高中数学第2章统计22频率分布直方图与折线图学案苏教版必修3.docx
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高中数学第2章统计22频率分布直方图与折线图学案苏教版必修3
§2.2 总体分布的估计
2.2.1 频率分布表
2.2.2 频率分布直方图与折线图
内容要求 1.理解用样本的频率分布估计总体分布的方法(难点);2.会列频率分布表,画频率分布直方图、频率分布折线图(重点);3.能够利用图形解决实际问题.
知识点一 频率分布表与频率分布直方图
1.频率分布表
当总体很大或不便于获得时,可以用样本的频率分布估计总体的频率分布,我们把反映总体频率分布的表格称为频率分布表.
2.频率分布直方图
把横轴分成若干段,每一段对应一个组的组距,然后以此线段为底作一矩形,它的高等于该组的
,这样得出一系列的矩形,每个矩形的面积恰好是该组的频率.这些矩形就构成了频率分布直方图.
【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)制作频率分布表时,组距与组数的确定有固定的标准.( )
(2)频率分布直方图中,各小矩形的面积总和为1.( )
答案
(1)×
(2)√
知识点二 频率分布折线图与总体密度曲线
1.频率分布折线图
如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来,就得到频率分布折线图,简称频率折线图.如图所示.
2.总体分布的密度曲线
如果将样本容量取得足够大,分组的组距取得足够小,那么相应的频率折线图将趋于一条光滑曲线,我们称这条光滑曲线为总体分布的密度曲线.如图所示.
【预习评价】
对于样本频率分布折线图与总体分布的密度曲线的关系,有下列说法:
①频率分布折线图与总体分布的密度曲线无关;
②频率分布折线图就是总体分布的密度曲线;
③样本容量很大的频率分布折线图就是总体分布的密度曲线;
④如果样本容量无限增大,分组的组距无限减小,那么频率分布折线图就会无限趋于总体分布的密度曲线.
其中正确的是________(填序号).
解析 总体分布的密度曲线通常都是用样本频率分布估计出来的.如果样本容量无限增大,分组的组距无限减小,那么频率分布折线图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线就是总体分布的密度曲线.
答案 ④
题型一 基本概念的理解
【例1】 一个容量为n的样本分成若干组,已知某组的频数和频率分别为30和0.25,则n等于________.
解析 某一组的频率等于该组的频数与样本容量的比.由于
=0.25,所以n=120.
答案 120
规律方法 频率=
,利用此式可知二求一.
【训练1】 一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为________组.
答案 9
题型二 频率分布表及其应用
【例2】 下表给出了从某校500名12岁男孩中利用随机抽样得出的120人的身高(单位:
cm):
区间界限
[122,126)
[126,130)
[130,134)
[134,138)
[138,142)
人数
5
8
10
22
33
区间界限
[142,146)
[146,150)
[150,154)
[154,158]
人数
20
11
6
5
(1)列出样本频率分布表;
(2)估计身高小于134cm的人数占总人数的百分比.
解
(1)样本频率分布表如下:
分组
频数
频率
[122,126)
5
0.04
[126,130)
8
0.07
[130,134)
10
0.08
[134,138)
22
0.18
[138,142)
33
0.28
[142,146)
20
0.17
[146,150)
11
0.09
[150,154)
6
0.05
[154,158]
5
0.04
合计
120
1
(2)由样本频率分布表可知身高小于134cm的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=0.19,所以我们估计身高小于134cm的人数占总人数的19%.
规律方法 1.绘制频率分布表的基本步骤:
(1)求全距,决定组数和组距,组距=
;
(2)分组,通常对组内数值所在区间取左闭右开区间,最后一组取闭区间;
(3)登记频数,计算频率,列出频率分布表.
2.
(1)由频率的定义不难得出,各组数据的频率之和为1,因为各组数据的频数之和为样本容量,在列频率分布表时,可以利用这种方法检查是否有数据的丢失.
(2)组数与样本容量有关,一般地,样本容量越大,分的组数也越多.当样本容量不超过100时,按照数据的多少,常分成5~12组.
(3)在确定分组区间的端点,即分点时,应对分点进行适当调整,使分点比数据多一位小数,并确保每个数据均能落在一个区间内,而不是处于区间的端点.
(4)组距与组数的确定没有固定的标准,将数据分组时,组数应力求合适,以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来.
