全国高考理科解析几何高考题汇编.docx
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全国高考理科解析几何高考题汇编
2015-2017高考解析几何汇编
一
.已知
F
为抛物线
2
的焦点,过F作两条互相垂直的直线
l
1,l2,直线l1与C
017()10
C:
y=4x
交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为
A.16
B.14
C.12
D.10
一
.(
分)已知椭圆
:
x2
y2
=1
(
),四点
(1,1),P(0,1),P(–1,
2017()2012
C
2
b
2
a>b>0
P1
2
3
a
3),P4(1,3)中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
22
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:
l过定点.
2
2
2
2017
(二)9.若双曲线C:
x2
y2
1(a0,b
0)的一条渐近线被圆
4所截得
x2y2
a
b
的弦长为2,则C的离心率为
A.2
B.3
C.2
D.23
3
2017
(二)20.(12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:
x2
y2
1上,过M作x轴的垂线,
2
垂足为N,点P满足NP
2NM.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设点Q在直线x
3上,且OPPQ
1.证明:
过点P且垂直于OQ的直线l过C的
左焦点F.
三
.已知椭圆
:
x2
y2
1,(
)的左、右顶点分别为
A1
,A2,且以线段A12
2017(
)10
C
a2
b2
a>b>0
A
为直径的圆与直线bx
ay
2ab
0相切,则C的离心率为
A.6
B.3
C.2
D.1
3
3
3
3
1
2017(三)20.(12分)已知抛物线C:
y2=2x,过点(2,0)的直线l交C与A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.
(1)证明:
坐标原点O在圆M上;
(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.
x2y2
2017(天津)(5)已知双曲线a2b21(a0,b0)的左焦点为F,离心率为2.若经过F和
P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为
(A)x2
y2
x2
y2
x2
y2
1
()x2
y2
4
4
1(B)
8
1(C)
8
D
1
8
4
8
4
2017(天津()19)(本小题满分14分)设椭圆x2
y2
1(ab
0)的左焦点为F,右顶点为A,
a2
b2
离心率为1
.已知A是抛物线y2
2px(p0)的焦点,F到抛物线的准线的距离为
1.
2
2
(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;
(II)设上两点P,Q关于轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与轴
相交于点D.若△APD的面积为6,求直线AP的方程.
2
二
(
)已知
F
1,F2是双曲线E
的左,右焦点,点M在E上,MF1与
轴
2016()
11
垂直,sin,则E的离心率为(A)(B)(C)(D)2
2016
(二)(20)(本小题满分12分)
已知椭圆E:
的焦点在轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M
两点,点N在E上,MA⊥NA.
(I)当t=4,时,求△AMN的面积;(II)当时,求k的取值范围.
2
北京
(本小题
14
分)已知椭圆
C:
x2
y2
(a
b0)的离心率为
3,
,
2016(
)19.
2
b
21
A(a,0)
a
2
B(0,b),O(0,0),OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P的椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.
求证:
ANBM为定值.
2016
(一)(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=
42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为
(A)2
(B)4
(C)6
(D)8
2016
(一)20.
(本小题满分12分)
设圆x2
y2
2x150的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D
两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
(I)证明EAEB为定值,并写出点E的轨迹方程;
(II)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q
两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
三(
)已知
O
为坐标原点,
F
是椭圆
:
x2
y2
1(ab0)的左焦点,
A
,
B
分别为
2016()11
C
b2
a2
C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为
(A)1
(B)1
(C)2
(D)3
3
2
3
4
2016(三)(20)(本小题满分12分)
已知抛物线C:
y2
2x的焦点为
,平行于
x
轴的两条直线
,
两点,交
C
F
l1,l2分别交C于AB
的准线于P,Q两点.
(I)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;
3
(II)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
2015
(二)(11)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,?
ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为
(A)√5(B)2(C)√3(D)√22015
(二)20.(本小题满分12分)
已知椭圆C:
9x2y2m2(m0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交
点A,B,线段AB的中点为M。
(1)证明:
直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;
(2)若l过点(m,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?
若
3
能,求此时l的斜率;若不能,说明理由。
2015
(一)(5)已知M(x0,y0)是双曲线C:
x2
y2
1上的一点,F1、F2是C上的两个焦点,
2
若MF1
MF2
<0,则y0
的取值范围是
(A)(-
3,
3)
(B)(-
3,3)(C)(22,22)(D)(
23,23)
3
3
6
6
3
3
3
3
2015
(一)(20)(本小题满分12分)
在直角坐标系xoy中,曲线C:
y=x2
与直线y
kxa(a>0)交与M,N两点,
4
(Ⅰ)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;
(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?
说明理由。
2015(陕西)14.
