几个常用函数的导数.ppt
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121几个常用函数的导数,学习目标:
1.能够用导数的定义求几个常用函数的导数;,2.利用公式解决简单的问题。
问题导学,
(2)求函数的导数的步骤:
1.复习,
(1)导数的几何意义是:
,,物理意义是:
_.,求函数的改变量,求平均变化率,取极限,得导数:
问题导学,2.几个常用函数的求导公式推导,
(1)函数y=f(x)=c的导数,若y=c表示路程关于时间的函数,则可以表示为_即_.,某物体的瞬时速度始终为0,一直处于静止状态,根据导数定义,因为,所以,表示函数的图象,上每一点处的切线的斜率都为0.,
(2)函数y=f(x)=x的导数.,问题导学,因为,所以,表示函数的图象上每一点处的切线的斜率都为1.,若y=x表示路程关于时间的函数,则可以表示为_.,某物体做瞬时速度为1的匀速运动,问题导学,探究:
在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图像,并根据导数定义,求它们的导数.,
(1)从图像上看,它们的导数分别表示什么?
(2)这三个图像中,哪一个增加得最快?
哪一个增加得最慢?
(3)函数y=kx(k0)增(减)的快慢与什么有关?
y2x,y3x,y4x,一般结论:
函数y=f(x)=kx+b(k,b为常数)的导数为,问题导学,探究:
在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图像,并根据导数定义,求它们的导数.,(3)函数y=kx(k0)增(减)的快慢与什么有关?
ykx的图象是过原点的一条直线,ykx,k0时,k越大,f(x)增加得越快;k0时,k越大,f(x)减少得越慢.,口答:
1)=_;2)=_;,3)=_;4);,5)=_;6),问题导学,所以,因为,=2x表示函数y=图像上点(x,y)处切线的斜率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化。
问题导学,另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,=2x表明:
减少,增加,慢,快,某物体作变速运动,它在时刻x的瞬时速度为2x.,问题导学,(4)函数的导数.,所以,因为,问题导学,(5)函数的导数.,所以,因为,小结:
利用定义求导法是最基本的方法,必须熟记求导的三个步骤:
作差,求商,取极限.,问题导学,一般结论:
若,则,若,则,若,则,若,则,若,则,若,则,口答:
(1)=
(2)=_.,(3)=(4)=,合作探究,1.例1利用公式求下列函数导数.,2.例2
(1)已知,
(2)已知,深化提高,1.画出函数y=的图象。
根据图象,描述它的变化情况,并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.,函数y=的图象如右图所示.,结合函数图象及其导数发现,,当x0时,随着的增加,函数减少得越来越快;,当x0时,随着的增加,函数减少得越来越慢;,点(1,1)处切线的斜率就是导数,故斜率为-1,过点(1,1)切线方程为y=-x+2.,变式:
求过曲线上点且与过这点的切线垂直的直线方程.,深化提高,2.求曲线过点(2,3)的切线方程.,小结:
利用导数求切线方程时,一定要判断所给点是否为切点,它们的求法是不同的.,3.已知直线y=x-1,点P为上任意一点,求P在什么位置时到直线距离最短.,深化提高,4.证明:
过曲线上的任何一点的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数,当堂检测,1.默写几个常用函数的导数,2.给出下列命题,其中正确的命题是_(填序号),
(2)直线上任一点处的切线方程是这条直线本身;,(4)函数和函数在上函数值增长的速度一样快.,
(1)任何常数的导数都为零;,(3)双曲线上任意一点处的切线斜率都是负值;,
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- 几个 常用 函数 导数