程序性知识教与学研究.pptx
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程序性知识教与学研究.pptx
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程序性知识教与学研究,以有理数乘法为例,杭州师范大学理学院:
巩子坤Email:
程序性知识:
是如何做事的知识,这些“事”包括,按照固定的定程序进行练习,解决新颖的问题。
程序性知识通常以一系列要遵循的步骤的形式出现,它包括技能、算法、技术和方法的知识,比如,小数乘法的算法,解方程的算法,证明三角形全等的方法,数学建模的方法;还包括用于决定何时运用不同程序标准的知识,比如,决定用哪种方法进行简便运算的标准的知识。
有理数运算这类知识属于程序性知识。
想一想:
为什么“负负得正”,目录,一、研究的问题,二、研究的对象三、研究的方法四、结果一:
学生对有理数乘法意义的理解五、结果二:
学生对有理数乘法算理的理解六、结果三:
负负得正为何难以理解,为何能够接受七、结果四:
教学策略八、讨论与建议,一、研究的问题,我国义务教育数学课程标准指出:
“对数与代数学习的评价,应主要考察学生对概念、法则及运算的理解与运用水平”。
关于有理数教学的要求是“在具体情境中,理解有理数及其运算的意义”,评价建议是“关注学生对有理数的意义、有理数运算法则的理解水平。
对运算的评价重点应放在学生对算理的理解”。
2000大纲(试用修订版)版教科书指出,“有理数教学的主要难点是对有理数运算法则的理解,特别是对有理数乘法法则的理解”。
学生对有理数乘法的理解水平是什么学生达到该理解水平的原因为什么?
基于学生的理解水平和程序性知识的特点,教学策略是什么?
课程目标是什么?
一、研究的问题,有理数乘法,有理数乘法的理解就包括运算意义的理解、运算算理的理解。
对有理数乘法的理解,就从这两个维度展开。
二、研究的对象,我们选取了某市的三所城镇初级中学作为研究、调查的学校。
这三所中学在当地排名位居前列,每所学校都有10个左右的平行班级。
我们研究时,7年级学生正好学习有理数乘法。
有关学生的调查、访谈,均在这些学校进行。
有关教师的调查、访谈和课堂观察,也在这些学校进行。
三、研究的方法,
(一)研究工具问卷调查问卷调查主要分为两类,一类是对学生的问卷,另一类是对教师的问卷。
问卷的题目见研究的结果四、五、六。
访谈主要访谈了三类学生。
我们还对部分教师进行了访谈。
3.课堂观察
(二)数据分析我们采用两种方法分析数据。
一是定性的方法。
主要用来分析学生、教师对有理数乘法的理解,以及教师的教学策略。
二是定量的方法。
对学生、教师的回答,我们进行了分类和编码,然后把这些数据输入到数据库,从而进行定量的分析。
(一)问卷学生问卷调查内容如下:
说明下列各算式所表示的意义是什么。
问题1(4)7问题26(5)问题3(4)(6)教师问卷调查的内容同学生。
四、结果一:
有理数乘法意义的理解,
(二)正确的理解1异号两数相乘
(1)用加法来解释比如,学生S1:
(4)7表示4的7倍是多少。
S1:
结果是28。
就是7个4的和。
比如,学生S2:
6(5)就是6个5相加是多少。
有的学生还提供了现实情境,比如,学生S3:
考试的时候,错一道题扣5分,错6道题扣多少分?
I:
请解释一下。
S3:
扣5分记为5,错了6道题,一共扣了30分,记为30。
不就是6(5)30吗。
四、结果一:
有理数乘法意义的理解,四、结果一:
有理数乘法意义的理解,
(2)用乘法来解释比如,学生S4:
6(-5)的意义是6与5相乘的积是多少?
I:
积是多少?
S4:
30。
I:
怎样得到的?
S4:
用法则得到的。
I:
你为什么这样解释?
S4:
这道题和(4)7不一样,我感觉到不好解释了。
你总不能说是6的5倍,或者5个6的和吧。
表学生对异号两数相乘意义回答的正确率(人次276),四、结果一:
有理数乘法意义的理解,2两个负数相乘正确的理解:
解释为积。
比如,学生S5:
(4)(6)的意义是4与6相乘的积是多少?
I:
积是多少?
S5:
同号两个数相乘,积为正,结果是24。
I:
你把(4)7解释为7个4相加的和,我感到比较清楚。
以上解释,你感到清楚吗?
