高考理科数学答案及解析.docx
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高考理科数学答案及解析
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标II卷)理科数学
1、已知集合M={x|(x-1)²<4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N=().
(A){0,1,2}(B){-1,0,1,2}(C){-1,0,2,3}(D){0,1,2,3}
解析:
M={x|(x-1)²<4R}={x|-1<x<3},N={-1,0,1,2,3}
∴M∩N={0,1,2},选A.
2、设复数z满足(1-i)z=2i,则z=()
(A)-1+i(B)-1-i(C)1+i(D)1-i
解析:
由(1-i)z=2i,
得z=2i/(1-i)=2i(1+i)/[(1-i)(1+i)]=2(i+i²)/(1-i²)=2(i-1)/(1+1)=-1+i
3、等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()
(A)1/3(B)-1/3(C)1/9(D)-1/9
解析:
∵S3=a1+a2+a3=a2+10a1
∴a3=9a1,即a1·q²=9a1,q²=9
又a5=9,即a1·(q²)²=9
∴a1=1/9,选C.
4、已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l¢α,l¢β,则()
(A)α∥β且l∥α(B)α⊥β且l⊥α
(C)α与β相交,且交线垂直于l(D)α与β相交,且交线平行于l
解析:
由m⊥平面α,直线l满足l⊥m,且l⊄α,所以l∥α,
又n⊥平面β,l⊥n,l⊄β,所以l∥β.
由直线m,n为异面直线,且m⊥平面α,n⊥平面β,则α与β相交,否则,若α∥β则推出m∥n,
与m,n异面矛盾.
故α与β相交,且交线平行于l.
故选D.
5、已知(1+ax)(1+x)^5的展开式中x²的系数为5,则a=
(A)-4(B)-3(C)-2(D)-1
解析:
(1+ax)(1+x)^5的展开式中x²的系数为C5²+aC51=5,即10+5a=5,∴a=-1,选D
6、执行右面的程序框图,如果输入的N=10,那么输出的S=
解析:
k=1,S=0,T=1
T=T/k,S=S+T,K=K+1
————————————
①T=1/1=1,S=0+1=1,K=1+1=2
②T=1/2=1/2=1/2!
,S=1+1/2!
,K=2+1=3
③T=(1/2!
)/3=1/3!
,S=1+1/2!
+1/3!
,k=3+1=4
④T=(1/3!
)/4=1/4!
,S=1+1/2!
+1/3!
+1/4!
,k=4+1=5
……
⑩T=1/10!
,S=1+1/2!
+1/3!
+……+1/10!
,k=10+1=11>10=N
∴输出的S=1+1/2!
+1/3!
+……+1/10!
,选B.
7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为()
(A)(B)(C)(D)
解析:
选A.
8、
(A)c>b>a,(B)b>c>a,(C)a>c>b,(D)a>b>c.
解析:
a=1+lg2/lg3,b=1+lg2/lg5,c=1+lg2/lg7,
∵lg3<lg5<lg7
∴1+lg2/lg3>1+lg2/lg5>1+lg2/lg7
即a>b>c,选D
9、已知a>0,x、y满足约束条件x≥1,x+y≤3,y≥a(x-3).若z=2x+y的最小值为1,则a=
(A)1/4(B)1/2(C)1(D)2
解析:
如图,当目标方程z=2x+y的最小值为1时,A(1,-2a)在直线2x+y=1上
∴2-2a=1,a=1/2,选B.
10、已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c,下列结论中错误的是
(A)
(B)函数y=f(x)的图像是中心对称图形
(C)若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减
(D)若是f(x)的极值点,则f'(x0)=0.
解析:
选C.
