专题11三角形的证明章末重难点题型举一反三北师大版原卷版.docx
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专题11三角形的证明章末重难点题型举一反三北师大版原卷版
专题1.1三角形的证明章末重难点题型
【北师大版】
【直击考点】
【典例分析】
【考点1等腰三角形的性质】
【方法点拨】掌握等腰三角形的性质:
1.等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
2.等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”)。
3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”)。
【例1】(2018春•金水区校级期中)已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°,则此等腰三角形的顶角是( )
A.50°B.130°C.50°或140°D.50°或130°
【变式1-1】(2018秋•洪山区期中)如图,已知AB=AC=BD,则∠1与∠2的关系是( )
A.3∠1﹣∠2=180°B.2∠1+∠2=180°
C.∠1+3∠2=180°D.∠1=2∠2
【变式1-2】(2018秋•邗江区期中)如图,若AB=AC,下列三角形能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )
A.
(1)
(2)(3)B.
(1)(3)(4)C.
(2)(3)(4)D.
(1)
(2)(4)
【变式1-3】(2018秋•新吴区期中)如图,在第一个△ABA1中∠B=20°,AB=A1B,在A1B上取一点C,延长AA1到A2,使得A1A2=A1C,得到第二个△A1A2C;在A2C上取一点D,延长A1A2到A3,使得A2A3=A2D;…,按此做法进行下去,则以点A4为顶点的等腰三角形的底角的度数为( )
A.175°B.170°C.10°D.5°
【考点2等腰三角形的判定】
【方法点拨】掌握等腰三角形的判定:
等腰三角形的判定定理:
有两个角相等的三角形是等腰三角形。
简称“等角对等边”
牢记:
(1)等腰三角形的性质“等边对等角”与等腰三角形的判定“等角对等边”的条件和结论正好相反,要注意区分;
(2)判定定理可以用来判定一个三角形是等腰三角形,同时也是今后证明两条线段相等的重要依据。
【例2】(2019春•深圳期中)如图,DE∥BC,CG=GB,∠1=∠2,求证:
△DGE是等腰三角形.
【变式2-1】(2018秋•双阳区校级期中)如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E.求证:
△BED是等腰三角形.
【变式2-2】(2018秋•鸠江区期中)已知:
如图,O为△ABC的∠BAC的角平分线上一点,∠1=∠2,求证:
△ABC是等腰三角形.
【变式2-3】(2019秋•望谟县期中)已知:
如图,锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O,且OB=OC.
求证:
△ABC是等腰三角形.
【考点3“三线合一”性质的应用】
【方法点拨】等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”)。
【例3】(2019秋•武昌区期中)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,BE平分∠ABC,G为EF的中点,求证:
AG⊥EF.
【变式3-1】(2019秋•青山区期中)在△ABC中,BC边上的高AG平分∠BAC.
(1)如图1,求证:
AB=AC;
(2)如图2,点D、E在△ABC的边BC上,AD=AE,BC=10cm,DE=6cm,求BD的长.
【变式3-2】(2019•衡阳校级期中)已知:
如图,在等边三角形ABC的AC边上取中点D,BC的延长线上取一点E,使CE=CD.求证:
BD=DE.
【变式3-3】如图所示,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC.
(1)若D为BC的中点,过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N,求证:
DM=DN;
(2)若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N,问DM和DN有何数量关系,并证明.
【考点4等边三角形的判定与性质】
【方法点拨】等边三角形的性质:
(1)等边三角形是轴对称图形,并且具有3条对称轴;
(2)等边三角形的每个角都等于60°。
等边三角形的判定:
(1)三边相等的三角形是等边三角形。
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形。
(3)有两个角是60°的三角形是等边三角形。
(4)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
【例4】(2018秋•松桃县期末)如图,点P,M,N分别在等边△ABC的各边上,且MP⊥AB于点P,MN⊥BC于点M,PN⊥AC于点N.
(1)求证:
△PMN是等边三角形;
(2)若AB=12cm,求CM的长.
【变式4-1】(2018秋•邵阳县期末)如图,在等边△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,且OD∥AB,OE∥AC
(1)试判定△ODE的形状,并说明你的理由;
(2)若BC=10,求△ODE的周长.
