全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学试题参考概要.docx
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全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学试题参考概要
2010年全国硕士研究生入学统一考试
农学门类联考
数学试题参考答案
一、选择题:
1~8小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸...
指定位置上.(1设函数(((
33xeefxxxe−=−−,则(
(A3x=及xe=都是(fx的第一类间断点.(B3x=及xe=都是(fx的第二类间断点.
(C3x=是(fx的第一类间断点,xe=都是(fx的第二类间断点.(D3x=是(fx的第二类间断点,xe=都是(fx的第一类间断点.答案:
C
详解:
((333
33311limlimlim333313xxxxxxeeeeeexxeexee→→→−−===
−−−−−−,((331
limlim
33xexexeeeeexxeexe
→→−−==∞−−−−,3x∴=是(fx的第一类间断点,
xe=是(fx的第二类间断点.(2曲线(
2
4x
yx=
−的凸弧区间是(
(A(,8−∞−.(B(8,4−−.(C(4,4−.(D(4,+∞.答案:
A详解:
(
2
4x
yx=
−,(
3
4
4xyx−−′=
−,(
4
216
04xyx+′′=
<−,
∴在(,8−∞−上,曲线是凸的
(3设函数(fx,(gx具有二阶导数,(((00,0,0gxagxgx′′′==<,则((
fgx在
0x取极大值的一个充分条件是(
(A(0fa′<.(B(0fa′>.(C(0fa′′<.(D(0fa′′>.答案:
B详解:
({
}((fgxfgxgx′′′=⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,
({
}
((((2
fgxfgxgxfgxgx′′
′′′′′′=⋅+⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦
⎣⎦⎣⎦⎣⎦,由于(00gx′=,得:
({}((((0
0fgxfgxgxfagx′′
′′′′′′=⋅=⋅<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.
由于(00gx′′<,所以(0fa′>
(4设函数(fx在区间[]0,1上连续,(01fx<<,且
(1
1
2
fxdx<
∫
记(((11001Ifxfydxdy=−∫
∫
(((11
200
1Ifxfydxdy=−∫
∫,
(((11
300
Ifxfydxdy=∫
∫,则(
(A123III<<.(B132III<<.(C213III<<.(D321III<<.答案:
D详解:
((((100
11Ifxdxfydyfxdxfxdx=
⋅−=⋅−∫
∫
∫
∫
((((1
1
1
1
2000011Ifxdxfydyfxdxfxdx=⋅−=⋅−⎡⎤⎡⎤⎣
⎦⎣⎦∫∫∫∫((((1
111
30
Ifxdxfydyfxdxfxdx=
⋅=⋅∫
∫∫∫,
由于(01fx<<,所以((fxfx>((11fxfx−>−
((1
fxdxfxdx∴>∫
∫,((1
011fxdxfxdx∴−>−⎡⎤⎣
⎦∫
∫,12II∴>.又
(((1
1
1
1
0000111fxdxdxfxdxfxdx−=−=−⎡⎤⎣⎦∫∫∫∫,且(1
12
fxdx<∫.((1
1
001fxdxfxdx∴−>⎡⎤⎣
⎦∫∫,23II∴>,123III∴>>
(5设向量组12:
,rIααα可由向量组12:
,sIIβββ线性表示,下列命题正确的是
(
(A若向量组I线性无关,则rs≤.(B若向量组I线性相关,则rs>.(C若向量组II线性无关,则rs≤.(D若向量组II线性相关,则rs>.答案:
A
详解:
由于向量组I能由向量组II线性表示,所以((rIrII≤,即
11(,,(,,rsrrsααββ≤≤
若向量组I线性无关,则1(,,rrrαα=,所以11(,,(,,rsrrrsααββ=≤≤,即
rs≤,选(A.
(6设A为4阶实对称矩阵,且2
AAO+=,若A的秩为3,则A相似于(
(A1110⎛⎞⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠.(B1110⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟−⎜⎟
⎝⎠.(C1110⎛⎞
⎜⎟
−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟
⎝
⎠.(D1110−⎛⎞
⎜⎟
−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟
⎝
⎠.答案:
D
详解:
设λ为A的特征值,由于2
0AA+=,所以2
0λλ+=,即(10λλ+=,这样A的特征值为-1或0。
由于A为实对称矩阵,故A可相似对角化,即AΛ∼,((3rAr=Λ=,
因此,1110−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟Λ=⎜⎟−⎜⎟⎝⎠,即1110A−⎛⎞
⎜⎟
−⎜⎟Λ=⎜⎟−⎜⎟
⎝⎠
∼。
(7设随机变量X服从(1,1−上的均匀分布,
事件{}01AX=<<,14BX⎧
⎫
=<⎨⎬⎩⎭
则((A(0PAB=.(B((PABPA=.(C((1PAPB+=.(D(((PABPAPB=⋅.答案:
D
详解:
1
1111
4((01;(044428PABPxxPx=<<−<<=<<==
1
((012
PAPx=<<=
11(
11144((4424
PBPx−−=−<<==(((PABPAPB∴=⋅
(8设1,,nXX…使来自总体(2
Nμσ(0σ>的简单随机样本,记统计量2
1
1niiTXn==∑,
则ET=((A
2σ.(B2μ.(C22σμ+.(D22σμ−.
