方程的根与函数的零点 说课稿.docx
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方程的根与函数的零点说课稿
3.1.1方程的根与函数的零点(说课稿)
一、教材分析
•本节课处于第一节课时,为接下来的二分法做好扎实的基础。
同时本节课是连接代数与解析几何的一个纽带,能够促进学生更好的形成数形结合的思想。
对今后的学习具有不可替代的作用。
•学生在以往已经对一元一次以及二次方程的性质有所了解,学习本课难度不大
教学重点
1.根据二次函数的图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程根的个数
2.函数零点的概念
3.函数零点存在性的判定方法
教学难点
•函数零点的概念
•函数零点存在性的判定方法
二、教学目标
1、知识与技能
会数形结合的理解方程的根、函数的图像与X轴的交点与函数的零点之间的关系;
会用函数图象的交点解释相应的方程的根的意义
理解函数零点存在的条件
2、过程与方法
通过数形结合,类比归纳出一元二次方程的根与交点的关系;
理解方程的根、函数的图像与X轴的交点与函数的零点之间的相互转换的数学思维。
从方程的根、函数的图像与X轴的交点与函数的零点之间的关系感受数学的统一性与完美性;
结合数形结合,函数与方程相互转换的而数学思想体验从由具体到抽象、由特殊到一般的认识事物的意识。
三、教学法选择
教法:
启发式教学
学法:
归纳类比,特殊到一般,自主探究
四、教学设计
1、课题导入
三次方程的Cardano公式与四次方程的Ferrari公式诞生后,世界上许多数学家与数学爱好者寻求一般五次方程求根公式,但迟迟没有得到解决。
大约三百年之后,在1824年,挪威学者Abel终于证明了:
一般的一个代数方程,如果方程的次数n≥5,那么此方程不可能用根式求解。
即不存在根式表达的一般五次方程求根公式。
这就是著名的Abel定理
设计意图:
由数学史导入课题,生动有趣,且富有启发性,并为接下来的讲授做好铺垫。
同时点明了本节课的目的与作用。
从一开始就调动学生的积极性。
2、一元二次方程根与函数图像的关系
教师在黑板上写下这3个方程‘
观察以下3个具体的一元二次方程及其对应的函数
(1)y=x2+2x-3与x2+2x-3=0
(2)y=x2+2x+1与x2+2x+1=0
(3)y=x2+2x+3与x2+2x+3=0
问题
1、一元二次方程的根与二次函数的图象有什么关系?
2、从上面三个实例中得到一般的一元二次方程的实根与相应的二次函数与x轴交点横坐标的关系吗
设计意图:
从图形可知选择这3个方程的目的所在。
它们分别代表着1个、2个、0个根的一元二次方程。
方程简单,图形直观。
对于学生的启发具有积极作用。
而且这2个问题从根本上紧扣着本节课的重点知识点,好的问题往往能启发学生的思维。
学生带着这2个问题去思考,目的明确。
不难得出接下来的结论。
使学生具有一种成就感。
之后老师可以以第一个为例作出图形并求出函数的根。
同时解答问题。
接下来可以借助多媒体把所有的都列表出来。
设计意图:
通过直观的对比,学生很容易看出方程的根与函数在X轴的交点之间的关系,激发学生的学习兴趣。
结论:
二次函数图象与x轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。
于是方程的根与函数图像x轴交点个数一样。
以前我们知道对于一元二次方程的根可由△与0的大小比较来刻画,于是函数图像x轴交点个数便可通过△来刻画。
设计意图:
通过前面的探究,学生已然得出结论。
此时教师再把结论板书到黑板上。
用比较精确地数学表达出来,同时加深学生对结论的理解,为接下来的推广做好铺垫。
推广结论:
一般地,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点和相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有何关系?