S5:
我感到不太清楚。
我解释不清楚,根据法则来做就行了。
表学生对(4)(6)意义的回答情况(人次138),(三)错误理解的即原因分析负数个比如,学生S6:
一个球7元钱,小明买了4个多少钱?
比如,学生S8:
(4)(6)的意义是4个6的和是多少。
I:
什么是6个。
S7:
按小学时所学的,几个几相加的和。
I:
6个你感到能够说清楚吗?
S7:
不太清楚。
负数倍比如,学生S8:
6(5):
6的5倍是多少?
5个6是多少?
(4)(6):
4的6倍是多少?
4个6是多少?
四、结果一:
有理数乘法意义的理解,(四)教师的理解,四、结果一:
有理数乘法意义的理解,表教师对异号两数相乘意义回答情况,表教师对(-4)(-6)意义的回答情况,四、结果一:
有理数乘法意义的理解,教师提供的典型错误回答有:
异号两数相乘。
教师T1:
6(5)表示5个6的和。
两个负数相乘。
教师T2:
下降了6次温度,每次下降4度。
教师T3:
每次走4米,向向东的反向走6次,结果向东24米。
记作24。
教师T4:
表示6个4的和。
教师T5:
4个6的和的相反数或6个4的和的相反数。
教师T6:
表示6个4相乘。
究竟什么是有理数乘法的意义?
四、结果一:
有理数乘法意义的理解,(五)有理数乘法的意义是什么1.表面上看,错误的原因是整数乘法的负迁移作用,实质上则是乘法意义的扩展。
整数加法的意义,整数乘法的意义,小数乘整数的意义,一个数乘小数(分数)的意义,正有理数乘法的意义,乘负数的意义,保持运,算的持续性,(实线框)意义迁移(同化),(虚线框)意义扩展(顺应)图有理数乘法意义的迁移,四、结果一:
有理数乘法意义的理解,负数出现前,要么借助加法、要么借助直观,乘法获得了意义负数出现了,把乘法还原成加法的愿望根本不能实现,想通过直观的方式来表征乘法也很难做到,即便做到了,也很牵强。
为什么?
因为负数出现了,因为负数本身一点都不直观。
既如此,就很难用原来的方式来理解有理数乘法了,也就是说,不能过多地寻求直观,而应该从推理、逻辑、形式的角度来理解有理数乘法。
正像从正数到负数的扩展一样,乘法的意义需要一次更大的扩展。
有理数乘法意义的扩展遵循的原则。
从现代数学的角度来看,有理数乘法的扩展所必须遵循的基本原则就是保持“运算的持续性”或者说“承袭性”:
原来的运算得以承袭,新的运算能够进行下去。
形式化的定义。
四、结果一:
有理数乘法意义的理解,A是一个集合,在集合A里定义了一个二元运算“”,A与这个运算就构成了一个代数系统(A,)。
这个代数系统的运算“”称为乘法运算,通常说来,如果它满足以下运算律:
封闭性:
ab是A的元;单值性:
ab的值唯一确定。
这个乘法运算甚至不必满足交换律、结合律、对加法的分配律。
乘法的意义就是,为集合A中的两个元确定唯一的一个对应元。
比如,要问
(2)(3)的意义是什么,也就是问
(2)(3)唯一的对应元是什么,通过定义知道,它的对应元是6。
也就是说,它的意义是通过它的定义反映出来的。
从这个角度而言,乘法与加法就没有什么本质的区别。
如果乐意,完全可以把加法与乘法互换称谓。
(一)问卷问卷内容如下:
先计算然后用尽可能多的方法,如文字解释、画直观图、算式表示等来说明你的答案是正确的,也就是要说明为什么“负正得负”,“正负得负”,特别是“负负得正”说明得越详细越好问题1(3)6问题27(5)问题3(5)(3),五、结果二:
有理数乘法算理的理解,五、结果二:
有理数乘法算理的理解,
(二)理解的类型层次模型直观理解:
用直观图像来说明运算结果的合理性。
程序理解:
按照固定的程序,比如运算法则来解决问题,给出正确的答案。
通俗地说来,就是会计算。
抽象理解:
用语言、算式等来说明结果的合理性。
抽象理解与直观理解的区别是,直观理解要通过直观图像来说明结果的合理性,而抽象理解是通过口头语言、书面符号等来抽象地说明结果的合理性。
抽象理解与形式理解的区别是:
形式理解要用规律、规则,并基于逻辑推理来证实结果的合理性。
形式理解:
用一个已知的规则、规律(相当于数学的公理、定理),基于逻辑推理,来证实运算结果的合理性。
五、结果二:
有理数乘法算理的理解,(三)正确的理解1程序理解学生S1(学生S;访谈者T):
7(5)35。
