固体物理13-18参考答案.pdf
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习题习题18.1一维周期势场中电子的波函数一维周期势场中电子的波函数k(x)应当满足布洛赫定理。
若晶格常数时)应当满足布洛赫定理。
若晶格常数时a,电子的波函数为:
,电子的波函数为:
3
(1)()sin
(2)()cos(3)()()(4)()
(1)()kkkllklxxxxiaaxfxlaxfxla=其中其中f(xla)是个确定的函数。
试求布洛赫电子在这些状态的简约波矢。
)是个确定的函数。
试求布洛赫电子在这些状态的简约波矢。
4.3电子周期场的势能函数为电子周期场的势能函数为2221(),()20,
(1)mbxnanabxnabVxnabxnab+=+当当其中其中a=4b,为常数,为常数
(1)试画出此势能曲线,并求其平均值。
)试画出此势能曲线,并求其平均值。
(2)用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个带隙宽度。
)用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个带隙宽度。
势能曲线势能曲线011()LikxikxVeVxedxLL=势能的平均值:
势能的平均值:
222111()2nabikxikxnabVNembxnaedxLL+=222()2nabnabNVmbxnadxL+=xnaLNa=令,222221296bbaVmbdma+=20011()()()ninaaiKaVneVdeVdaa=()2221,()20mbbbVxbb+=+当,当将将代入代入2222222211()()2()2inbabinbabVnembdamebda+=22221()2ibabmVebda+=42222()2ibabmVebda+=112gEV=晶体的第一个禁带宽度:
晶体的第一个禁带宽度:
222gEV=晶体的第二个禁带宽度:
晶体的第二个禁带宽度:
例题例题4.12设有二维正方晶格,晶体势场为设有二维正方晶格,晶体势场为22(,)4coscosUxyUxyaa=用近自由电子近似的微扰论,近似求出布里渊区顶角用近自由电子近似的微扰论,近似求出布里渊区顶角,aa处的能隙。
处的能隙。
()()()()22222222,2222(,)2coscosixyixyixyixyaaaaaaaaUxyUxyxyaaaaUeeee=+=+解解:
因此只有因此只有22222222,aaaaaaaa这四个倒格矢的傅氏展开系数为这四个倒格矢的傅氏展开系数为U,其余的傅氏展开系数为其余的傅氏展开系数为0。
因为。
因为,在布里渊区顶处,自由电子能量是四重简并的在布里渊区顶处,自由电子能量是四重简并的,kaa=0123()0(,)222220,(0,),(,0),(,),nnKKkkaaKKKKaaaa=i相应的傅氏展开系数为相应的傅氏展开系数为:
0,0,0,U。
它们相应的零级能量都相等。
它们相应的零级能量都相等。
()1()()mikKrkmmraKeN+=i波函数展开式为波函数展开式为波函数中除了含有的项外,其它项都可忽略,波函数可近似为波函数中除了含有的项外,其它项都可忽略,波函数可近似为123(0),(),(),()aaKaKaK123()()12()31()(0)()()()ikKrikKrikrkikKrraeaKeaKeNaKe+=+iiii0()()()kkkHrHrEr+=薛定谔方程薛定谔方程012300010002030()()()()()()()0KKKKaEEUaKEEUaKEEUaKEEU+=分别以左乘方程,对分别以左乘方程,对x积分积分,可得可得01230*0*0*0*,KKKK0102031012132021233031320123012310231203()(0)()()()0(0)()()()()0(0)()()()()0(0)()()()()0KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKEEaUaKUaKUaKUaEEaKUaKUaKUaUaKEEaKUaKUaUaKUaKEEaK+=+=+=+=123(0),(),(),()aaKaKaK由的系数行列式等于012311213221233313200000KKKKKKKKKKKKKKKKKKEEUUUUEEUUUUEEUUUUEE=0000000000000EEUEEUUEEUEE=()4400EEU=EE的四个根为:
的四个根为:
0000,EUEUEUEU+因此能隙为因此能隙为2U例题例题15.1某种简单立方结构晶体,按近自由电子近似求得电子的费米能为:
某种简单立方结构晶体,按近自由电子近似求得电子的费米能为:
EF=EK/2|UK|+此处此处K=2/a(1,0,0),EK/2为为K/2点自由电子的能量,点自由电子的能量,UK为对应为对应K的傅立叶系数。
证明:
的傅立叶系数。
证明:
(1)当当0时费米面只在第一布里渊区内时费米面只在第一布里渊区内
(2)当当02|UK|时费米球进入第二布里渊区,在布里渊区边界上交成半径为时费米球进入第二布里渊区,在布里渊区边界上交成半径为1,2的两个圆,这两个圆之间的面积为的两个圆,这两个圆之间的面积为24KmU?
