱中任取一球,结果所取得的球是白球.,答:
第一箱.,7-17,问:
所取的球来自哪一箱?
法三,例6设总体X服从0-1分布,且P(X=1)=p,用极大似然法求p的估计值.,解,总体X的概率分布为,设x1,x2,xn为总体样本X1,X2,Xn的样本值,则,7-18,例6,对于不同的p,L(p)不同,见右下图,现经过一次试验,,7-19,在容许范围内选择p,使L(p)最大,注意到,lnL(p)是L的单调增函数,故若某个p使lnL(p)最大,则这个p必使L(p)最大。
7-20,一般,设X为离散型随机变量,其分布律为,则样本X1,X2,Xn的概率分布为,7-21,或,称L()为样本的似然函数,称这样得到的,为参数的极大似然估计值,称统计量,为参数的极大似然估计量,7-22,极大似然法的思想,若X连续,取f(xi,)为Xi的密度函数,似然函数为,7-23,注1,注2,未知参数可以不止一个,如1,k,设X的密度(或分布)为,则定义似然函数为,为似然方程组,若对于某组给定的样本值x1,x2,xn,参数使似然函数取得最大值,即,7-24,显然,,称统计量,为1,2,k的极大似然估计量,7-25,例7设总体XN(,2),x1,x2,xn是X的样本值,求,2的极大似然估计.,解,7-26,例7,2的极大似然估计量分别为,7-27,极大似然估计方法,1)写出似然函数L,7-28,可得未知参数的极大似然估计值,然后,再求得极大似然估计量.,7-29,L是的可微函数,解似然方程组,若,L不是的可微函数,需用其它方法求极大似然估计值.请看下例:
若,例8设XU(a,b),x1,x2,xn是X的一个样本值,求a,b的极大似然估计值与极大似然估计量.,似然函数为,7-30,例8,似然函数只有当axib,i=1,2,n时才能获得最大值,且a越大,b越小,L越大.,令,xmin=minx1,x2,xnxmax=maxx1,x2,xn,取,7-31,都有,故,是a,b的极大似然估计值.,分别是a,b的极大似然估计量.,7-32,问题,1)待估参数的极大似然估计是否一定存在?
2)若存在,是否惟一?
设XU(a,a+),x1,x2,xn是X的一个样本,求a的极大似然估计值.,解,由上例可知,当,时,L取最大值1,即,显然,a的极大似然估计值可能不存在,也可能不惟一.,7-33,例9,例9,不仅如此,任何一个统计量,若满足,都可以作为a的估计量.,7-34,作业P.152习题7-1,35,7-39,习题,
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- 概率论 数理统计 文科 吴传生 7.1