因为一个负数与一个正数相乘,得负,再把绝对值相乘。
能够给出正确的答案,即获得了对有理数乘法运算的程序理解。
2直观理解用现实情境来表征。
比如,学生S2:
一件衣服减价5元,记为5,7件衣服共减价35元,记为35,也就是7(5)35。
用数轴来表征。
比如,学生S3:
5就是向坐标轴的反方向移动5个单位。
乘一个负数,就是向相反的方向移动。
乘3就是向相反的方向移动3次,即到达15。
515,3抽象理解比如,学生S5:
7(5)(-5)(-5)(-5)+(-5)+(-5)+(-5)+(-5)比如:
学生S6:
(-3)6表示6个3相加,也就是18。
五、结果二:
有理数乘法算理的理解,(四)错误的理解1.相反数的相反数比如,077721:
7(5)也就是7乘5的相反数。
比如,077738:
(5)(3),先不看负号,将5与3相乘,然后在5的前面加上2个负号,于是得到15。
比如,077702:
(5)(3)表示的是3与5的积的相反数的相反数。
比如,077722:
先把5分成“”和5两部分,把3也分成“”和3两部分。
35是15,然后在15的前面加上两个“”,就是(15),就是15。
五、结果二:
有理数乘法算理的理解,2.2个负号可以抵消比如,087402:
(5)(3)中有两个负号,两个负号就抵消了,变成53了。
T:
为什么可以抵消?
S:
老师讲过。
T:
(5)(3)?
S:
8。
T:
为什么不能把两个负号抵消?
S:
因为这个是加法,刚才的那个是乘法。
五、结果二:
有理数乘法算理的理解,3.“、”合起来为“”比如,077736:
把5和3的绝对值相乘。
然后,它们身上不是都有一个“”号吗?
把它们的符号合并起来,不就是“”吗,“”可以省略不写,最后的结果不就是15吗。
比如,077740:
把“”理解为一个火柴棒,算的时候,先不要理符号,算完了,把两个火柴棒放在一起,不就是“”吗(学生画了一个非常逼真的“”号)。
五、结果二:
有理数乘法算理的理解,类比比如,077763:
(+5)(+3)15,也就是说,两个同号的数相乘结果为正;(5)(3),也是同号的两个数相乘,结果也应该是正。
而这两个数的积总要和53有关系吧,所以是15。
使用类比的方法来说明结果的合理性是一种合情推理模式,这种方法具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用。
计算器法比如,087419:
用计算器一算,就是15,所以是对的。
五、结果二:
有理数乘法算理的理解,6.同位的同位(否定之否定)比如,077774:
假设我代表正数,我的同位代表负数;我的同位的同位就是我,不就是正数吗?
T:
你怎么想到这个办法的?
S:
我总是不明白为什么负负得正,很困惑。
有一天,我与我的同位说起了这件事,他给我举了这个例子。
本质上,这种方法就是相反数的相反数法,五、结果二:
有理数乘法算理的理解,7.把5理解为5个“”比如,077701:
T:
能说明(5)(3)15吗?
S:
能吧。
5是5个“”,3是3个“”。
共有偶数个“”,抵消了。
T:
(2)(3)呢?
S:
那就是6了。
不对了。
T:
该怎么办呢?
S:
法则上说同号得正。
T:
你感到这样说服了我为什么负负得正了吗?
S:
有点困难。
五、结果二:
有理数乘法算理的理解,8.个数模型比如,087408:
王红有5个苹果,王华有3个苹果,两个人苹果的积就是(5)(3)15个。
9.(5)(3)10比如,077708:
把5看作往西走5米。
乘3就是往东走了3次。
这样就在东边10米处了。
五、结果二:
有理数乘法算理的理解,五、结果二:
有理数乘法算理的理解,(五)理解的水平1量化的层次
(1)平均分和正确率。
类,确,表1不,同理解,型的平均,得分和正,率,五、结果二:
有理数乘法算理的理解,表2学生对(3)(5)理解的平均得分和正确率,
(2)理解的,图1有理数乘法运算的理解水平,五、结果二:
有理数乘法算理的理解,2描述性的层次表3有理数乘法运算的理解水平描述,五、结果二:
有理数乘法算理的理解,3.纵向研究表明:
学生的理解水平不升反降,五、结果二:
有理数乘法算理的理解,(六)学生对负负得正的质问1.负数在哪里比如,077709:
S:
负数是怎样存在的呢?