解:
解:
(1)当当0时,时,EK/2|UK|+EK/2|UK|。
因为。
因为EK/2为为K/2点自由电子的能量,此时自由电子费米球与第一布里渊区边界面相切。
点自由电子的能量,此时自由电子费米球与第一布里渊区边界面相切。
EK/2|UK|是半径为是半径为K/2的近自由电子费米球面上电子在布里渊区边界面上属于第一布里渊区的能量。
的近自由电子费米球面上电子在布里渊区边界面上属于第一布里渊区的能量。
EK/2|UK|是半径为是半径为K/2近自由电子费米球面上电子在布里渊区边界面上属于第二布里渊区的能量。
因此当近自由电子费米球面上电子在布里渊区边界面上属于第二布里渊区的能量。
因此当0时,近自由电子费米球的半径将小于时,近自由电子费米球的半径将小于K/2,故费米能面只在第一布里渊区内。
,故费米能面只在第一布里渊区内。
(2)当当02|UK|时时,EK/2|UK|EF2|UK|时时EF=EK/2|UK|+EK/2+|UK|费米面进入第二布里渊区费米面进入第二布里渊区.在布里渊区边界两侧在布里渊区边界两侧,费米面的截线为两个圆。
费米面的截线为两个圆。
()22222221212,2222kkkkUkUkkUmmm=+=?
()()2222221122222212122,4kkkaamkkU=+=+=?
19.1如果费米面在一布里渊区边界相截成两个圆周,其半径差为如果费米面在一布里渊区边界相截成两个圆周,其半径差为k0,如果,如果k0很小,以很小,以2/2m=1为单位,证明:
为单位,证明:
(1)k0=VG/k0,其中,其中k0为小圆半径,为小圆半径,VG为晶体周期势场在此布里渊区边界的傅里叶分量。
为晶体周期势场在此布里渊区边界的傅里叶分量。
(2)以以k0和和k0+k0为半径的圆环面积为为半径的圆环面积为2VG。
()()()1202212121200242GkmkkV=+=?
022GGmkVV=?
()2212242GGmVV=?
圆环面积圆环面积习题习题4.4用紧束缚近似求出体心立方和面心立方晶体用紧束缚近似求出体心立方和面心立方晶体s态原子能级相对应的能带态原子能级相对应的能带ES(k)函数。
求相应的能带宽度。
)函数。
求相应的能带宽度。
0()()ssikRisRNearestEkJJRe=?
能量本征值能量本征值当只计入最近邻格点原子的相互作用时,s态原子能级相对应的能带函数可以表示为:
当只计入最近邻格点原子的相互作用时,s态原子能级相对应的能带函数可以表示为:
()sEk?
0()()ssikRsssRNearestEkJJRe=?
00,0,222222,00,0,222222,00,0,222222,00,0,222222aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa面心立方晶格如图所示。
任意选取一个格点为原点。
有12个最邻近的格点,其位置为面心立方晶格如图所示。
任意选取一个格点为原点。
有12个最邻近的格点,其位置为022saaRijk=+?
将将等12个格矢代入等12个格矢代入0()()ssikRsssRNearestEkJJRe=?
