完整版选修23随机变量及其分布知识点总结材料典型例题doc.docx
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2-3随机变量及其分布
要点归纳
一、离散型随机变量及其分布列
1.
(1)随机变量:
在随机试验中,我们确定了一个对应关
系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这
个对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化.像这种
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.通常用字
母X,Y,ξ,η等表示.
(2)离散型随机变量:
所有取值可以一一列出的随机变量
称为离散型随机变量.
(3)离散型随机变量的分布列:
一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,
x2,xi,xn,X取每一个值xi(i=1,2,,n)的概率
P(X=xi)=pi,以表格的形式表示如下:
X
x1
x2
xi
xn
P
p1
p2
pi
pn
我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为
X的分布列.有时为了简单起见,也用等式P(X=xi)=pi,
i=1,2,,n表示X的分布列.
(4)离散型随机变量的分布列的性质:
①pi≥0,i=1,2,,n;
n
②pi=1.
i=1
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(5)常见的分布列:
两点分布:
如果随机变量X的分布列具有下表的形式,则称X服从两点分布,并称p=P(X=1)为成功概率.
X
0
1
P
1-p
p
两点分布又称
0-1分布,伯努利分布.
超几何分布:
一般地,在含有
M件次品的
N件产品中,任取
n件,其中恰有X件次品,则事件
{X=k}发生的概率为
P(X=
k
n-k
CMCN-M
,k=0,1,2,,m,即
k)=
n
CN
X
0
1
m
0n-0
1n-1
mn-m
P
CMCN-M
CMCN-M
CMCN-M
CNn
CNn
CNn
其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式,则称随机变量X
服从超几何分布.
2.二项分布及其应用
(1)条件概率:
一般地,设A和B是两个事件,且P(A)>0,
P(AB)
称P(B|A)=P(A)为在事件A发生的条件下,事件B发生
的条件概率.P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率.
(2)条件概率的性质:
①0≤P(B|A)≤1;
②必然事件的条件概率为1,不可能事件的条件概率为0;
③如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+
P(C|A).
(3)事件的相互独立性:
设A,B为两个事件,如果P(AB)=
P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立.如果事件A与B
----
相互独立,那么A与B,A与B,A与B也都相互独立.
(4)独立重复试验:
一般地,在相同条件下重复做的n次试
验称为n次独立重复试验.
(5)二项分布:
一般地,在n次独立重复试验中,设事件A
发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那
么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为
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P(X=k)=Cpk(1-p)n-k,k=0,1,2,,n.此时称随机
变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概
率.两点分布是当n=1时的二项分布,二项分布可以看成
是两点分布的一般形式.
3.离散型随机变量的均值与方差
(1)均值、方差:
一般地,若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
xi
xn
P
p1
p2
pi
pn
则称E(X)=x1p1+x2p2++xipi++xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水
平.
n
称D(X)=(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,D(X)为
i=1
随机变量X的标准差.
(2)均值与方差的性质:
若Y=aX+b,其中a,b是常数,X
是随机变量,则Y也是随机变量,且E(aX+b)=aE(X)+
b,
D(aX+b)=a2D(X).
(3)常见分布的均值和方差公式:
①两点分布:
若随机变量
X服从参数为p的两点分布,则均值E(X)=p,方差D(X)=
p(1-p).
②二项分布:
若随机变量X~B(n,p),则均值E(X)=np,
方差D(X)=np(1-p).
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(2)正态曲线的特点:
①曲线位于x轴上方,与x轴不相交;
②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
1
③曲线在x=μ处达到峰值σ2π;
④曲线与x轴之间的面积为1.
(3)μ和σ对正态曲线的影响:
①当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x
轴平移;
②当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.
(4)正态分布的3σ原则:
若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ
-σ<X≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954
4,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974.
在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值,并简称之为3σ原
则.
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专题一条件概率
1.条件概率的求法
(1)利用定义,分别求出P(A)和P(AB),解得P(B|A)=
P(AB)
P(A).
(2)借助古典概型公式,先求事件
A包含的基本事件数
n(A),再在事件A发生的条件下求事件
B包含的基本事
件数n(AB),得P(B|A)=n(AB)
n(A).