在实际表示物体的个数时,负数有什么用呢?
T:
负数可以在数轴上表示。
S:
不太相信。
正数可以由具体的物体来表达,负数不能由具体的物体来表达,只能在数轴上表达出来,但是数轴也没有表示出负数是怎样存在的。
我不太理解。
我觉得负数并不存在。
负负得正就更不好理解了。
T:
不好理解,那你怎样学习有理数的运算呢?
S:
死记硬背吧。
现在用熟练了,就好多了,不太在意了。
五、结果二:
有理数乘法算理的理解,2.为什么就负负得正了?
别扭比如,087405:
T:
你能够说明为什么负负得正吗?
S:
不能够。
我认为我们班没有几个能够说明为什么负负得正。
真要说为什么的话,就是两个负数一相乘,就相互抵消了。
课本上这样写着,老师这样讲,所以得正。
我感到这个法则可别扭了,很不舒服。
数学家创造这个知识的时候,为什么负负就得正了,为什么不是负。
T:
那你在学习中是怎样办的?
S:
还能怎么办。
不这样办,又能怎样呢?
五、结果二:
有理数乘法算理的理解,3.我错在了哪里比如,077756:
在老师讲有理数乘法的时候,老师讲的与我的想法不一样,而我恰恰认为我的想法是对的。
后来,老师出了一些运算题,我按照我的想法做了,可是我错了,老师的对了。
而我一直发现不了我到底错在了哪里?
五、结果二:
有理数乘法算理的理解,4.负负得正可能会被推翻比如,087408:
S:
负负得正虽然是一个规定,可能会有被推翻的一天。
T:
为什么?
S:
因为这个东西不是很合理。
T:
23等于几?
S:
5T:
这个可能有一天被推翻吗?
S:
这个不可能。
23是5都已经用了这么长时间了。
再说,2个手指头加上3个手指头,不就是5个吗?
T:
那你的意思是没有5个手指头,没有3个手指头。
那你上面不是说,5个苹果乘3个苹果就是15个苹果吗?
(注:
学生为了说明(5)(3)15时所使用的方法)S:
我觉得我说的也不合理。
五、结果二:
有理数乘法算理的理解,5.不要关心为什么负负得正比如,087401:
T:
请说明为什么负负得正?
S:
如果两个负数相乘,把负号去掉,绝对值相乘。
T:
你解释了为什么负负得正吗?
S:
没有。
不好解释。
法则上这样说的,就这样做题,不要关心为什么负负得正。
负负得正用语言也解释不清楚。
五、结果二:
有理数乘法算理的理解,6.就得正了,这样做就对比如,077704:
T:
你能说明为什么负负得正吗?
S:
我也不知道为什么负负得正T:
当时明白吗?
S:
老师讲了,就是负负得正。
遇到题时,你这样做就能对。
在初中的时候,负负得正,在高中的时候,老师说,就不一定了。
T:
现在清楚为什么负负得正吗?
S:
不清楚,老师说“我也不清楚”,这是数学家说的,这样做就行了。
比如,(5)(3)15,负负就得正了,那怎么办?
我也讲不清道理,我也不理解,但得数是对的,你也要这样做。
五、结果二:
有理数乘法算理的理解,7这是定律比如,077706:
同号相乘得正,这是定律,是数学家总结的,没有错,我们要遵守定律,所以得正数。
比如,077706:
数学家经过很长时间总结的,教材上这样写的,地球人都按照这个做,就统一了。
这是乌龟的屁股规定(对不起,不太好听)。
五、结果二:
有理数乘法算理的理解,8.为什么负负不能得负比如,087403:
S:
说实话,我一直不清楚为什么就负负得正了,为什么不可以得负,而正负为什么又得负,它等于正不行吗?
我怎么都不明白,做了很多的题,还是不明白,就死记课本上说的“负负得正,正负得负”。
T:
当时老师讲的还有印象吗?
S:
没有了。
当时就比较迷糊。
T:
以后是怎样学习的。
S:
虽然不理解,但它是一条规律,也得记下来,接受下来。
这样做题才能对。
T:
我注意到,你认为听不听老师讲课都无所谓,是什么意思?