()()ssrr=?
s态波函数为偶宇称态波函数为偶宇称*1()()()()()0sisiJJRRUVd=?
具有相同的值表示为具有相同的值表示为()sJR?
1()sJJR=?
01()ssikRssRNearestEkJJe=?
将将022saaRijk=+?
代入计算代入计算()022()2sxyzsxyaakRkikjkkijkakRkk=+=+?
()2(cossin)(cossin)2222xysaikkikRyyxxeekakakakaii+=?
类似表示共有类似表示共有12项项经过化简得到:
经过化简得到:
01()4(coscos22coscoscoscos)2222ysxsyxzzkakaEkJJkakakaka=+?
01(0,0,0)12SkEJJ=?
能带底能带底012(,0,0)4SkEJJa=+?
能带顶能带顶116J能带宽度是能带宽度是体心立方格子如图所示,任意选取一个格点为原点。
有8个最邻近的格点,其位置为体心立方格子如图所示,任意选取一个格点为原点。
有8个最邻近的格点,其位置为,222222,222222,222222,222222aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa222saaaRijk=+?
将将等12个格矢代入等12个格矢代入0()()ssikRsssRNearestEkJJRe=?
()()ssrr=?
s态波函数为偶宇称态波函数为偶宇称*1()()()()()0sisiJJRRUVd=?
具有相同的值表示为具有相同的值表示为()sJR?
1()sJJR=?
01()ssikRssRNearestEkJJe=?
将将222saaaRijk=+?
()222()2sxyzsxyzaaakRkikjkkijkakRkkk=+=+?
代入计算代入计算()2(cossin)22(cossin)(cossin)2222xyzsaikkkikRxxyyzzkakaeeikakakakaii+=?
类似表示共有类似表示共有8项项经过化简得到:
经过化简得到:
01()8coscoscos222ysxzskakakaEkJJ=?
01(0,0,0)8SkEJJ=?
能带底能带底012(,0,0)8SkEJJa=+?
能带顶能带顶116J能带宽度是能带宽度是4.7有一一维单原子链,原子间距为有一一维单原子链,原子间距为a,总长度为,总长度为Na。
(1)用紧束缚近似方法求出与原子用紧束缚近似方法求出与原子s态能级相对应的能带态能级相对应的能带ES(k)函数;)函数;
(2)求出能态密度函数的表达式;求出能态密度函数的表达式;(3)如果每个原子如果每个原子s态上只有一个电子,求态上只有一个电子,求T=0K时的费米能级及费米能级上的能态密度。
时的费米能级及费米能级上的能态密度。
4.13证明面心立方晶体的证明面心立方晶体的s带紧束缚近似下的带紧束缚近似下的ES(k)函数,在沿布里渊区几个主对称轴方向,可以约化成以下形式:
)函数,在沿布里渊区几个主对称轴方向,可以约化成以下形式:
222
(1)0,01)4(12cos)21
(2),0)212cos23(3),0,0)44(cos2cos)212(4)0,01)24(coscosyzxsxyzsxyzszxysXkkkaELkkkaEKkkkaEWkkkaaE=+=+=沿(沿(沿(沿(11coscos)22+解:
解:
面心立方最近邻的原子数为面心立方最近邻的原子数为12,根据禁束缚近似,根据禁束缚近似S带计算公式,带计算公式,Es(K)把各方向的把各方向的Kx、Ky、Kz值代入上式即可得到相应的答案,具体计算略。
值代入上式即可得到相应的答案,具体计算略。
习题习题5.1已知一维晶体的电子能带可以写成已知一维晶体的电子能带可以写成2271()coscos288Ekkakama=+?
其中其中a是晶格常数,试求是晶格常数,试求
(1)能带宽度,能带宽度,
(2)电子在波矢电子在波矢k的状态时的速度,的状态时的速度,(3)能带顶部和底部电子的有效质量。
能带顶部和底部电子的有效质量。
1)能带底部:
1)能带底部:
kE0,(0)0=能带顶部:
能带顶部:
2222712,()(coscos2)88kEaamama=+=?