11、设抛物线C:
y²=3px(p≥0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,3),则C的方程为
(A)y²=4x或y²=8x(B)y²=2x或y²=8x
(C)y²=4x或y²=16x(D)y²=2x或y²=16x
解析:
如图,设A(0,3)F(3p/4,0)M(5-3p/4,√[3p(5-3p/4)])
∵A在以MF为直径的圆上
∴AM⊥AF
即向量AM·向量AF=0
∴(5-3p/4,√[3p(5-3p/4)]-3)·(3p/4,-3)=0
(5-3p/4)·3p/4=3{√[3p(5-3p/4)]-3}
令√[3p(5-3p/4)]=t
则t²/4=3(t-3)
t²-12t+36=0
(t-4)(t-9)=0
解得t=4,或t=9
当t=4时,√[3p(5-3p/4)]=4
9p²-60p+64=0
(3p-4)(3p-16)=0
解得p=4/3,或p=16/3
当t=9时,√[3p(5-3p/4)]=9
9p²-60p+324=0
△<0,方程无解
∴p=4/3,或p=16/3,C的方程为y²=4x或y²=16x,选C.
12、已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是
(A)(0,1)(B)(1-√2/2,1/2)(C)(1-√2/2,1/3](D)[1/3,1/2)
解析:
分成三种情况讨论
(i)y=ax+b和x轴交点在A时,根据中线及重心性质,易得b=1/3;
(ii)当y=ax+b和x轴交点在A与原点之间时,不妨设为(x0,0)点,x0=-b/a
又设y=ax+b与BC线段交于(x1,y1),x1=(1-b)/(1+a),y1=(a+b)/(1+a)
∵S△ABC=1,
∴分割后的三角形面积=1/2=(1/2)(1-x0)y1
即(a+b)²=a(1+a)
∴a=b²/(1-2b)>0,b<1/2;
(iii)当y=ax+b和x轴交点在A点左侧时,设y=ax+b与线段CA:
y=x+1的交点(x2,y2),与线段BC:
y=-x+1交点(x3,y3)
易得x2=(1-b)/(a-1),x3=(1-b)/(a+1),
∴截得的三角形面积=(1/2)(1-b)(x3-x2)=1/2
即(1-b)²=(1-a²)/2<1/2
∴1-√2/2<b<1+√2/2
综上1-√2/2<b<1/2,选B
另外,本题作为选择题,当直线y=ax+b过A,由重心性质求出b=1/3后,再将直线y=ax+b分别向A点两侧移动,即可排除CD;又b不可能趋于0或1,排除A,故可选B.
13、已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则向量AE·向量BD=_________.
解析:
如图,建立直角坐标系,设B(0,0)D(2,2)A(0,2)E(2,1)
则向量AE=(2,-1),向量BD=(2,2)
∴向量AE·向量BD=(2,-1)·(2,2)=2×2-1×2=2
14、从n个正整数1,2,…,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为1/14,则n=_______
解析:
从n个正整数1,2,…,n中任意取出两个不同的数,其中两数之和等于5的组合有(1,4)(2,3)两个
∴任意取出两个不同的数的组合有2÷(1/14)=28个
∵28=8×7/2
∴n=8.
15、设θ为第二象限角,若tan(θ+π/4)=1/2,则sinθ+cosθ=________.
解析:
∵tan(θ+π/4)=1/2
∴(tanθ+1)/(1-tanθ)=1/2,即tanθ=-1/3
∵θ为第二象限角
∴sinθ=1/√10,cosθ=-3/√10
sinθ+cosθ=-2/√10=-√10/5
16、等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为________.
解析:
设等差数列{an}的首项为a1,公差为d
则S10=10a1+10×9d/2=0
S15=15a1+15×14d/2=25
联立解得a1=-3,d=2/3
∴f(n)=nSn=n[-3n+n(n-1)/3]=n³/3-10n²/3
令f'(n)=n²-20n/3=0
则n=0或20/3≈7
正整数n=7时,f(n)=nSn有最小值
即nSn≥f(7)=7³/3-10×7²/3=-49.
17、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB
(I)求B;
(II)若b=2,求△ABC面积的最大值.
解析:
(I)∵a=bcosC+csinB,且a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
∴sinA=sinBcosC+sinBsinC
又A=π-(B+C)
∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC
∴sinBsinC=cosBsinC
∵C∈(0,π)
∴sinC≠0
∴sinB=cosB
又B∈(0,π)
∴B=π/4
(II)△ABC面积s=1/2acsinB=√2ac/4
∵b²=a²+c²-2accosB
即4=a²+c²-2accos(π/4)
4+√2ac=a²+c²≥2ac
(2-√2)ac≤4
ac≤4/(2-√2)=2(2+√2),当且仅当a=c时,等号成立
∴△ABC面积的最大值为√2·2(2+√2)/4=√2+1.
