偏微分方程数值解习题解答案.docx
- 文档编号:18663332
- 上传时间:2023-08-24
- 格式:DOCX
- 页数:34
- 大小:278.54KB
偏微分方程数值解习题解答案.docx
《偏微分方程数值解习题解答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《偏微分方程数值解习题解答案.docx(34页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
偏微分方程数值解习题解答案
1)
2)
q1二:
行口匚
1)解:
设点为(X?
,/曲)屮
则町=讥心厶)=班勺厶+J+°(工心)(Y)+0(F).
ot
-(史+空八
dtdx
所以截断误差为:
3
E=丄+「
Th
啰_喟+竺护一o(F)
T
呼1_吋】+竺丛Q—O(X)
-(叱3+
dt
=0(T+力”
2)解:
设点为:
(Xy,/林1)3
则町=讥勺,_)=以E,_+1)+(Y)+o(巧卩
ot
dx2
“;:
;=班心+1厶+i)=叽厶+i)+滋(h)+*臥工心)(为2)+oox
(X)d
心;=班心亠心)=班心,/+1)+敕:
;D(一力)+3役;D(
血2)+0(亥2)«
截断误差为:
2
舟A1”
E=+—(―+_)
Thdtdx
dt
T
班勺厶叙)一班勺,乩i)+——-——£)
q2“
-”*
\|(—4-—)dxdt=|(unt4-unx)ds=0*dt&\
得-U]/j+u2r+x^A-u4r=0+j
E(j-l?
n)F(j,n)G(j^n+l)H(j-l,n+l)^
%~的=旳=竹“4=W/-l
MfMT
h=ht-t
-ll"h+LLrH+ll:
4h—LL:
N=Op
第二章第三章第四章第五章第六章
P78
1.如果①'(0)二0,则称工。
是』(0)的驻点(或稳定:
点)-设矩阵A
对称(不必正定),求证忑是』(工)的驻点.的充要条件是1心是方程
加二&的解B4
证:
充分性:
①⑻二J缶)+乂(加°-bt^+—(Axrx)
①'(Ji)=(Axc-A,x)+A{Axrx)a
Eff))S宀沪
若①0)二Q,即(山°一氛对=0心怎宀
Axq-h=()目卩Ax-b^
则帀是方程Ax^b的解卩必要性*若心是芳程A^=b^\解
则Axa—h-0(j4x0—Z?
x)=0+^
◎(0)=(吐命-btx)-0+J
所以町是』0)的驻点d
pg%
3:
证明非齐次两点边值间题心
現(&)二eit(E)二Qu
与T7面的变分间题等价:
求血EH】,认@)=g使J(wt)=minJ(y)其中心
SiuH
U
(2)-d
』(#)=壬仗站)-(7»—芒⑹戲(D)+
13页
而久込叭如(2.13)(提示;先把边值条件齐衩化)+
证明:
令=w(x)+v(x)其中w(x)=Q+(x-a)0w(a)=a
yv@)=“
v(a)=0v(^>)=0®
所以2
S=瞥+qu=j
dxdxp
dr/w血、《,乂、f
"丁〔P(t+:
F)]+Q(w+v)"axdxax
*丫dzdv.产/ddw、豪
令=-—O—)+(?
v=/-(-—^>—+^w)=y;^
axaxdxax
所以
(1)的等价的形式2
厶”=一?
0字)=卩
axax
u(a)=au\b)=0a
其中久=/-(-£■去字+0W)"
axax
则由定理22知,讥是辺值间题
(2)的解的充要条件是
且满定变分方程"
ogf)-C/i小0Vve^P
(3)a
r(Zv>一/j)tdx+p@»:
(b)f@)
①W=J(u)=J(u.+^)^
—a(u^+兔,以.+无)一(/,功・+加)[以・(E)+加@)]2
□2
=J(认)+N[a@・,f)-(/,£)-+
乙
agd-Qfm沁卜
•Qdxdx
「(加•一/)加x+卩@加:
(砂@)-卩@)戊@)Ja
(3)=>(4)所以可证得•3
必要性:
若如是边值间题
(1)的解。
则£^-/=0広4=0
①'(0)=0且
所以a(u^9t)-(f9t)-p(b)J^(b)=0
P炉
q3I:
二;」二匕'l!