222()(0)EEEama=?
能带宽度:
能带宽度:
2)电子在波矢k的状态时的速度:
2)电子在波矢k的状态时的速度:
21()1(),()(sinsin2)4dEkvkvkkakadkma=?
3)有效质量由3)有效质量由2222222224*/,(coscos2)8EEmakaakakkma=?
*1coscos22mmkaka=0,*2kmm=能带底部电子的有效质量:
能带底部电子的有效质量:
能带顶部电子的有效质量:
能带顶部电子的有效质量:
km2,*3ma=5.2晶格常数为晶格常数为2.5的一维晶格,当外加的一维晶格,当外加102V/m和和107V/m电场时,分别估算电子自能带底部运动到能带顶部所需要的时间。
电场时,分别估算电子自能带底部运动到能带顶部所需要的时间。
12tk=T简约布里渊区宽度=2电子在空间运动速度dkFdt=?
()dkqEvkdt=?
/2()/TaatvkEq=?
17.1利用近自由电子近似简并微扰讨论一维问题的结果,在布里渊区边界附近,波矢为利用近自由电子近似简并微扰讨论一维问题的结果,在布里渊区边界附近,波矢为)1(=ank能量为:
能量为:
222
(1)2
(1)nnnnnnnnnnTVTVTVETVTVTV+=+讨论带底电子和带顶空穴的有效质量。
讨论带底电子和带顶空穴的有效质量。
17.2利用紧束缚近似求出的体心立方和面心立方晶体利用紧束缚近似求出的体心立方和面心立方晶体s态原子能级相对应的能带态原子能级相对应的能带ES(k)函数,讨论)函数,讨论s态原子能级相对应的能带宽度、带底电子和带顶空穴的有效质量。
提示:
体心立方带顶在态原子能级相对应的能带宽度、带底电子和带顶空穴的有效质量。
提示:
体心立方带顶在H点,坐标为点,坐标为(0,1/2,0);面心立方带顶在;面心立方带顶在W点,坐标为点,坐标为(1/2,1/4,0)。
紧束缚近似求出的体心立方晶体紧束缚近似求出的体心立方晶体s态原子能级相对应的能带态原子能级相对应的能带ES(k)函数)函数01()8coscoscos222ysxzskakakaEkJJ=?
01(0,0,0)8SkEJJ=?
能带底能带底012(,0,0)8SkEJJa=+?
能带顶能带顶116J能带宽度是能带宽度是22*2221/2xxxEmkJa=?
带底电子有效质量同理可得带底电子有效质量同理可得22*221122yyzzmmJaJa=?
2*212xxyyzzmmmJa=?
带顶电子的有效质量带顶电子的有效质量2*212xxyyzzmmmJa=?
带顶空穴的有效质量带顶空穴的有效质量紧束缚近似求出的和面心立方晶体紧束缚近似求出的和面心立方晶体s态原子能级相对应的能带态原子能级相对应的能带ES(k)函数)函数01()4(coscos22coscoscoscos)2222ysxsyxzzkakaEkJJkakakaka=+?
01(0,0,0)12SkEJJ=?
能带底能带底0122(,0,0)(,0)4SkkEJJaaa=+?
能带顶能带顶116J能带宽度是能带宽度是22*2221/2xxxEmkJa=?
带底电子有效质量同理可得带底电子有效质量同理可得22*221122yyzzmmJaJa=?