S:
听不听都无所谓,再怎样讲就是这个法则。
T:
对于负负得正是否也这样?
S:
是的。
五、结果二:
有理数乘法算理的理解,9加两次负号就变成了正了比如,077708:
S:
先看5315。
一共有两个负号,在15前面先加一个,变成了15,再加一个,变成了15的相反数,就是15了。
T:
你感到这样能说服我了吗?
S:
差不多吧。
我还是有疑问的,其实我不能接受负负得正。
为什么两个负数一乘,就变成正数了。
比如,我这样来说服自己,同号就团结,就胜利。
所以,负负得正。
T:
3个负数相乘呢?
S:
我只能理解为3个和尚没水吃了。
所以还是负数。
五、结果二:
有理数乘法算理的理解,老师这样说的,书上这样写的比如,087406:
因为老师这样教的,法则这样写的,同学这样做的,家长这样说的,所以我认为是对的。
题做多了,也就好了。
比如,087420:
在刚开始讲这个内容的时候,老师在黑板上举了一个例子,(3)(4)等于多少?
当时有一部分同学很快就答出来了,但是我感到特别的困惑,不知道怎样做出结果的。
但是学完了有理数的乘法后,做的题多了,就不感到难了。
五、结果三:
负负得正为何难以理解,能够接受,
(一)为何难以理解表学生对(3)(5)的理解情况,1.负数的超验性负数最早出现在公元1世纪成书的九章算术的“方程”章中,是由解方程的需要产生的,19世纪,负数在欧洲才得到确认。
五、结果三:
负负得正为何难以理解,能够接受,一个苹果的1,半个苹果的0.5,这些数字都有着明确的表征物,这些数字都与测量密切相关。
“负数则不是测量出来的。
如果说亏损20元,那个20仍旧是个正数。
因此人们不觉得非要接受负数不可。
”人们常常用“得到的钱数是正数、失去的钱数是负数”来表征正数和负数,但是,“拒绝接受负数的人总是认为失去的钱数在实体对应的原则下仍然是一个正数值,这时负号仅仅是“失去”一词的代用物而已。
”不能够实际测量,正是一些数学家不愿意承认负数的理由。
“负数是由具体数学向形式数学的第一次转折。
要完全掌握这种转折中出现的问题,需要有高度的抽象能力。
”Fredenthal说:
“我认为超越直观而运用推理方法的首先是负数”。
五、结果三:
负负得正为何难以理解,能够接受,“历史顺序通常是正确的顺序,数学家所经历的困难,正是我们学生要经历的困难,让我们举例说明上述观点。
如果从一流数学诞生开始,数学家花了1000年的时间才得到负数的概念,又花了另外1000年的时间才接受了负数概念,那么,你就可以肯定:
学生在学习负数时将有多困难。
因此我们必须为这样的困难做准备,并帮助他们克服这样的困难。
”从历史上看,负数被接受的原因
(1)直观性,即能够用现实生活中的模型、大家熟悉的数学模型进行说明。
比如,温度计模型、数轴模型都可以说明负数存在的客观性与合理性。
(2)算法的无矛盾性。
3(2+1)=32+31=6+3=9,同样也有3(2+1)=3
(2)+31=(6)+3=3。
凡是对于正数成立的运算法则,对于负数也同样成立。
旧的知识得以承继下来,新的运算得以进行下去,而又没有任何的矛盾。
这即为“运算的承袭性原则”。
五、结果三:
负负得正为何难以理解,能够接受,(3)成功应用。
“负数得到了越来越多的人的公认,因为它很有用。
对于这一点,解析几何的发展无疑起到了很大的促进作用。
话说回来,人们对负数还是存在疑问的,而且只要人们继续想把它用事物的个数概念来表示,而没有认识到,在新概念建立之后,其逻辑形式法则起主导作用,这种疑问就会存在下去。
”中学生,他们除了能够看到像温度计这样的现实模型外,是难以体会到算法的无矛盾性、运算的持续性的,也很难感受到负数在解决现实问题时的成功应用。
2.负负得正的合情性袁隆平院士说过:
我最喜欢外语、地理、化学,最不喜欢数学,因为在学正负数的时候,我搞不清为什么负负相乘得正,就去问老师,老师说“你记得就是”。
我由此得出结论,数学不讲道理,五、结果三:
负负得正为何难以理解,能够接受,法国大作家司汤达,被负负得正的法则困惑了很久。
他的老师未能够给他一个令他信服的解释。