■■:
■:
■'三一上二工!
巴
辭:
由上一题知I(2.23)等价于*
厶肚二一?
0字)+二了一(-?
戸字+?
诃二/严axaxaxax
v(cj)=0v@)二Op
呻edvdt
I(Lv-f])tdx=|pA-qvt-f^t^dx=0+J
■fl2必必
所以V3)二U(/>)-W0)二肚(巧_02
厶卩一£=Lu-
所以
a(yft)~(/p^)=「(A-必+p(b)讥绑@)-p0)^(b)=0^
*左
又因为a血
現dudt..,
=t——
yaxax
^p(b>)u(b)t(b)+「(九一/”必*」
Ja
所以得空他巧-(£』)一骨®)底@22
即weCJ是(2.28)的解的充分必要条件为屮
a3
。
仗严)一C/2)—尹(&)茂(&)=g
P93屮
5:
试建立与边值间题-
q4
解;设PxH;且v(a)=v(a)=0诃册二卩'(时=0#
则\\Lu-f^dx=C
1J12_j,
(b)v(b)-u(A)v'(b)+u(a)v(a}+\
=■*卩)©)呛)-u(i»)v(/>)+»*(a)v(«)4-『兰弟SpBdjT
又v(£l)—v(m)—v(A)—v(b)=0<-'
所UA[(Zu-fjvdx=|u
」盘,・fl.
两dv
其中b(iirv)=fu—+他)必是一欢缰性泛函.
2dx
所以边值问題的变分f可题为心
求応H;使得讦
A(w,v)-(y,v)=0,VveH\且v((i)=v(
(2)=0
艮®)=i/(6)=Q"
a4
Pl如
3:
试就护6弗少i方程(3.3)的非齐次宦值条件
(3.31)auI=or>=0*1
氐lr
q5导出等价的变分间题相21页
_曲
解】取一特定函数CC2(w)―十v吗|产0v=u-uQ则
(3.31)的等价间题门
——+arv=0*J换17
则得(3.3)
——+av=0
anr
所以7(v)=1(-Av,v)-(^v)^
=£(比巧_3»仪
w
2]d^dy+—Iav2ds-\(Fvd^dy^
27\
1rrr>3wx2y?
pv2,,m比滋o加加oT,.云川(〒尸+(云y必创-nt—^+―
2
*»»»
auufsds-IIfudxdy-||血承必dy+
世Ji£
-2力-dxdxdy常数
+—Im2ds—I
2->
=屉)-ii[字字+2竽]如y+i(兽-恥-0^udxdy
+常数屮
其中J包)-11[覚竺1+竺_色与必妙+jau^ds-11fiidxdy^-
又由格林第一公式知道和
jj-Lu^udxdy-”[孚学+甞字皿心讨学届a
原问题的变分问题的为界
/(w)=-||[—^-+—+丄仏!
?
亦一\\fyd^dy-[包dwa5二-丄
6.P104/4^
试就椭匾I方程第一边值问题】*'
(3.32)一V(七Vu)十皿二八(忑j)EG\u\r=g
建立等价的极小位能庾理和虚功庾理,其中
k=7y)€c(G)ptn书>0,+1
ereC(G),^T>0,/eZ;3(G)tg^C(T),而炳
q6
V(kV^)=—(k—)4-—(k—pdx"dydy
设w0eC2(G)为一特定函数,Uq|r=g令v=11-11屮
则得(3.32)的等价间题:
a
-V(Wv)+av=F=/+2(上如)一go
V|r=0 、1 J(v)=—(-V(kVv)+av,v)-(F,v) 2 dxdy-|(Fvdxdy ・・ =7ff-(kVv)vdxdy+^-[fc 2飞2G ll-k •••令S巴唸软鲁昴皿+0曲切 .A OJOJ(v)=—a(v,v)一(F,v)a 2 下面回到原间题a A1 J(v)=-^(v,v)-(F,v) =+[I【上營-竽)2+上(兽-学)']如y+1[Ja(u-珈)$dxdy2*qdxdx&y2•& +—(上才)一60〕仗-叫)dxdyqyqy =那磴)士境叽叫畛燮+詈譽g+归论 -IIOiu^dxdy-\\fudxdy-||[ QG2dx& 了S)=|f(—仑(^! 