带顶电子的有效质量比较复杂,计算方法相似。
带顶电子的有效质量比较复杂,计算方法相似。
习题习题4.10向铜中掺锌,一些铜原子被锌原子取代。
采用自由电子模型,求锌原子与铜原子之比为何值时,费米球与第一布里渊区边界相接触。
(铜是面心立方,单价,锌是二价)。
4.10向铜中掺锌,一些铜原子被锌原子取代。
采用自由电子模型,求锌原子与铜原子之比为何值时,费米球与第一布里渊区边界相接触。
(铜是面心立方,单价,锌是二价)。
f.c.c的第一的第一BZ为为14面体,面体,14面体表面离中心点最近的点为L点。
坐标为L距离为面体表面离中心点最近的点为L点。
坐标为L距离为2111(,)222a3La=()1/323Fkn=费米球半径为费米球半径为费米球与费米球与f.c.c的第一的第一b.z相切相切()1/3235.43Fknaa=35.4na=34anaf.c.c原子密度为原子密度为3335.448
(1)0.35nxxaaax=+=锌原子与铜原子之比为0.35:
0.65锌原子与铜原子之比为0.35:
0.655.3证明在磁场中运动的布洛赫电子,在5.3证明在磁场中运动的布洛赫电子,在k空间中轨道面积空间中轨道面积Sn和在和在r空间中轨道面积空间中轨道面积An之间的关系为:
之间的关系为:
2nnASqB=?
()dkdkdrqvkBqBdtdtdt=?
rkqB=?
在在k空间中轨道面积空间中轨道面积Sn和在和在r空间中轨道面积空间中轨道面积An之间的关系为之间的关系为可知,在垂直于B平面内线元可知,在垂直于B平面内线元r与与k的关系为的关系为2nnASqB=?
5.45.4
(1)根据自由电子模型计算钾的德根据自由电子模型计算钾的德哈斯范哈斯范阿尔芬效应的周期阿尔芬效应的周期
(2)对于对于B=1T,在实空间电子运动的轨道面积有多大?
,在实空间电子运动的轨道面积有多大?
1B212211122FFFSqqBBBNSNSkS=?
5.5设电子等能面为椭球5.5设电子等能面为椭球
(1)求电子的能态密度;求电子的能态密度;
(2)求电子作准经典运动的有效质量;求电子作准经典运动的有效质量;(3)如果外场如果外场B相对于椭球主轴方向余弦为相对于椭球主轴方向余弦为,,写出电子的准经典运动方程;,写出电子的准经典运动方程;(4)证明电子绕磁场回转频率为。
其中证明电子绕磁场回转频率为。
其中*qBm=1/2222*123123mmmmmmm+=习题习题19.1正方点阵自由电子能量。
正方点阵自由电子能量。
(1)对于一个简单正方点阵(二维),证明第一布里渊区顶点上的自由电子动能比该区侧边中心处的电子动能大一倍,对于一个简单正方点阵(二维),证明第一布里渊区顶点上的自由电子动能比该区侧边中心处的电子动能大一倍,
(2)对于简单立方点阵(三维)上述结果如何?
对于简单立方点阵(三维)上述结果如何?
(3)上述结果和二价金属的电导率可能有什么关系。
上述结果和二价金属的电导率可能有什么关系。
19.2同种原子组成的二维密排结构,原子间距为同种原子组成的二维密排结构,原子间距为a,求:
,求:
(1)前三个布里渊区,前三个布里渊区,
(2)每个原子平均有一个自由电子时的费米波矢,每个原子平均有一个自由电子时的费米波矢,(3)第一布里渊区的内切圆半径,第一布里渊区的内切圆半径,(4)内切圆为费米圆时平均每个原子的自由电子数,内切圆为费米圆时平均每个原子的自由电子数,(5)平均每个原子有两个自由电子时,简约区中费米面的图形。
平均每个原子有两个自由电子时,简约区中费米面的图形。
二维六角密排原胞基矢二维六角密排原胞基矢123322322aaaijaaaijack=+=+=+=+=它的倒格子空间的基矢为:
它的倒格子空间的基矢为:
1232232232bijaabijaabkc=+=+=+=+=19.3求体心立方结构中,第一布里渊区的内切球和外接球分别为费米球时,各自对应的平均每个原子的自由电子数。
求体心立方结构中,第一布里渊区的内切球和外接球分别为费米球时,各自对应的平均每个原子的自由电子数。
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