若抛物线y2
2px(p
0)的准线经过双曲线
x2
y2
1的一个焦点,则
p=
.
2
2
2015(陕西)20.(本小题满分
12分)已知椭圆
:
x2
y2
1(a
b0)的半焦距为c,原点
到
1
a
b
经过两点
c,0
,
0,b的直线的距离为
c.(I)求椭圆
的离心率;(II)如图,
是圆
:
5的一条直径,若椭圆
2
2
y
2
x2
1
经过
,
两点,求椭圆
的方
2
4
程.
2017
(一)10.【答案】A
2017
(一)20.试题分析:
(1)根据3
,4
两点关于y轴对称,由椭圆的对称性可知
C经过
3,
P
P
P
P4
两点
另外由1
1
1
3
知,
C
不经过点1,所以点P2在C上.因此P,P,P在椭圆
.
2
2
2
2
P
2
34
a
b
a
4b
上,代入其标准方程,即可求出C的方程;
(2)先设直线P2与直线
2
的斜率分别为
k
1,
A
PB
2,再设直线l的方程,当l与x轴垂直时,通过计算,不满足题意,再设l:
y
kx
m(m
1),
k
将
代入
x2
y
2
1
,写出判别式,利用根与系数的关系表示出
1
2,x12,进而表
ykx
m
4
x+x
x
5
示出k1k2,根据k1
k2
1列出等式表示出k和m的关系,从而判断出直线恒过定点.
试题解析:
(1)由于P3,P4
两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3
,P4两点.
又由1
1
1
3
知,
C
不经过点
1,所以点P2
在C上.
a2
b2
a2
4b2
P
1
1,
解得a
2
4,
2
因此b
3
1
1,
b2
1.
2
2
a
4b
2
故C的方程为x
y2
1.
4
(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,
如果l与x轴垂直,设l:
x=t,由题设知t
,可得A,B的坐标分别为(t,4t
2
0
,且|t|2
),
2
2
(t,
4
t
).
2
则k1
k2
4
t2
2
4
t2
2
1,得t
2,不符合题设.
2t
2t
从而可设l:
ykxm(m
1).将y
kx
m代入x2
y
2
1得
4
(4k2
1)x2
8kmx4m2
4
0.
由题设可知
=16(4k
m
1)
0.
2
2
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=
8km
4m2
4
.
,x1x2=
2
1
4k2
1
4k
而k1
k2
y1
1
y21
x1
x2
kx1
m
1
kx2
m
1
x1
x2
2kx1x2
(m
1)(x1
x2).
x1x2
由题设k1
k2
1,故(2k
1)x1x2
(m
1)(x1
x2)
0.
即
1)
4m2
4
(m1)
8km
0.
4k2
1
4k2
1
(2k
解得k
m
1.
2
当且仅当m
1时,
0,于是l:
y
m
1
x
m,即y
1
m
1
2),
2
(x
2
所以l过定点(2,
1).
6
2017
(二)9试题分析:
由几何关系可得,双曲线
x2
y2
1a
0,b0的渐近线方程为
a2
b2
bx
ay
0,圆心
2,0到渐近线距离为d22
12
3,则点2,0
到直线bxay
0的距
离为d
2b
a0
2b
3
,
a2
b2
c
即4(c2
a2)
3,整理可得
c
2
4a
2
,双曲线的离心率
e
c2
4
2
.故选.
c2
a2
A
2017
(二)20.(12分)
2017(三)10.A
2017(三)20.解
(1)设Ax1,y1,Bx2,y2,l:
xmy2
由
x
my2
2my4
0,则y
y4
2
可得y2
2x
1
2
y
7
y1
2
y2
2
y1y2
2
又x1
=4
=
x2=
2
故x1x2=
4
2
因此OA的斜率与OB的斜率之积为y1
y2=-4=-1
x1
x24
所以OA⊥OB
故坐标原点O在圆M上.
(2)由
(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=my1+y2+4=2m24
故圆心M的坐标为m2+2,m,圆M的半径r
m2
2
m2
2
由于圆M过点P(4,-2),因此APBP
0,故x1
4
x24
y1
2
y2
20
即x1x2
4x1+x2
y1y2
2y1
y2
200
由
(1)可得y1y2=-4,x1x2=4,
所以2m2
m1
0,解得m
1或m
1
.
2
当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为
10,圆M的
方程为x
32
y12
10
当m
1时,直线l的方程为2x
y4
0,圆心M的坐标为
9,-1
,圆M的半径为
85,
2
4
2
4
圆M的方程为
9
2
1
2
85
x
+
y+
16
4
2
2017(天津)(5)【答案】B
【解析】由题意得a
b,4
1
c
4,ab2
2
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