他感叹到:
“到底是我的两位老师在骗我呢,还是数学本身就是一场骗局”理论上讲,数学知识的获得,需要经过严格的演绎证明。
“数学知识的基础,即确定数学命题真理性的依据,是由演绎证明所组成的。
”在中小学,由于学生的认知水平较低,许多结论是通过举例子、通过不完全归纳得到的,因而数学知识又显示出“合情性”。
“负负得正”就是这样的知识:
在整数环的公理系统中可以严格地证明负负得正这个法则。
五、结果三:
负负得正为何难以理解,能够接受,“在中小学通过严格的证明是做不到的。
要追求一种和谐的模式直观。
比如可以直观地认为,乘法对加法的分配律在负数范围内依旧成立,在此基础上,我们能够对为什么负负得正作直观的理解”,五、结果三:
负负得正为何难以理解,能够接受,负数的出现,是数的一次扩展,扩展本来也并不一定困难,但是,这种扩展缺乏直观的基础,因为扩展后所得到的负数具有超验性。
缺乏直观的基础,本来也没有什么问题,只要能够从逻辑上进行证明,而遗憾的是逻辑证明也很困难,因为负负得正具有合情性、具有难以证明性。
用一个通常的比方来说,此时的学生,往下找不到经验这块实实在在的地,往上够不到演绎推理这个天。
从而,负负得正就具有了难以理解的特性了。
五、结果三:
负负得正为何难以理解,能够接受,
(二)为何能够接受1.教师的角度。
学生能够接受,原因在于例规教学的合理性表教师对负负得正的数学理解和教学理解(样本38),五、结果三:
负负得正为何难以理解,能够接受,模型(举例)说明不是证明。
有60以上的教师认为模型说明不是证明。
而相反,只有23左右的教师认为大概是证明。
负负得正无须证明。
52.6的教师认为,在公理系统中,能够对负负得正进行证明。
有15.8的教师认为不能够进行证明。
即便能够对负负得正进行数学证明,由于学生的知识水平、认识能力有限,也没法让他们理解这种数学证明,所以教学中也无须进行数学证明。
”教师的回答情况如表。
81.6的教师赞同这一观点,只有10.6%的教师不赞同。
大家一般地不要把不可能的证明讲得似乎成立。
应该用简单的例子使学生相信,或有可能的话,使他们自己弄清楚:
从实际情况看,承袭性原则(比如,在正有理数范围内乘法满足交换律、结合律、分配律,在有理数范围内也应该满足)所包含的这些约定关,五、结果三:
负负得正为何难以理解,能够接受,系,恰好是适当的,因为可以得到方便一致的算法,而其他任何一种约定,总要强迫我们考虑许多的特例。
确实必须不急不躁,让学生有时间在接受这种知识后思想转过弯子来。
同时使学生明白,这绝不是不言而喻的。
教学中如何处理:
模型说明。
“教学的主要任务是提供一个说明为什么负负得正的模型,说服学生接受负负得正这个结论。
”79.0的教师赞同以上观点。
只有13.2的教师表示反对。
“在学生不理解数学证明之前,说服学生接受某个结论(比如运算法则、运算律)的方法有哪些?
”86.8的教师选择了正面举例子的方法。
63.2的教师选择了实验、证实的方法。
学生能够接受从模型中总结的结论“从模型中总结的负负得正法则,学生接受吗?
”86.8的教师认为学生能够接受从例子中总结的负负得正法则。
五、结果三:
负负得正为何难以理解,能够接受,弗赖登塔尔说:
“算法是可以被教会的。
给学生一个可仿效的范例,一个范例可能就够了。
一个例子就足够学会一种方法,如果一个不够,就再提供一些必要的例子。
”2.学生的角度。
能够接受,原因在于保持运算的持续性,学习的迁移性和归纳性
(1)接受从模型中总结的负负得正法则,表学生能否接受从模型中总结的负负得正法则,五、结果三:
负负得正为何难以理解,能够接受,
(2)能够接受的原因分析表学生选择的接受负负得正的原因(样本138),五、结果三:
负负得正为何难以理解,能够接受,图1不同原因平均得分比较,如果把非常赞同和赞同两项合并起来,我们发现,按照百分比由高到低的顺序依次是:
学习的迁移性,保持运算的持续性,学习的归纳性
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