§14-全概率公式和贝叶斯公式.ppt
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,全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.,综合运用,加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥,乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0,1.4全概率公式和贝叶斯公式,例1有三个箱子,分别编号为1,2,3,1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球,3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率.,解:
记Ai=“球取自i号箱”,i=1,2,3;B=“取得红球”,即B=A1B+A2B+A3B,且A1B、A2B、A3B两两互斥,B发生总是伴随着A1,A2,A3之一同时发生,,P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B),运用加法公式得,1,2,3,将此例中所用的方法推广到一般的情形,就得到在概率计算中常用的全概率公式.,对求和中的每一项运用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B),代入数据计算得:
P(B)=8/15,设为随机试验的样本空间,A1,A2,An是两两互斥的事件,且有P(Ai)0,i=1,2,n,一、全概率公式:
称满足上述条件的A1,A2,An为完备事件组.,则对任一事件B,有,证明:
在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是伴随着某个Ai出现,适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算.,全概率公式的来由,不难由上式看出:
“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和.,它的理论和实用意义在于:
某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,n),如果B是由原因Ai所引起,则B发生的概率是,每一原因都可能导致B发生,故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和,即P(B).,P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai),我们还可以从另一个角度去理解全概率公式.,例2甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.,解:
设B=“飞机被击落”Ai=“飞机被i人击中”,i=0,1,2,3,由全概率公式P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3),则B=A0B+A1B+A2B+A3B,可求得:
为求P(Ai),设Hi=飞机被第i人击中,i=1,2,3,将数据代入计算得:
P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.,P(A0)不必求出.,于是P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3),=0.458,=0+0.360.2+0.410.6+0.141,即飞机被击落的概率为0.458.,有三个箱子,分别编号为1,2,3,1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红球3白球,3号箱装有3红球.,二、贝叶斯公式,某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.,某人从任一箱中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.,记Ai=“球取自i号箱”,i=1,2,3;B=“取得红球”,求P(A1|B).,运用全概率公式计算P(B),将这里得到的公式一般化,就得到贝叶斯公式,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下,寻找导致B发生的每个原因的概率.,贝叶斯公式:
设A1,A2,An是两两互斥的事件,且P(Ai)0,i=1,2,n,另有一事件B,它总是与A1,A2,An之一同时发生,则,贝叶斯公式在实际中有很多应用,它可以帮助人们确定某结果(事件B)发生的最可能原因.,例3某一地区患有癌症的人占0.005,患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95,正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04,现抽查了一个人,试验反应是阳性,问此人是癌症患者的概率有多大?
则表示“抽查的人不患癌症”.,已知P(C)=0.005,P()=0.995,P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04,解:
设C=“抽查的人患有癌症”,A=“试验结果是阳性”,,求P(C|A).,现在来分析一下结果的意义.,由贝叶斯公式,可得,代入数据计算得:
P(CA)=0.1066,2.检出阳性是否一定患有癌症?
1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义?
如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率P(C)=0.005,患者阳性反应的概率是0.95,若试验后得阳性反应,则根据试验得来的信息,此人是患者的概率为P(CA)=0.1066,说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.,从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.,1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义?
2.检出阳性是否一定患有癌症?
试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为P(CA)=0.1066,即使你检出阳性,尚可不必过早下结论你有癌症,这种可能性只有10.66%(平均来说,1000个人中大约只有107人确患癌症),此时医生常要通过再试验来确认.,下面我们再回过头来看一下贝叶斯公式,贝叶斯公式,在贝叶斯公式中,P(Ai)和P(Ai|B)分别称为原因的验前概率和验后概率.,P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下,人们对诸事件发生可能性大小的认识.,当有了新的信息(知道B发生),人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计.,在不了解案情细节(事件B)之前,侦破人员根据过去的前科,对他们作案的可能性有一个估计,设为,比如原来认为作案可能性较小的某甲,现在变成了重点嫌疑犯.,例如,某地发生了一个案件,怀疑对象有甲、乙、丙三人.,丙,乙,甲,P(A1),P(A2),P(A3),但在知道案情细节后,这个估计就有了变化.,P(A1|B),知道B发生后,P(A2|B),P(A3|B),这一讲我们介绍了,全概率公式,贝叶斯公式,它们是加法公式和乘法公式的综合运用,同学们可通过进一步的练习去掌握它们.,值得一提的是,后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法,叫作“贝叶斯统计”.可见贝叶斯公式的影响.,
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