(以a>0为例,a<0类似)
结论:
二次函数图象与x轴交点的横坐标就是相应方程的实数根
设计意图:
有了前面的基础,推广本结论便顺理成章。
至此已将要讲授的结论推广到最一般的形式。
并且通过△来刻画。
使学生感受到数学的统一性,激发学习兴趣。
3、函数零点
定义:
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
比如2是使得x-2=0,因此2是y=x-2的零点。
注意:
零点是一个数,而不是一个坐标。
不能说(2,0)是y=x-2的零点
设计意图:
由于零点的概念比较重要且学生易错,因此在讲完概念后先举个例子使学生容易理解。
同时用一个错例来避免学生走入误区
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
得出这个结论后我将提问:
“由上面可知要求方程的根即是求其对应的函数的零点。
对于那些不能由求根公式求出根的方程时该怎么办?
”
设计意图:
本问具有承上启下的作用,启发学生用所学知识去思考,同时引出下面的探究。
4.探究:
请同学们观察函数f(x)=x²-2x-3的图象,并计算f(-2)与f
(1)的乘积,f
(2)与f(4)的乘积,有什么特点?
学生不难得出:
f(-2)×f
(1)<0,函数f(x)=x²-2x-3在区间(-2,1)内有零点x=1,
它是方程x²-2x-3=0的一个根
同样的,f
(2)×f(4)<0,函数f(x)=x²-2x-3在区间(2,4)内有零点x=3,它是方程
x²-2x-3=0的另一个根.
设计意图:
通过自主探究的方式可以加深课堂的趣味性,同时会加深学生对该定理的理解,为下面的函数的零点存在性定理做好基础
5函数的零点存在性
一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)×f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。
提醒学生注意定理中连续不断的重要性。
之后问:
请观察这两个图形说明为什么它们不满足函数的零点存在性定理?
设计意图:
连续不断是函数的零点存在性定理中一个必不可少的条件。
用两个反例来说明这个问题。
简洁明了,印象较深刻。
1求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数解:
用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表(表3-1)和图象(图3.1—3)
由表3-1和图3.1—3可知f
(2)<0,f(3)>0,即f
(2)·f(3)<0,
说明这个函数在区间(2,3)内有零点。
由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,所以
它仅有一个零点。
提问:
•这个函数的单调性?
(口头证明)
•你怎样解释该函数的根的情况?
设计意图:
通过本题的训练学生可以较好的掌握函数的零点存在性定理。
本题采用与信息技术相结合的方式,可以叫直观的得出结论加深印象。
同时希望通过这2个提问,使学生达到学以致用的目的。
1.作出函数的图像,并指出其零点所在的大致区间f(x)=-x3-3x+5
2.求证:
方程5x2-7x-1=0的一个根在区间(-1,0)内,另一个根在区间(1,2)内.
3..函数
的零点所在的大致区间是(B)
A.(1,2)B.(2,3)
C.(3,4)D.(4,5)
4..已知函数
有一个零点为2,则函数g(x)=bx2-ax的零点是(D)
设计意图:
通过4个难度逐渐增加的练习来巩固所学内容。
8.小结
1、二次函数图象与x轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。
2、方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
3、如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)×f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点
9.板书
课本P88:
1(4)2
(1)
设计意图:
作业比较简单但是却包含着本节课最重要的知识点,学生最重要的是要掌握本节课所学的,再通过练习巩固一下。
方程的根与函数的零点
数学系10级4班骆家玉
一、教学目标:
1、知识与技能:
a、理解函数零点的定义;
b、掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系;
数学
2、过程与方法:
a、从一元二次方程根的求解以及相应函数图象,探索出零点的概念与方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系;
b、通过习题与探究知识的相关性设置,引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法;
c、特殊到一般的方法;
3、情感、态度与价值观:
a、让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值;
b、培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯;
c、使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。
二、教学重点
零点的概念及零点存在性的判定。
三、教学难点
探究判断函数的零点个数和所在区间的方法。
四、教学手段
PPT
五、教学方法
教法:
启发引导、类比、归纳教学 学法:
自主探索、探究式、合作交流
六、教学过程设计
(一)引入课题
问题引入:
求方程
(1)、3x+2=0
(2)、x2-5x+6=0(3)、91x2+73x-116=0(4)、lnx+2x-6=0的实数根。
问:
一次、二次、三次、四次方程的解都可以通过系数的四则运算,乘方与开方等运算来表示,但高于四次的方程不能用公式求解。
lnx+2x-6=0的实数根很难下手,我们寻求新的角度,之前我们学习了函数的概念以及函数的性质,思考一下我们能否用函数的思想去刻画方程的根呢?