18、如图,直棱柱ABC-A1B1C1中,D、E分别是AB、BB1的中点,AA1=AC=CB=√2/2AB.
(I)证明:
BC1∥平面A1CD;
(II)求二面角D-A1C-E的正弦值.
解析:
(I)连接AC1交A1C于F,则F是AC1的中点
又D是AB的中点,连接DF,则DF∥BC1
∵DF在平面A1CD内,BC1在平面A1CD外
∴BC1∥平面A1CD
(II)∵AC=CB=√2/2AB
∴CA⊥CB
又CC1⊥平面ABC
∴以C为坐标原点,CA为x轴,CB为y轴,CC1为z,建立空间坐标系
根据AA1=AC=CB=√2/2AB,设CA=2
则D(1,1,0),E(0,2,1),A1(2,0,2)
∴向量CD=(1,1,0),向量CE=(0,2,1),向量CA1=(2,0,2)
设向量n=(x1,y1,z1)是平面A1CD的法向量
则向量n·向量CD=0,即(x1,y1,z1)·(1,1,0)=x1+y1=0
向量n·向量CA1=0,即(x1,y1,z1)·(2,0,2)=2x1+2z1=0
可取向量n=(1,-1,-1)
同理,设向量m=(x2,y2,z2)是平面A1CE的法向量
则向量m·向量CE=0,即(x2,y2,z2)·(0,2,1)=2y2+z2=0
向量m·向量CA1=0,即(x2,y2,z2)·(2,0,2)=2x2+2z2=0
可取向量m=(2,1,-2)
从而cos<n,m>=(n·m)/(|n|·|m|)=[(1,-1,-1)·(2,1,-2)]/(√3·√9)=3/(3√3)=√3/3
∴sin<n,m>=√6/3
即二面角D-A1C-E的正弦值为√6/3.
19、经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X(单位:
t,100≤X≤150)表示市场需求量,T(单位:
元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
(I)将T表示为X的函数
(II)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率;
(III)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:
若需求量X∈[100,110),则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的频率),求T的数学期望.
解析:
(I)由题意得,当X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39000,
当X∈[130,150)时,T=500×130=65000,
∴T=800X-39000,X∈[100,130)
65000,X∈[130,150)
(II)由(I)知,利润T不少于57000元,当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,
所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.
(III)T的分布列为
T45000530006100065000
P0.10.20.30.4
∴ET=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400.
20、平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:
x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的右焦点的直线x+y-√3=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为1/2
(Ι)求M的方程
(II)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值。
解析:
(I)∵直线x+y-√3=0过椭圆M:
x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的右焦点
∴令y=0,则x=√3,即F(√3,0),c=√3
设A(x1,y1)B(x2,y2)p(x0,y0)
则x1²/a²+y1²/b²=1,x2²/a²+y2²/b²=1
∴x1²/a²+y1²/b²=x2²/a²+y2²/b²
(x1²-x2²)/a²=(y2²-y1²)/b²
b²/a²=(y2²-y1²)/(x1²-x2²)=-[(y2+y1)(y2-y1)]/[(x2+x1)(x2-x1)]
=-[(y2+y1)/(x2+x1)]·[(y2-y1)/(x2-x1)]
∵直线AB:
x+y-√3=0的斜率为-1
∴(y2-y1)/(x2-x1)=-1
又∵P为AB的中点,且OP的斜率为1/2
∴(y2+y1)/(x2+x1)=2y0/2x0=y0/x0=1/2
∴b²/a²=-(1/2)×(-1)=1/2
即a²=2b²
根据a²-b²=c²=3,得b²=3,a²=6
∴椭圆M的方程为x²/6+y²/3=1.