【训练2】 某中学40名男生的体重数据如下(单位:
kg):
61 60 59 59 59 58 58 57 57 57 57 56 56 56 56 56 56 56 55 55 55 55 54 54 54 54 53 53 52 52 52 52 52 51 51 51 50 50 49 48
请根据上述数据列相应的频率分布表.
解
(1)计算最大值与最小值的差,61-48=13;
(2)确定组距与组数,取组距为2,
=6
,所以共分7组;
(3)确定分点,使分点比数据多一位小数,并把第一小组分点减小0.5,即分成如下七组:
[47.5,49.5),[49.5,51.5),[51.5,53.5),[53.5,55.5),[55.5,57.5),[57.5,59.5),[59.5,61.5];
(4)列出频率分布表如下:
分组
频数
频率
[47.5,49.5)
2
0.05
[49.5,51.5)
5
0.125
[51.5,53.5)
7
0.175
[53.5,55.5)
8
0.20
[55.5,57.5)
11
0.275
[57.5,59.5)
5
0.125
[59.5,61.5]
2
0.05
合计
40
1.00
【例3】 为了了解一大片经济林的生长情况,人们随机测量其中的100株树木的底部周长(单位:
cm),得到如下数据:
135 98 102 110 99 121 110 96 100 103
1259711711311092102109104112
1051248713197102123104104128
10912311110310592114108104102
12912697100115111106117104109
1118911012180120121104108118
12999909912112310711191100
991011169710210810195107101
1021081179911810611997126108
12311998121101113102103104108
(1)列出频率分布表;
(2)绘制频率分布直方图、频率分布折线图.
解
(1)从数据中可以看出,这组数据的最大值为135,最小值为80,故极差为55,可将其分为11组,组距为5.列频率分布表如下:
分组
频数
频率
[80,85)
1
0.01
[85,90)
2
0.02
[90,95)
4
0.04
[95,100)
14
0.14
[100,105)
24
0.24
[105,110)
15
0.15
[110,115)
12
0.12
[115,120)
9
0.09
[120,125)
11
0.11
[125,130)
6
0.06
[130,135]
2
0.02
合计
100
1.00
(2)画频率分布直方图、频率分布折线图如图所示.
【迁移1】 为了了解高一年级学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图所示),图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组的频数为12.
(1)第二小组的频率是多少?
样本容量是多少?
(2)若次数在110以上(含110次)为达标,则该校全体高一年级学生的达标率约是多少?
解
(1)频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的,
因此第二小组的频率为
=0.08.
因为第二小组的频率=
,
所以样本容量=
=
=150.
(2)由直方图可估计该校全体高一年级学生的达标率约为
×100%=88%.
【迁移2】 200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示,时速在[50,60)内的汽车有________辆.
解析 因为小长方形的面积即为对应的频率,时速在[50,60)内的频率为0.3,所以有200×0.3=60(辆).
答案 60
【迁移3】 为了解某地居民的月收入情况,一个社会调查机构调查了20000人,并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示(最后一组包含两端值,其他组包含最小值,不包含最大值).现按月收入分层,用分层抽样的方法在这20000人中抽出200人进一步调查,则月收入在[1500,2000)(单位:
元)的应抽取________人.
解析 月收入在[1500,2000)的频率为1-(0.0002+0.0005×2+0.0003+0.0001)×500=0.2,故应抽取200×0.2=40(人).
答案40
规律方法 1.频率分布直方图的性质:
(1)因为小矩形的面积=组距×
=频率,所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样,频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.
(2)在频率分布直方图中,各小矩形的面积之和等于1.
(3)
=样本容量.
2.频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性,由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率,可近似地估计总体在这一范围内的可能性.
课堂达标
1.已知一个容量是40的样本,把它分成六组,第一组到第四组的频数分别是5,6,7,10,第五组的频率是0.2,那么第六组的频数是________,频率是________.
解析 因为频率=
,所以频数=频率×样本容量,因为第五组的频率是0.2,样本容量是40,所以频数是0.2×40=8,所以第六组的频数是40-(5+6+7+10+8)=4,所以第六组的频率是
=0.1.
答案 4 0.1
2.某种树木的底部周长的取值范围是[80,130],它的频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有________株树木的底部周长小于100cm.
解析 由题意知在抽测的60株树木中,底部周长小于100cm的株数为(0.015+0.025)×10×60=24.
答案 24
3.某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图所示,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是________.
解析 因为第一、第二小组的频率分别是0.005×20=0.1,0.010×20=0.2,所以低于60分的频率是0.1+0.2=0.3.设该班的学生人数为m,则
=0.3,所以m=50.