1)j £zx;旳z£二 *y-「 解: jJ)丄点j(竺二必一点(巴工电)]/丘- 2-/汀2- J5)对码癖昱畫丈W 1.i al 其中<P1=—(ff^+I了必W 2A-二 q2——— 解七—欽唸"钦心 p,q』JEC。 、可以直接积分v fr—dx^Jq“dx=j dxj*0 fdx^ 在[a,b]内任一小区间[x⑴,x⑺]上积分有卩 ]-£(羽空)sx+人dxdx 即J W(X⑴)—w(X⑺)+J “I r—dx+dx qudx= it 苴中w(x)=_p空在[a,b]上连续・vdx 取[X⑴,X⑺]为对偶单元[X2i,x』,则得 w(XI)=_W r 加_w(x)dxp(x) fJ—dx(中矩形公式)V 2巩力 令犷(rI 以i_以i“ ••-匕严一^一 恥如晋j必其中B 亠〕 闵八 q'x'dxQ p200.4^ 4一构造區近p (pw)+quu=f于(口,b) u(a(^)=0,u{b)=u q3的中心差分格式.宀 朝: sN+l^^^anxoaxa 2—二^2 (尹1+4)尹r产(尹一十言一尹产一 T赛+4匕产一 氓園茂舊SFh^hHFkt 2A(«+1i2«+«l)+prl(5|2«也 P212 1.用积分插值法构造區近方程“ (3.21)—V(Vy)=—[―(^―)+—(jt—)]=/的第一辺值「可题的五点差dxdx妙卽 分格式,这里k=k(x,y)>>0^' i+1 于上积分(3.21)式,a -[[V(kVu)dxdy=fjfdxdy^ 5勺 由Green第一公式得: a —J—kds=nfdxdy^ i—"ii )—kds=fffdxdypdn{ ^kds=^k dndx Ss亠dndy fdu I—kds——k£*x /.综上有: a =®J,其中□/dxdy« 坷力2G n 1)非正则內点2 q5二丁匚-*心耳士阻亡云二二匠」一二用二回;「迂因三「-士HL 解[H正刖内点,同第一題中1)* 2)非正则內点.同第一题中2)初 3)界点4 在畀点口处于曲边.三角刑ABC上对(3.21)式积分,得4VVm)dxdy=fffdxdy^ hAACAABC -If叙3肚切 宓a曲A4£C Jdxdy^ +L+L'知iJI 51iABC +Jc+^0c3)=|jf^cfy 血血uAEC 7.P216/2-' q6 构造逼近(王21)-V(^)=-[—(—)+—(―)]=f的三角囲格式.液d/dy 如图,设Po是內点,P1,…,壬6是和00相邻的节点,牛为三角形PoPiPi^的外心,刃广, 是PaPi的中点,Go杲由六边形如「・・,@6围成的对偶单兀,在子域Go积分得 一口[? 仇譽)+? 化字)]弘莎=[i炉妙2乜;oxoxdydyg; 由Green公式得2 -[k^ds=[[fiixdy dG0dnGo IDa Ik—ds=y^Ik—ds 6/a =Z卩"——)局W(A+1)-心6)1+川G傀◎1=1/PoP】U2 其中任即为点血在g中点的值严(G°)是G。 的面积,%。 (比)是截断误差, 2 得点Po的差分方程为2 1•• 其中处=II他旳山,杲k在亦中点的值,3加(°0)百2 q”;二二二 设厶二{吗V=0丄…,时內<•・・“沖},旳是厶上的网函数。 又 级=-(气”一]-鸟旳+&x+])+%xM=】2「N-h 其中备场心恒正,务非负,且吗+齢兰毎证明当洌兰0(切匕0)时,”不能a7i: -■■■/■■-「.