2.解决概率问题要注意“三个步骤,一个结合”
(1)求概率的步骤是:
第一步,确定事件性质;
第二步,判断事件的运算;
第三步,运用公式.
(2)概率问题常常与排列、组合知识相结合.
【例1】在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题,求:
(1)第1次抽到理科题的概率;
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率;
(3)在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率.
解设“第1次抽到理科题”为事件A,“第2次抽到理科题”为
事件B,则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB.
(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n(Ω)=A25=
20.
根据分步乘法计数原理,n(A)=A13×A14=12.
n(A)123
于是P(A)=n(Ω)=20=5.
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专题二相互独立事件的概率
1.求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查,解答此类问题时应分清事件间的内部联系,在些
基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件,并运用相应公式求解.
2.特别注意以下两公式的使用前提
(1)若A,B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B),反之不成立.
(2)若A,B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B),反之成立.
【例2】甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件,甲机床加
工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为1,
4
乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的
概率为
1,甲丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为
2
12
9.
(1)分别求出甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品
的概率;
(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一
等品的概率.
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专题三离散型随机变量的分布列、均值与方差
1.离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种:
超几何分布与二项分布,由于这两种分布列在生活中应用较为
广泛,故在高考中对该知识点的考查相对较灵活,常与期望、方差融合在一起,横向考查.
2.对于分布列的求法,其难点在于每个随机变量取值时相关
概率的求法,计算时可能会用到等可能事件、互斥事件、
相互独立事件的概率公式等.
3.均值与方差都是随机变量重要的数字特征,方差是建立在
均值这一概念之上的,它表明了随机变量所取的值相对于
它的均值的集中与离散程度,二者联系密切,在现实生产
生活中特别是风险决策中有着重要意义,因此在当前的高
考中是一个热点问题.
【例3】某地区试行高考考试改革:
在高三学年中举行5次统一
测试,学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学
继续学习,不用参加其余的测试,而每个学生最多也只能参加
1
5次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是3,每次测试时
间间隔恰当.每次测试通过与否互相独立.
(1)求该学生考上大学的概率;
(2)如果考上大学或参加完5次测试就结束,记该生参加测试的次数为X,求X的分布列及X的数学期望.
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1
1
23
24
=
16
.
P(X=5)=C4··
+
3
27
3
3
故X的分布列为:
X
2
3
4
5
P
1
4
4
16
9
27
27
27
1
4
4
16
38
E(X)=2×9+3×
27+4×
27+5×
27=
9.
【例4】(2012·枣庄检测)某单位为了参加上级组织的普及消防知
识竞赛,需要从两名选手中选出一人参加.为此,设计了一个
挑选方案:
选手从6道备选题中一次性随机抽取3题.通过考
查得知:
6道备选题中选手甲有4道题能够答对,2道题答错;
选手乙答对每题的概率都是23,且各题答对与否互不影响.设
选手甲、选手乙答对的题数分别为ξ,η.
(1)写出ξ的概率分布列(不要求计算过程),并求出E(ξ),
E(η);
(2)求D(ξ),D(η).请你根据得到的数据,建议该单位派哪个选手参加竞赛?
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ξ
1
2
3
解
(1)ξ的概率分布列为
1
3
1
P
5
5
5
所以E(ξ)=1×15+2×35+3×15=2.
2
2
由题意,η~B3,3
,E(η)=3×
3=2,
0
13
1
;
或者P(η=0)=C3
3
=
27
P(η=1)=C13231132=29;
P(η=2)=C2323213=49;P(η=3)=C33233=278,
专题四正态分布
【例5】某市去年高考考生成绩服从正态分布N(500,502),现有25000名考生,试确定考生成绩在550~600分的人数.
2
解∵考生成绩X~N(500,50),
∴P=(550<X≤600)
1
=2[P(500-2×50<X≤500+2×50)-P(500-50<X≤500+
50)]
1
=2(0.9544-0.6826)=0.1359.
故考生成绩在550~600分的人数约为25000×0.1359
≈3398(人).
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