第二讲二阶线性偏微分方程及其分类.ppt
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第三章二阶线性偏微分方程的化简及其分类,祁影霞作,二阶线性偏微分方程的一般形式:
其中,是自变量,的函数,如果f=0,则方程是线性齐次方程,否则方程是非线性齐次方程。
3.1两个自变量方程的化简,一般形式:
其中,只是x,y的函数。
以下讨论时,是实数。
作变量代换如下:
(3-1),假定,则在上式代换下方程(3-1)变为,(3-2),其中系数:
(3-3),从(3-3)中可以看出,如果取一阶偏微分方程,(3-4),的一个特解作为,,则,从而A11=0。
如果取(3-4)的另外一个特解作为,则A22=0,这样方程(3-2)就可以简化。
一阶偏微分方程(3-4)的求解可以转化为常微分方程的求解,将(3-4)改写成:
如果将,看作定义隐函数,的方程,则,从而有:
(3-5),常微分方程(3-5)叫做二阶线性偏微分方程的特征方程。
特征方程的一般积分,和,叫做特征线。
(3-5)的解为:
(3-6),若,,二阶线性偏微分方程为双曲型方程,若,,二阶线性偏微分方程为抛物型方程,若,,二阶线性偏微分方程为椭圆型方程,1:
双曲型,当,时,(3-6)式给出一族实的特征,曲线,取,则,,这时方程变为,若再作,则上述方程变为:
(3-7),2:
抛物型,当,,这时(3-6)式只有一个解,它只能给出一个实的特征线,,。
取与,函数无关的,作为另一个新的变量,则有,(3-8),3:
椭圆型,当,时,(3-6)式各给出一族复特征线,,,在该变换下:
且方程化为:
令,则有:
(3-9),5-1二阶线性偏微分方程的分类,由前面的讨论可知,方程(3.1)通过自变量的可逆变换化为那一种标准形式,主要决定于它的主部系数。
若方程(3.1)的主部系数在区域中某一点(x0,y0)满足,则称方程在点(x0,y0)是双曲型的;在邻域;在中,则称方程在点(x0,y0)是椭圆型的。
则称方程在点(x0,y0)是抛物型的;,相应地,(3.7)、(3.8)和(3.9)这三个方程分别称为双曲型、抛物型和椭圆型(二阶线性)偏微分方程的标准形式。
3.2方程的分类,标准形式,例1:
判断下面偏微分方程的类型并化简,解:
故,故该方程为双曲型偏微分方程,其特征方程,或,故有,或,取新变量,则,,,代入原方程得:
即:
例题2:
把方程,分类并化为标准形式,5-1二阶线性偏微分方程的分类,解:
该方程的,故该方程是抛物型的。
特征方程:
从而得到方程的一族特征线为:
作自变量代换,(由于和必须函数无关,所以宜取最简单的函数形式,即=x或=y),于是,原方程化简后的标准形式为:
特征的解:
例题3:
判断下面偏微分方程的类型并化简,解:
特征方程,特征方程的解:
特征线:
令:
双曲型方程,例4:
判定下列二阶方程的类型,
(1),
(2),(3),
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- 第二 讲二阶 线性 微分方程 及其 分类