答案:
C
详解:
22
22211111(((nn
iiiiiiETEXEXnDXEXunnn
σ==⎡⎤===⋅+=+⎣⎦∑∑所以选择C项
二、填空题:
9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...
指定位置上.(9limx
xxxa→∞⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠
.答案:
a
e
详解:
limlim1axxaxa
xa
axxxaexaxa−−→∞→∞⎡
⎤⎛⎞⎛⎞⎢⎥=+=⎜⎟⎜⎟⎢⎥−−⎝⎠⎝
⎠⎣
⎦
(10曲线22
2sincosxx
yxx
+=−的水平渐近线的方程为y=.答案:
2y=−
详解:
2
222
sin22sin20lim
lim2coscos011xxxxxxxxxx
→∞→∞+
++===−−−−(11已知一个长方形的长x以0.2m/s的速率增加,宽y以0.3m/s的速率增加,当12xm=,
5ym=时,其面积增加的速率为.
答案:
sm/6.42
详解:
设(,(xxtyyt==,
由题意知,在0tt=时刻00(12,(5xtyt==,且00(0.2,(0.3xtyt′′==,又(((Stxtyt=,所以(((((Stxtytxtyt′′′=+
所以00000(((((0.25120.34.6Stxtytxtyt′′′=+=⋅+⋅=
(12函数1
xyzy
−=在点(1,e的全微分(1,edz=.
答案:
21dxdye
+
详解:
因为1xyzy−=,所以(1,1
1eze
=−,且变形为ln11xxyyzye=−=−
对上式两端微分,有ln1lnlnxy
xxzdyydze
ydxxdyyydxdyyy⎛⎞⎛⎞+=+⋅=+⎜⎟⎜
⎟⎝⎠⎝
⎠所以2
lnxxyyxyyz
dzdxdyyy−=+
所以(21,1
edzdxdye
=+
(13设111123A−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠
TA为A的转置矩阵,则行列式T
AA=.
答案:
0
详解:
T
AA是3阶矩阵,A为23×矩阵((2,0T
T
rAArAAA∴≤≤∴=(14设随机变量X的概率分布为{}(
1
1,1,2,kPXkkθθ−==−=,其中01θ<<,若
{}5
29
PX≤=,则{}3PX==.
答案:
4
27
详解:
11
21(2(1(2(1
(1(1PXPXPXθθθθθθθ−−≤==+==−+−=+−
2529θθ⇒−=
得15
33
θθ==(舍22114
(3(1(13327
PXθθ==−=−=
三、解答题:
15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15(本题满分10分
设函数(lntancos22xxfxex−=+,求(2
fπ′′.详解:
(lntan
cos22
x
xfxex−=+则211
(seccos2(2sin222tan2
xxxfxexexx−−′=⋅⋅−+−
csccos22sin2xxxexex−−=−−4分
所以(cotcsccos22sin22(sin22cos2x
xxxfxxxe
xexexex−−−−′′=−⋅++⋅−−+⋅
cotcsc(4sin23cos2xxxexx−=−⋅+−8分
所以2
(32
fe
ππ
−
′′=10分
(16(本题满分10分
计算定积分2
xxdxπ∫
详解:
令2,,2txxtdxtdt===
所以20
cos22sinItttdttdtπ
π=
⋅=∫∫4分
20
2sin4sinttttdtπ
π=−∫6分
=
00
4cos4cos4costdttttdtπ
π
π
=−∫
∫8分
4π=−10分
(17(本题满分11分
设某农作物长高到0.1m后,
高度的增长速率与现有高度y及(1y−之积成比例(比例系数0k>,求此农作物生长高度的变化规律(高度以m为单位.详解:
由题意得
(1dy
kyydt
=−4分即
(1dykdtyy=−∫
∫,所以1ln1
y
ktCy=+−
解得1
kt
kt
CeyCe=−(0.1ym≥9分
代入初始条件(00.1y=解得19
C=−
所以化简得9
kt
kteye=+11分
(18(本题满分11分
计算二重积分[]sin(D
Ixxydxdy=+∫∫,其中区域{}22
2,1Dxyxyx=+≤≥(.详解:
[]sin(sin(D
D
D
Ixxydxdyxdxdyxydxdy=
+=+∫∫∫∫∫∫
因为D关于x轴对称,且sin(D
xydxdy∫∫的被积函数为y的奇
函数,所以sin(0
D
xydxdy=∫∫3分
又因为
1
2
40
sec22cosD
Dxdxdyxdxdydrrdrπ
θ
θθ==⋅∫∫∫∫∫
6分
2
240
sec2cosdrdrπ
θ
θθ=⋅∫
443200221
42212coscos3
3cos33cosddπ
π
θθθθθθ⎛⎞⎡⎤=−=−⋅⎜⎟⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣
⎦∫∫24
40
042
2cos3
3ddπ
π
θθθθ=−∫8分
422
333
=
−=11分(19(本题满分10分
证明:
1
11(0xexx+⎛⎞+>>⎜⎟
⎝⎠
.