厂卜二厂「…; “乳P223/2^ q8 在题1中,若设d--h~-a--ci+旺>0(i=12…*M-崩 则差分右程*J 的解满足不等式・ I供Imax|yipmax a8 12at 第二章第三章第四章第五章第六章 P24% 二将向前差分格式和向后差另■格式作加权平均,得到"F列格式: a (113) *畑_十 丄孑丄=寻〔3(心-吋'+扇)+(1-日)(临-甜+忖,a其中0<&<}t试计算其载断误差,芥证明当&二丄-丄时,载断误差212r q1T「庁三: Jr;'I^1'■: 解: E^u=Lku(xj,tk)-[Lu]^ 班亏,心)-班勺,氐)a亠,、、八t、一-〔&仗(®+i,(jt+i)-2功(xj,f如) +班勺・i,如J)+(1-次班勺+i以) -2u(勺以)+以(◎■]以)]-一三一+a/2 必(亏,氐)d2u(xJfik) “、"(心,如1)一"(心厶) U)“ T lrz、加(xQF几(xjJ3 =-lu(勺,氐)+石一-—+—―頑一+0(T)-U(巧•,氐)] 「几(勺氐)r di2&彳 (2)£[“(%,〈)-2“(勺,氐)+”(%,〈)]3 n 1rz、,比(®・Qh2几(x・Qh3几(x•以)二評心仏屮石飞L=PL*£九()*艺兎()*一力叱川) 4! ax451dx5Jk h2九(亏以)h3九(吁,氐) +Z_ 2! &23! dx dx dx2 讣少臥亏心) 4" 4! a? dx212a? (3)+仪(亏+1以+1)-2讥©.,如1)+班巧亠心)]卩 _九(勺以£,2九(形.,如)+0(屮)< r第"+。 刃n” =a? +i2办° dx 二严聖+圧严字0)+。 (內+£严(勺以) dxdidx12 +TI(警严))+0(F)]+0(小 atdx P243- 4・ 在Richardson恪式(1.10)中以 +盘: 4)代入,便得DuForl Frahkd&式;4 (114) 解: EjU=Lku(x^tk)-[Lu]^ 班勺丿如)一班勺以.J以(亏+i以)一班®•以心)一以(x#_)+以 =一a7 2th2 (1)班®如1)一班勺 2r■ 1r/z、弘OH)亡几(X氐)Tz°%(x・以) dt-+可~dt =尹%)址―^-+可—w +00)) 敢®•以)T2九(勺以)F兎(亏以) 一(“(心,氐)一T——+——一2—— )dt2! di23! 加 +0匸4))] dt6dPdt (2)*[“(勺+i,氐)-”(亏以+i)-M(r,f_)十"(6・1,氐)]2=+[以(勺+1,氐)+"(勺・1,4)一"(勺,(以1)一以(心, (1)]3 1r/.、? 珈亏,氐)X几(%厶)沪%(兀血) =評(心以屮药r^+京飞^-+£几(? 4)+兰九(身4)+0 4! dx45! dx5Jk }力(亏,氐)血2d2u(xtj.)沪d3u(xtj.) _h——++——_2——仪 dx2! dx23! dx3 +£竺九上竺竺+少心 4! 办°5! dx5'* 卜十兀(巧,氐) 12—a? — +0(沏“ _沪讽勺4)卜沪3如(心应)十 站12a? ' +则)+0(“ P24加 5.设有il近热传导方程的带枫三层差分恪式: (1•⑸ 亘中吐0・试计算其就断误差,并证明当^=-+—时,截新误差的2⑵ 阶最高” 解: EjU=LgxpG-[厶以] =(]+6以(勺,如1)一琳亏血)g班亏,◎一"(亏以』) TT 一寻山(亏+1,氐+1)一: 讥厂丿如) (1)2血毎,心)-心门氐)]卩 =取巧•以)|T九(勺,氐)|dt2dt2 (2)£国(勺.以)-班心,心)]a 一必(勺QT几(亏,氐)十 dt2a2 (3)由第3题知』 吕■["(©+1,4+1)—2班心,(如)+"(®.i,f如)]“ n =严器"+着+处严;严)+0(”)+0(”/)+0(屮) 代入得心 孕=(1+屛警+*答岀+。 (宀"[字 诗答岀+。 (刊"[警如+(伶+词答岀 2diox12ox +QF)+O(t%2)+Q沪)]_[驾” =a[az(0--)-耳。 讥7以)+0(”)+0(丁2沪)+0(血4” P252 1.