【变式4-2】(2019秋•寿光市期末)如图,A、B、C三点在同一直线上,分别以AB、BC为边,在直线AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE,连接AE交BD于点M,连接CD交BE于点N,连接MN得△BMN.
(1)求证:
△ABE≌△DBC.
(2)试判断△BMN的形状,并说明理由.
【变式4-3】(2019秋•中江县期末)如图,△ABC中,AB=BC=AC=12cm,现有两点M、N分别从点A、点B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为1cm/s,点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达B点时,M、N同时停止运动.
(1)点M、N运动几秒后,M、N两点重合?
(2)点M、N运动几秒后,可得到等边三角形△AMN?
(3)当点M、N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN?
如存在,请求出此时M、N运动的时间.
【考点5直角三角形全等的判定】
【方法点拨】对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理(斜边、直角边定理):
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)
【例5】(2018秋•思明区校级月考)如图,在四边形ABCD中,AD⊥BD,AC⊥CB,BD=AC.求证:
△ABD≌△BAC;
【变式5-1】(2019秋•睢宁县校级月考)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,一条直线MN=AB,M、N分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AP上运动.问点M运动到什么位置,才能使△ABC和△AMN全等?
并证明你的结论.
【变式5-2】(2019秋•合浦县期末)如图,已知∠A=∠D=90°,E、F在线段BC上,DE与AF交于点O,且AB=CD,BE=CF.求证:
Rt△ABF≌Rt△DCE.
【变式5-3】(2019春•醴陵市期末)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CA平分∠BCD,AE⊥BC于点E,AF⊥CD交CD的延长线于点F.
求证:
△ABE≌△ADF.
【考点6直角三角形性质的综合应用】
【方法点拨】掌握直角三角形两条重要的性质:
(1)斜边上的中线为斜边的一半。
(2)30°角所对直角边为斜边一半。
且两直角边成
倍关系。
【例6】(2019春•沙坪坝区校级期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,过点A作AE⊥CD于点F,交CB于点E,且∠EAB=∠DCB.
(1)求∠B的度数:
(2)求证:
BC=3CE.
【变式6-1】(2019春•新密市期中)如图,在等边三角形ABC中,AB=4,点E是AC边上的一点,过点E作DE∥AB交BC于点D,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.
(1)求证:
△CEF是等腰三角形;
(2)点E满足 时,点D是线段BF的三等分点;并计算此时△CEF的面积.
【变式6-2】(2019•沙坪坝区校级三模)如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=30°,∠ABC的角平分线BE交AC于点E.点D为AB上一点,且AD=AC,CD,BE交于点M.
(1)求∠DMB的度数;
(2)若CH⊥BE于点H,证明:
AB=4MH.
【变式6-3】(2019春•城关区校级期中)小明在学完北师大数学八年级(下)第一章后,看到这样一道题目:
“已知,如图
∠ABC=∠ADC=90°,M、N分别是AC、BD的中点,求证:
MN⊥BD.小明思考片刻,找到了解决方法,他做了辅助线.聪明的你知道他做的辅助线是什么吗?
怎么证明的?
小明又突然想到,在边AD上能找一点P,使得PB=PD,请你写出证明过程.