设计意图:
从学生的认知冲突中,引发学生的好奇心和求知欲,推动问题进一步的探究。
通过简单的引导,让学生课后自己阅读相关内容,培养他的自学能力和更广泛的兴趣。
开门见山的提出函数思想解决方程根的问题,点明本节课的目标。
(二)新知探究
1、零点的概念
问题1求方程x2-2x-3=0的实数根,并画出函数y=x2-2x-3的图象;
方程x2-2x-3=0的实数根为-1、3。
函数y=x2-2x-3的图象如图所示。
问题2观察形式上函数y=x2-2x-3与相应方程x2-2x-3=0的联系。
函数y=0时的表达式就是方程x2-2x-3=0。
问题3由于形式上的联系,则方程x2-2x-3=0的实数根在函数y=x2-2x-3的图象中如何体现?
y=0即为x轴,所以方程x2-2x-3=0的实数根就是y=x2-2x-3的图象与x轴的交点横坐标。
设计意图:
以学生熟悉二次函数图象和二次方程为平台,观察方程和函数形式上的联系,从而得到方程实数根与函数图象之间的关系。
理解零点是连接函数与方程的结点。
初步提出零点的概念:
-1、3既是方程x2-2x-3=0的根,又是函数y=x2-2x-3在y=0时x的值,也是函数图象与x轴交点的横坐标。
-1、3在方程中称为实数根,在函数中称为零点。
问题4函数y=x2-2x+1和函数y=x2-2x+3零点分别是什么?
函数y=x2-2x+1的零点是-1。
函数y=x2-2x+3不存在零点。
设计意图:
应用定义,加深对概念的理解。
提出零点的定义:
对于函数
,把使
成立的实数
叫做函数
的零点.(zeropoint)
2、函数零点的判定:
研究方程的实数根也就是研究相应函数的零点,也就是研究函数的图象与x轴的交点情况。
想一想怎样求函数的零点?
引导学生归纳出求函数的零点有两种方法:
①代数法:
求方程f(x)=0的实数根;
②几何法:
将它与函数y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点。
3、函数零点的存在性定理
观察下面函数f(x)=0的图象并回答
设计意图:
教师引导学生结合函数图象,分析函数在区间端点上的函数值的符号情况,与函数零点是否存在之间的关系。
引导根据函数零点的意义结合函数图象,归纳得出函数零点存在的条件,并进行交流、评析总结概括形成结论。
通过上述探究,让学生自己概括出零点存在性定理:
一般地,我们有:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
针对定理提出疑问:
(1)若只给条件f(a)·f(b)<0,能否保证函数y=f(x)在(a,b)一定有零点?
(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则f(a)·f(b)<0一定成立吗?
(3)零点唯一吗?
通过反例运用图像解决学生提出的问题:
A.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)·f(b)<0,则只能确定f(x)在区间(a,b)内有零点,有几个不一定。
B.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)·f(b)>0,则f(x)在区间(a,b)内也可能有零点。
C.在零点存在性定理的条件下,如果函数再具有单调性,函数y=f(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点。
(三)新知应用与深化
例题 求函数
的零点个数.
分析:
用计算器或计算机作出x,
的对应值表和图象。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
由表可知,f
(2)<0,f(3)>0,则
,这说明函数
在区间(2,3)内有零点。
结合函数
的单调性,进而说明
零点是只有唯一一个.
设计意图:
学生应用例题1方法来解决例题2的零点存在性问题,并结合函数的单调性,从图象的直观上去判断零点的个数问题。
(四)总结归纳
通过引导让学生回顾零点概念、意义与求法,以及零点存在性判断,鼓励学生积极回答,然后老师再从数学思想方面进行总结.
小结:
1、零点的定义;2、方程的根与函数零点的等价关系; 3、函数存在性定理
设计意图:
总结 知识提升 解题意识 延伸课堂思维,增强应用意识
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