求证差分恪式(1Q当丄兰时叵稳定,当0兰时稳定的充要条件是a22 f乞1/2(1—20)* «lrso总丄)A+(9丄)A丄—Q〔•苛6丄r+6丄)A—二二」r」—6A+ZH窗ise丄r+z((9—I)A丄)7®I>9A+dto as(9ID;二(9丄re—匚;殳—ga+dhw Itell)¥Me丄)A丄)—lye丄): 醫;IVEA+【)+妊£IaY+TI—I)+(¥+膂ItNVIV XE二)〔a3+TI丄)+(誓+証用—辱)巴小Nrt$ 7專白 Z 劇冷龙寸+L 小冷6—r寸丄 WEIL— 7x>ewo泅 CS 7•破绥回4二sm...LW一竺..• 7寿冷希+31—知冷(①—殳寸zee劇逹寸+1W哥rms(6ID」寸丄叵回: 坛IWPWT泅(I) 旬冷等+1 ACH 刻;S(I)寺丄 9 05 4-wsgllmz^®Lw \L\LCMr+r】vl(电f$uh+uI日5」11a潢1.、」e99s«A+哽fsgr+—VIe貝命—枣f«col+i ste0AK>>a399墓"I「k=gg—;: I硬『SUI+I硬二LG雯菩.t—-i+p+7J抵尸二幕+F)+(: 皆匚亲上)+(;皆 呉'9: CJ ml_—i)+s(++hphf 二: 山)+賈小 frM 9b 20 +IE P2d 1.用Fourier方法证明差分恪式(LI3)稳定的充要条件是存尸兰£(1—23)7(0兰0生£)2 (〔1门) 直jui_yJt 丄二二各盹需-+屹? )+(1B昭厂屿+咕)])卩q6 z为兰别-Eti&栩谨1|艮\1(弱—D外冷{寸ELVPVI训 唄世<辭粮吊awg—电—二界冷$fe--lwpwo汕 gL 鼻羽宦11毬硝料»底根鼻制屯总金+尬劄冷总丄)导—lvl釧筒总E丄— NE養)0 勺隶寺+L 丄 -? 厶aI嗫IDA+ITH电(LI竜3U^A—二 厶(m—站十El容、)々A(glD+(宅'T血+zI *K壬)4+昏岛—殳盲甩电気IL〕+ 鼻3£抵+零*e—吕$气亍佥: 拎€—常>2 7感冬£上;科¥肯Ihv£id+k3+奢IKSHVIV-S T +E宁+沖小 穗定性的充要条件是网稱比F=穴/屛垂*q7 证明: L)+计 =e忆严屮少一小+严丹 +艺/(严匕砰_/A〃)+c卯甩讷2h 岛宀十詁宀严W U1-/=2rvfc(cos皿一1)Hvfc2? sin 2h vi+1-[1+2r(cosok一1)+—订垃曲+亡討萨屮 h -tJti 严i-[j-4rsin2(曲/2)+—sinc^i+crjv1*jk C? (丙,書)=1-4rsin(朋/2)+—sin喊+d h C? (心,t)-G(x,,0)|二f+-sin庶足Lipschtiz连续屮 则少一致有界等价于常((7口=1-分肋(必⑵)一致有畀“ 而G;—敢有畀的充要条件杲r<1 P2(5族 3证明差分格式仪 甲-町=妙仗;严;-喟+唱)(a>0)u^~u^=妙(碳;p严+眯;) q81■■.」;•.「亍;: '... (1+^)hJ+1-沁;;=盘畑;+1 一car^^i+(1+a显严=(1-agj+aru^i (1+—aru: ;二总也j+i+Q—妙)肚; —arw^+(1+dr)wi'+1=(1一°尸)诃;十(w': 二口严) 品氐*蜥aaifgfi令盘j二片童,Wj二v泸仪 1+旳屮严-—汙严5=严側+(]_甘卅押 -毋时严押护+(1十少)讨曾谊=(1-狞)喙吨T护宀爭 "z.sA+1JU1-i曲£i曲,/=*sX (1+a尸)卩]一an/】e=arv}e+(1-a尸) -arv^^+(1+曲)谑4二(1-ar}^+arv^ 「严1 0' 「,1 V1kd 二 (1+ar)-ar&~lak (1-ary+are^ vi 0 (1十ar)—areieA (1一岔)+◎啲询(1+”)+妙严 0 乂(1-好)+"总T朋(1+时)-心严 (1-")+3严 (1+直尸)-are~ltA (1-ar)+are~lfifl (1+ar)-曲严 1-
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 微分方程 数值 习题 解答