答案 50
4.为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:
kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组,如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为________.
解析 志愿者的总人数为
=50,
所以第三组人数为50×0.36×1=18,
所以有疗效的人数为18-6=12.
答案 12
5.下面是对一组数据的统计:
范围
频数累计
频数
频率
频率累计
[-10,-8)
3
[-8,-6)
6
[-6,-4)
17
[-4,-2)
28
[-2,0)
25
[0,2)
20
0.20
[2,4)
0.13
[4,6)
8
[6,8)
98
[8,10]
0.02
合计
100
(1)完成表格;
(2)画出频率分布直方图.
解 由于样本数据已经给出,我们只要根据这些数据,按照列频率分布表的一般步骤操作即可.
(1)表格如下:
范围
频数累计
频数
频率
频率累计
[-10,-8)
3
3
0.03
0.03
[-8,-6)
9
6
0.06
0.09
[-6,-4)
17
8
0.08
0.17
[-4,-2)
28
11
0.11
0.28
[-2,0)
53
25
0.25
0.53
[0,2)
73
20
0.20
0.73
[2,4)
86
13
0.13
0.86
[4,6)
94
8
0.08
0.94
[6,8)
98
4
0.04
0.98
[8,10]
100
2
0.02
1
合计
100
1.00
(2)频率分布直方图如图所示:
课堂小结
1.总体分布指的是总体取值的频率分布规律,由于总体分布不易知道,因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布.
2.当总体中的个体取值较多时,将样本数据恰当分组,用各组的频率分布描述总体的分布,方法是用频率分布表或频率分布直方图.
基础过关
1.已知样本7,10,14,8,7,12,11,10,8,10,13,10,8,11,8,9,12,9,13,20,那么这组数据落在[8.5,11.5)内的频率为________.
解析 样本的总数为20,数据落在[8.5,11.5)内的个数为8,故所求频率为
=0.4.
答案 0.4
2.一个样本的容量为72,分成5组,已知第一、五组的频数都为8,第二、四组的频率都为
,则第三组的频数为________.
解析 因为频率=
,所以第二、四组的频数都为72×
=16.所以第三组的频数为72-2×8-2×16=24.
答案 24
3.如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图,则由图形中的数据,样本落在[15,20)内的频数为________.
解析 样本数据落在[15,20]内的频数为100×[1-5×(0.04+0.1)]=30.
答案 30
4.为了解宿迁市高三学生的身体发育情况,抽查了宿迁市100名高三男生的体重.根据抽样测量后的男生体重(单位:
kg)数据绘制的频率分布直方图如图所示,则这100名学生中体重值在区间[56.5,64.5)的人数是________.
解析 根据频率分布直方图可知组距为2,∴体重值在区间[56.5,64.5)内的频率为(0.03+0.05+0.05+0.07)×2=0.4,∴体重值在区间[56.5,64.5)内的人数为100×0.4=40.
答案 40
5.对某种电子元件使用寿命跟踪调查所得样本频率分布直方图如图.由图可知这一批电子元件中寿命在100~300h的电子元件的数量与寿命在300~600h的电子元件的数量的比是________.
解析 由题意知数量的比即为所对应的小矩形的面积和之比,即
×100∶1-
×100=1∶4.
答案 1∶4
6.如图所示是总体的一个样本频率分布直方图,且在[15,18)内频数为8.
(1)求样本在[15,18)内的频率;
(2)求样本容量;
(3)若在[12,15)内的小矩形面积为0.06,求在[18,33)内的频数.
解 由样本频率分布直方图可知组距为3.
(1)由样本频率分布直方图得样本在[15,18)内的频率为
×3=
.
(2)∵样本在[15,18)内频数为8,由
(1)可知样本容量为
=8×
=50.
(3)∵在[12,15)内的小矩形面积为0.06,故样本在[12,15)内的频率为0.06,故样本在[15,33)内的频数为50×(1-0.06)=47,又在[15,18)内频数为8,故在[18,33)内的频数为47-8=39.
7.新华中学高三年级参加市一轮验收考试的同学有1000人,用系统抽样法抽取了一个容量为200的学生总成绩的样本,分数段及各分数段人数如下(满分750分):
分数段/分
[250,350)
[350,450)
[450,550)
[550,650)
[650,750]
人数
20
30
80
40
30
(1)列出频率分布表;
(2)画出频率分布直方图;
(3)一批本科模拟上线成绩为550分,试估计该校的一批本科上线人数.