【考点7角平分线性质的应用】
【方法点拨】掌握角平分线的性质定理:
角平分线上的点到角两边的距离相等
牢记:
(1)角平分线的性质是证明线段相等的一个比较简单的方法;
(2)当遇到有关角平分线的问题时,通常过角平分线上的点向角的两边作垂线,构造相等的线段。
【例7】(2019春•港南区期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,若AB=6cm,则△DBE的周长是( )
A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm
【变式7-1】(2018秋•九龙坡区校级期中)如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,已知△ABC的面积为28.AC=6,DE=4,则AB的长为( )
A.6B.8C.4D.10
【变式7-2】(2018秋•思明区校级期中)如图,△ABC中,AB=6,AC=4,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE=2,则BF的长为( )
A.3B.4C.5D.6
【变式7-3】(2018秋•西城区校级期中)如图,AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=24,DE=4,AB=7,则AC长是( )
A.3B.4C.6D.5
【考点8线段垂直平分线性质的应用】
【方法点拨】掌握线段垂直平分线的性质定理:
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
注意:
(1)这里的距离指的是点与点之间的距离,也就是两点之间线段的长度。
(2)在使用该定理时必须保证两个前提条件:
一是垂直于这条线段,二是平分这条线段。
【例8】(2019春•普宁市期中)如图:
在△ABC中,AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D、E,且点D在点E的左侧,BC=6cm,则△ADE的周长是( )
A.3cmB.12cmC.9cmD.6cm
【变式8-1】(2019春•南华县期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AB的垂直平分线交BC于点D,连接AD,则△ACD的周长是( )
A.7B.8C.9D.10
【变式8-2】(2018秋•南岗区校级期中)如图,在△ABC中,点E在边AC上,DE是AB的垂直平分线,△ABC的周长为19,△BCE的周长为12,则线段AB的长为( )
A.9B.8C.7D.6
【变式8-3】(2018春•雨城区校级期中)如图,在△ABC中,PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线,∠BAC=100°那么∠PAQ等于( )
A.50°B.40°C.30°D.20°
【考点9等腰三角形与全等三角形的综合】
【例9】(2019•东莞市模拟)如图,△ABC中,AB=BC,∠ABC=45°,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,BE与AD相交于F.
(1)求证:
BF=AC;
(2)若CD=3,求AF的长.
【变式9-1】(2018秋•临清市期末)如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:
CD=BF;
(2)求证:
AD⊥CF;
(3)连接AF,试判断△ACF的形状.
【变式9-2】(2019秋•宁河县校级月考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,点D是BC的中点,过点C作CE⊥AB,垂足为点E,交AD于点F.
(1)求证:
AE=CE;
(2)求证:
△AEF≌△CEB.
【变式9-3】如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上,且AD=AE,连接BE、CD,交于点F.
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由;
(2)求证:
过点A、F的直线垂直平分线段BC.
【考点10与三角形有关的动点问题】
【例10】(2018秋•全椒县期末)已知△ABC中,AC=BC,∠C=120°,点D为AB边的中点,∠EDF=60°,DE、DF分别交AC、BC于E、F点.
(1)如图1,若EF∥AB.求证:
DE=DF.
(2)如图2,若EF与AB不平行.则问题
(1)的结论是否成立?
说明理由.
【变式10-1】(2019秋•本溪期末)△ABC中,AB=AC,点D为射线BC上一个动点(不与B、C重合),以AD为一边向AD的左侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,过点E作BC的平行线,交直线AB于点F,连接BE.
(1)如图1,若∠BAC=∠DAE=60°,则△BEF是 三角形;
(2)若∠BAC=∠DAE≠60°
①如图2,当点D在线段BC上移动,判断△BEF的形状并证明;
②当点D在线段BC的延长线上移动,△BEF是什么三角形?
请直接写出结论并画出相应的图形.
【变式10-2】(2018秋•十堰期末)在△ABC中,AB=AC,D是直线BC上一点,以AD为一条边在AD的右侧作△ADE,使AE=AD,∠DAE=∠BAC,连接CE.
(1)如图,当点D在BC延长线上移动时,若∠BAC=25°,则∠DCE= .
(2)设∠BAC=α,∠DCE=β.
①当点D在BC延长线上移动时,α与β之间有什么数量关系?
请说明理由;
②当点D在直线BC上(不与B,C两点重合)移动时,α与β之间有什么数量关系?
请直接写出你的结论.
【变式10-3】(2019秋•上城区期末)如图1,在等边△ABC中,线段AM为BC边上的中线,动点D在直线AM(点D与点A重合除外)上时,以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE,连接BE.
(1)判断AD与BE是否相等,请说明理由;
(2)如图2,若AB=8,点P、Q两点在直线BE上且CP=CQ=5,试求PQ的长;
(3)在第
(2)小题的条件下,当点D在线段AM的延长线(或反向延长线)上时.判断PQ的长是否为定值,若是请直接写出PQ的长;若不是请简单说明理由.
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