(II)x+y-√3=0,x²/6+y²/3=1联立得3x²-4√3x=0
即x=0或4√3/3,对应y=√3,或-√3/3
∴|AB|=√2(4√3/3-0)=4√6/3
设与AB垂直的直线CD的方程为y=x+n,(-5√3/3<n<√3)
代入x²/6+y²/3=1得3x²+4nx+(2n²-6)=0
(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=16n²/9-4(2n²-6)/3=8(9-n²)/9
∴|CD|=√2|x1-x2|=√2·√[8(9-n²)/9]=4√(9-n²)/3
∴四边形ACBD面积S=|AB|·|CD|/2=(4√6/3)·[4√(9-n²)/3]/2=8√6·√(9-n²)/9
当n=0时,S取最大值8√6·√9/9=8√6/3.
21、已知函数,f(x)=e^x-ln(x+m).
(Ι)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;
(II)当m≤2时,证明f(x)>0.
解析:
(I)f'(x)=e^x-1/(x+m)
由x=0是f(x)的极值点,得f'(0)=0
即1-1/m=0
∴m=1
于是f(x)=e^x-ln(x+1),定义域为(-1,+∞),f'(x)=e^x-1/(x+1).
∵f'(x)=e^x-1/(x+1)在(-1,+∞)上单调递增,且f'(0)=0
∴当x∈(-1,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0
∴f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
(II)当m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当m=2时,f(x)>0.
当m=2时,函数f'(x)=e^x-1/(x+2)在(-2,+∞)上单调递增.
又f'(-1)<0,f'(0)>0
故f'(x)=0在(-2,+∞)有唯一实数x0,且x0∈(-1,0)
当x∈(-2,x0)时,f'(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,从而当x=x0时,f(x)取得最小值.
由f'(0)=0得e^x0=1/(x0+2),ln(x0+2)=-x0
故f(x)≥f(x0)=1/(x0+2)+x0=(x0+1)²/(x0+2).
综上,当m≤2时,f(x)>0.
22、如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC∙AE=DC∙AF,B、E、F、C四点共圆.
(I)证明:
CA是△ABC外接圆的直径;
(II)若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.
解析:
(I)∵CD为△ABC外接圆的切线
∴∠DCB=∠A
又BC∙AE=DC∙AF,即BC/DC=FA/EA
∴△CDB∽AEF
∴∠DBC=∠EFA
又B、E、F、C四点共圆.
∴∠ABC=∠EFA
∴∠DBC=∠ABC=90°
∴AC为△ABC外接圆的直径
(II)连接CE,∵∠CBE=90°
∴过B、E、F、C四点的圆的直径为CE
设DB=BE=EA=a
则CE²=CD²=DB·DA=a·3a=3a²
AC²=AB·AD=2a·3a=6a²
∴过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值=CE²/AC²=3a²/6a²=1/2
23、已知动点P、Q都在曲线C:
x=2cost,y=2sint(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.
(I)求M的轨迹的参数方程;
(II)将M到坐标原点的距离d表示为a的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.
解析:
(I)依题意,P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α)
∴中点M(cosα+cos2α,sinα+sin2α)
∴M的轨迹的参数方程为x=cosα+cos2α,y=sinα+sin2α,(α为参数,且0<α<2π)
(II)M到坐标原点的距离
d=√(x²+y²)
=√[(cosα+cos2α)²+(sinα+sin2α)²]
=√[2+2(cosαcos2α+sinαsin2α)]
=√[2+2cos(α-2α)]
=√(2+2cosα),(0<α<2π)
∵当α=π时,d=0
∴M的轨迹过坐标原点.
24、设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:
(I)ab+bc+ac≤1/3;
(II)a²/b+b²/c+c²/a≥1
解析:
(I)由a²+b²≥2ab,a²+c²≥2ac,b²+c²≥2bc
得a²+b²+c²≥ab+ac+bc
∵a+b+c=1
∴(a+b+c)²=1
即a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=1
∴3(ab+ac+bc)≤1
即ab+ac+bc≤1/3
(II)∵b+a²/b≥2a,c+b²/c≥2b,a+c²/a≥2c
∴a²/b+b²/c+c²/a+(a+b+c)≥2(a+b+c)
即a²/b+b²/c+c²/a≥a+b+c
∴a²/b+b²/c+c²/a≥1.
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