§6.1 用最小二乘法求解矛盾方程组.ppt
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,一、矛盾方程组,用最小二乘法求解矛盾方程组,设有线性方程组,计算方法,计算方法,因(6.1)无解,故偏差(残量),二、最小二乘法,不全为零。
希望找到一组数使偏差能按某种度量标准达到最小。
若秩(A|b)秩(A),则(6.1)无解,此时称(6.1)为矛盾方程组。
计算方法,即要求向量e的某种范数最小。
若记向量,为了便于计算、分析与应用,通常要求e的2-范数,为最小。
计算方法,即,这种要求偏差(残量)平方和最小的原则称为最小二乘原则,利用最小二乘原则求解问题的方法称为最小二乘法。
满足最小二乘原则的称为矛盾方程组的最小二乘解。
为最小。
计算方法,最小二乘解的求法:
设,则利用最小二乘原则求最小二乘解的问题即转化为求函数的最小值点。
则函数在该点的关于每个自变量的偏导均为零:
计算方法,即:
计算方法,计算方法,上述方程组,称为原矛盾方程组对应的正规方程组(或正则方程组,法方程组).故矛盾方程组的最小二乘解一定是相应的正规方程组的解。
定理:
若矩阵A的秩(即A列无关),则:
(1)是对称正定矩阵;,
(2)方程组有唯一解。
计算方法,不难理解,偏差总量无最大值,但有最小值,又只有一个驻点(偏导为零的点),故该驻点一定就是最小值点,亦即法方程组的解一定就是矛盾方程组的最小二乘解.,计算方法,例:
求下列矛盾方程组的最小二乘解,解:
由题目可知:
计算方法,计算方法,相应的法方程组为:
最小二乘解为:
计算方法,例:
求矛盾方程组的最小二乘解,并求误差平方和。
解:
方程组写成矩阵形式为,计算方法,正规方程组为,即,解得,计算方法,此时,误差平方和为,
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