数学归纳法证明.ppt
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数学归纳法证明.ppt
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2.3数学归纳法
(1),问题1:
如何证明粉笔盒中的粉笔它们都是白色的?
问题2:
有限步骤,考察对象无限,多米诺骨牌课件演示,多米诺骨牌游戏的原理,这个猜想的证明方法,
(1)第一块骨牌倒下。
(2)若第k块倒下时,则相邻的第k+1块也倒下。
根据
(1)和
(2),可知不论有多少块骨牌,都能全部倒下。
(1)当n=1时猜想成立。
(2)若当n=k时猜想成立,即,则当n=k+1时猜想也成立,即。
根据
(1)和
(2),可知对任意的正整数n,猜想都成立。
已知数列,根据
(1)
(2)可知对任意正整数n猜想都成立.,证明:
例:
证明凸n边形内角和为中,初始值应该从几取?
初始值应取3,例如:
用数学归纳法证明1+3+5+(2n-1)=,例如:
用数学归纳法证明1+3+5+(2n-1)=,证明:
假设n=k时等式成立,即,那么,即n=k+1时等式成立。
所以等式对一切正整数n均成立。
证明:
假设n=k时等式成立,即,例如:
用数学归纳法证明1+3+5+(2n-1)=,当n=k+1时,代入得,证明:
(1)当,左边=1,右边=12=1,等式成立,
(2)假设当n=k时成立,即:
所以等式也成立。
综合
(1)
(2)等式对一切正整数n均成立,例如:
用数学归纳法证明1+3+5+(2n-1)=,1+3+5+(2k-1)+(2k+1),=k2+(2k+1),=(k+1)2,问题情境一,练习:
某个命题当n=k(kN)时成立,可证得当n=k+1时也成立。
现在已知当n=5时该命题不成立,那么可推得()A.n=6时该命题不成立B.n=6时该命题成立C.n=4时该命题不成立D.n=4时该命题成立,C,练习巩固,1.用数学归纳法证明:
在验证n=1成立时,左边计算所得的结果是(),A1B.CD.,C,例1.用数学归纳法证明,122334n(n1),练习.用数学归纳法证明:
122334n(n1),课堂小结,1、数学归纳法能够解决哪一类问题?
一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题2、数学归纳法证明命题的步骤是什么?
两个步骤和一个结论,缺一不可3、数学归纳法证明命题的关键在哪里?
关键在第二步,即归纳假设要用到,解题目标要明确4、数学归纳法体现的核心思想是什么?
递推思想,运用“有限”的手段,来解决“无限”的问题注意类比思想的运用,用数学归纳法证明:
如果an是一个等差数列,则an=a1+(n-1)d对于一切nN*都成立。
证明:
(1)当n=1时,左边=a1,右边=a1+(1-1)d=a1,当n=1时,结论成立,
(2)假设当n=k时结论成立,即ak=a1+(k-1)d,当n=k+1时,结论也成立.,由
(1)和
(2)知,等式对于任何nN*都成立。
证:
(1)当n=2时,左边=不等式成立.,
(2)假设当n=k(k2)时不等式成立,即有:
则当n=k+1时,我们有:
即当n=k+1时,不等式也成立.,由
(1)、
(2)原不等式对一切都成立.,例2.用数学归纳法证明:
(4)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么,并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清右端应增加的项.,例如:
利用数学归纳法证明不等式由k递推到k+1左边应添加的因式是,作业,1、教材P96A组1
(1)(3)2、查阅资料皮亚诺公理(数学归纳法的理论根据),祝同学们学习进步!
谢谢大家,欢迎各位老师提出宝贵意见,
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