证明:
令1
1(1(0xFxxx+⎛⎞
=+>⎜⎟⎝⎠
对等式两边同时取对数,1ln((1ln(1Fxxx
=++对等式两边同时求导数得:
2111111
'(ln(1(1ln(11(1FxxFxxxxxx
−⋅=+++⋅⋅=+−+
3分
又因为0x>时,ln(1xx+<
11111
ln(1'(ln(10(FxxxFxxx
∴+<∴⋅=+−<
又(0,'(0(FxFxFx>∴<∴∵单调递减7分
又1111lim(lim(1lim(1(1xxxxxFxxxx
+→+∞→+∞→+∞=+=+⋅+11
lim(1lim(1xxxexx→+∞→+∞=+⋅+=
所以1
1(,(1xFxeex
+>∴+>10分
(20(本题满分10分
设1101011a
Aaa⎛⎞⎜⎟
=−⎜⎟
⎜⎟⎝
⎠,211β−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠
已知线性方程组Axβ=有2个不同的解,求a的值和方程组Axβ=的通解.详解:
已知Axβ=有2个不同的解((,3rArAβ∴=<
又2
0(1(10Aaa=−+=知1a=或-14分当1a=时,(1(,2rArAβ=≠=此时Axβ=无解6分
1a∴=−
31012111211121(,020102010102111100000000Aβ⎛
⎞−⎜⎟−−−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟=−→−→−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎝⎠
原方程组等价为1323212xxx⎧−=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩,即3
12333212xxxxx⎧
=+⎪⎪⎪
=−⎨⎪=⎪⎪
⎩1
23332110210xxxx⎛⎞⎜⎟⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟∴=+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎝⎠
Axβ∴=的通解为32110210xk⎛⎞⎜⎟⎛⎞⎜⎟
⎜⎟⎜⎟=+−⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎜⎟
⎝⎠
k为任意常数。
10分(21(本题满分11分
设11124335Aa−⎛⎞
⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠
6是A的一个特征值,
(I求a的值;(II求A的全部特征值和特征向量.详解:
(I由于6是A的特征值,故60EA−=,即
51122122403
3
1
aa−−−=+=
由此可得2a=−2分
(II111242335A−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠
21
112
4
2
(2(603
3
5
EAλλλλλλ−−−=−−=−−=−
故A的特征值为1,232,6λλ==5分
由(20EAx−=,即1231112220333xxx−⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
−−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠
111111222000333000−−⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟−−→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠解得基础解系为12111,001ξξ−⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
故对应于122λλ==的全部特征向量为112212,,kkkkξξ+为不同时为零的常数.9分
由(60EAx−=,即1235112220331xxx−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟
−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
511111222032331000−−−⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟−→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
解得基础解系为3123ξ⎛⎞
⎜⎟
=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠
故对应于36λ=的全部特征向量为333,kkξ为不为零的常数.
11分
(22(本题满分10分
设二维随机变量(,XY的概率分布为
YX
1−01
130a
1
14
b
112
且
{}1|03
pXYX+===
.求(I常数,ab;(IIov(,CXY.
详解:
(I由二维离散型随机变量分布律的性质可得
111
13412
ab++++=①{}{}{}{}{}1,00,111010033
PXYXPXYa
PXYXPXPXa+====+===
=====+②由①,②可得11
66
ab=
=4分(II((((,CovXYEXYEXEY=−
((111
11114126EXY−=×−×+××=
(1111
146122
EX⎛⎞=×++=⎜⎟⎝⎠
⎛11⎞⎛11⎞−1E(Y=(−1×⎜+⎟+1×⎜+⎟=⎝43⎠⎝126⎠3Cov(X,Y=E(XY−E(XE(Y=(23(本题满分11分设随机变量X的概率密度为f(x=⎨8分−11⎛1⎞−×⎜−⎟=062⎝3⎠⎧x,−1 ⎩3⎫⎬.2⎭10分(IY的概率密度fY(y;(IIP⎨−1 (I设Y的分布函数为FY(y,则FY(y=P{Y≤y}=P{X2+1≤y}=P{X2≤y−1}若y≤1,则FY(y=PX≤y−1=P(∅=022分3分{}若1
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