解
(1)频率分布表如下:
分数段/分
频数
频率
[250,350)
20
0.10
[350,450)
30
0.15
[450,550)
80
0.40
[550,650)
40
0.20
[650,750]
30
0.15
合计
200
1.00
(2)频率分布直方图如图
(3)由频率分布表知,在样本中成绩在550分以上的人数的频率为0.20+0.15=0.35.
由此可以估计,该校一批本科模拟上线人数约为0.35×1000=350(人).
能力提升
8.某中学举行的电脑知识竞赛,满分100分,80分以上为优秀,现将高一两个班参赛学生的成绩整理后分成五组,绘制成频率分布直方图,已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组频率分别为0.30,0.05,0.10,0.05.第二小组频数为40,则参赛的人数和成绩优秀的频率分别为________.
解析 第二小组的频数为40,第二小组的频率为1-0.30-0.05-0.10-0.05=0.50,
∴参赛人数为
=80,
第四,五小组的频率为0.10+0.05=0.15.
答案 80,0.15
9.某路段检查站监控录像显示,在某段时间内有2000辆车通过该站,现随机抽取其中的200辆进行车速分析,分析结果表示为如图所示的频率分布直方图,则图中a=________,估计在这段时间内通过该站的汽车中速度不小于90km/h的约有________辆.
解析 由于本题中的组距为10,所以直方图中5组的频率分别为0.1,10a,0.4,0.25和0.05,由频率和为1可得a=0.02.样本中不小于90km/h的汽车所占的频率为0.25+0.05=0.3,故在这段时间内通过该站的汽车中速度不小于90km/h的约有2000×0.3=600(辆).
答案 0.02 600
10.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50到350度之间,频率分布直方图如图所示.
(1)直方图中x的值为________;
(2)在这些用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为________.
解析
(1)第一组的频率为0.0024×50=0.12,
第二组的频率为0.0036×50=0.18,
第三组的频率为0.0060×50=0.3,
第五组的频率为0.0024×50=0.12,
第六组的频率为0.0012×50=0.06,
所以第四组的频率为1-0.12-0.18-0.3-0.12-0.06=0.22,
所以x=0.22÷50=0.0044.
(2)用电量落在区间[100,250)内的户数为第二、三、四组的数据,所以(0.18+0.3+0.22)×100=0.7×100=70.
答案
(1)0.0044
(2)70
11.某工厂对一批产品进行了抽样检测.下图是根据抽样检测后的产品净重(单位:
克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是________.
解析 ∵样本中产品净重小于100克的频率为(0.050+0.100)×2=0.3,频数为36,
∴样本总数为
=120.
∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,
∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0.75=90.
答案 90
12.从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高,被测学生身高全部介于155cm和195cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:
第一组[155,160),第二组[160,165),…,第八组[190,195],下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为4人.
(1)求第七组的频率;
(2)估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm以上(含180cm)的人数.
解
(1)第六组的频率为
=0.08,所以第七组的频率为1-0.08-5×(0.008×2+0.016+0.04×2+0.06)=0.06.
(2)身高在第一组[155,160)的频率为0.008×5=0.04,
身高在第二组[160,165)的频率为0.016×5=0.08,
身高在第三组[165,170)的频率为0.04×5=0.2,
身高在第四组[170,175)的频率为0.04×5=0.2,
由于0.04+0.08+0.2=0.32<0.5,0.04+0.08+0.2+0.2=0.52>0.5,
估计这所学校的800名男生的身高的中位数为mcm,则170<m<175.
由0.04+0.08+0.2+(m-170)×0.04=0.5,得m=174.5.
所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm.
由
(1)和直方图得后三组的频率为0.08+0.06+0.008×5=0.18,
故身高在180cm以上(含180cm)的人数为0.18×800=144.
13.(选做题)若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm时,则视为合格品,否则视为不合格品.在近期一次产品抽样检查中,从某厂生产的此种产品中,随机抽取5000件进行检测,结果发现有50件不合格品.计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位:
mm),将所得数据分组,得到如下频率分布表:
分组
频数
频率
[-3,-2)
0.10
[-2,-1)
8
(1,2]
0.50
(2,3]
10
(3,4]
合计
50
1.00
(1)将上面表格中缺少的数据填在相应位置;
(2)估计该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的频率;
(3)现对该厂这种产品的
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- 高中数学 统计 22 频率 分布 直方图 折线 图学案苏教版 必修