格林公式例题与习题.ppt
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格林公式例题与习题.ppt
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,区域D分类,单连通区域(无“洞”区域),多连通区域(有“洞”区域),规定:
域D边界L的正向:
域的内部靠左,定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,则有,(格林公式),函数,在D上具有连续一阶偏导数,或,一、格林公式,推论:
正向闭曲线L所围区域D的面积,格林公式,例如,椭圆,所围面积,定理1,例1.,设L是一条分段光滑的闭曲线,证明,证:
令,则,利用格林公式,得,例2.计算,其中D是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.,解:
令,则,利用格林公式,有,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理2.设D是单连通域,在D内,具有一阶连续偏导数,
(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有,
(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分,(3),(4)在D内每一点都有,与路径无关,只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:
在D内是某一函数,的全微分,即,说明:
根据定理2,若在某区域D内,则,注:
求曲线积分时,若积分路径不是闭曲线,且难计算,则可添加辅助线后,利用格林公式简化计算。
2)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数:
及动点,或,则原函数为,取定点,1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;,定理2,3)若已知du=Pdx+Qdy,则对D内任一分段光滑曲,定理2,注:
此式称为曲线积分的基本公式(P213定理4).,它类似于微积分基本公式:
例4.计算,其中L为上半,从O(0,0)到A(4,0).,解:
为了使用格林公式,添加辅助线段,它与L所围,原式,圆周,区域为D,则,例5.验证,是某个函数的全微分,并求,出这个函数及,证:
设,则,由定理2可知,存在函数u(x,y)使,例6.验证,在右半平面(x0)内存在原函,数,并求出它.,证:
令,则,由定理2可知存在原函数,或,例7.设质点在力场,作用下沿曲线L:
由,移动到,求力场所作的功W,解:
令,则有,可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.,思考:
积分路径是否可以取,取圆弧,为什么?
注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径,无关!
内容小结,转内容小结,内容小结,1.格林公式,2.等价条件,在D内与路径无关.,在D内有,对D内任意闭曲线L有,在D内有,设P,Q在D内具有一阶连续偏导数,则有,为全微分方程,2.设,提示:
作业P2145
(1),(4);,第四节,第四节,
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