考研农学门类联考《数学》考研真题及解析.docx
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考研农学门类联考《数学》考研真题及解析
农学联考《数学》考研真题及解析
考研农学门类联考《数学》真题及详解
一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分。
下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
)
1设函数
,则( )。
A.x=-1为可去间断点,x=1为无穷间断点
B.x=-1为无穷间断点,x=1为可去间断点
C.x=-1和x=1均为可去间断点
D.x=-1和x=1均为无穷间断点
【答案】B查看答案
【解析】函数
在点x=±1没有定义,而
所以x=-1为无穷间断点;
所以x=1为可去间断点。
2设函数
可微,则
的微分
=( )。
A.
B.
C.
D.
【答案】D查看答案
【解析】
。
3设函数
连续,
,则
=( )。
A.
B.
C.
D.
【答案】C查看答案
【解析】由于
,则
4设函数
连续,交换二次积分次序得
=( )。
A.
B.
C.
D.
【答案】A查看答案
【解析】积分区域D如下图所示。
由于
所以
5设
为3维列向量,矩阵
若行列式|A|=3,则行列式|B|=( )。
A.6
B.3
C.-3
D.-6
【答案】D查看答案
【解析】根据行列式的性质有
6已知向量组
线性无关,则下列向量组中线性无关的是( )。
A.
B.
C.
D.
【答案】C查看答案
【解析】ABD三项,由于
根据线性相关的定义可知,这三项是线性相关的。
C项,可以根据定义证明它是线性无关的。
设
整理得
由于向量组
线性无关,所以
此线性方程组的系数矩阵
由于
所以方程组
只有零解,即
由线性无关的定义可知,向量组
线性无关。
7设
为3个随机事件,下列结论中正确的是( )。
A.若
相互独立,则
两两独立
B.若
两两独立,则
相互独立
C.若
,则
相互独立
D.若
与
独立,
与
独立,则
与
独立
【答案】A查看答案
【解析】若
相互独立,由相互独立的性质可知
由此可得
两两独立。
8设随机变量X服从参数为n,p的二项分布,则( )。
A.
B.
C.
D.
【答案】D查看答案
【解析】X服从参数为n,p的二项分布,因此
由期望和方差的性质可得
二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分。
)
9函数
的极小值为______。
【答案】-2查看答案
【解析】令
可得x=1,
,根据极值的第二充分条件可得x=1为函数
的极小值点,极小值为
。
10
=______。
【答案】
【解析】
11曲线sin(xy)+ln(y-x)=x在点(0,1)处的切线方程是______。
【答案】y=x+1查看答案
【解析】方程sin(xy)+ln(y-x)=x两边对x求导得
将x=0,y=1代入上式,得
,即切线的斜率为1,所以切线方程为
。
12设
,则
=______.
【答案】
【解析】作极坐标变换
,则
13设3阶矩阵A的特征值1,2,3,则行列式
=______。
【答案】
【解析】由于A的特征值为1,2,3,所以
,
14设
为来自正态总体N(2,4)的简单随机样本,
为其样本均值,则
____。
【答案】5查看答案
【解析】由于
为来自正态总体N(2,4)的简单随机样本,所以
又由于
,而
所以
三、解答题(15~23小题,共94分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
)
15(本题满分10分)
求极限
。
解:
计算得
16(本题满分10分)
计算不定积分
。
解:
令
,则
所以
17(本题满分10分)
求微分方程
满足初始条件
的特解。
解:
原方程可化为
则
将
代入得
,故所求特解为
。
18(本题满分11分)
证明:
当x>0时,
。
证:
设
则
当x>0时,
,则
单调增加,
故
,f(x)单调增加,于是f(x)>f(0)=0,
即
。
19(本题满分11分)
设
,求
及
。
解:
计算得
20(本题满分9分)
设3阶矩阵x满足等式AX=B+2X,其中
求矩阵x。
解:
由Ax=B+2x,得(A-2E)X=B,其中E为单位矩阵。
因为|A-E|=-2
0,所以A-2E可逆,
而
则
21(本题满分12分)对于线性方程组
讨论
,b取何值时,方程组无解、有唯一解和无穷多解,并在方程组有无穷多解时,求出通解。
解:
解法一
方程组系数行列式
当D≠0,即a≠-1时,由克莱姆法则知方程组有唯一解。
当a=-1时,方程组的系数矩阵
对方程组的增广矩阵施行初等行变换得
当b≠1时,r(A)=2,r(B)=3,r(A)≠r(B),线性方程组无解。
当b=1时,r(A)=r(B)=2<3,线性方程组有无穷多解,其通解为
其中k为任意常数。
解法二
方程组的系数矩阵
对方程组的增广矩阵施行初等行变换得
当
=-1,b≠1时,r(A)=2,r(B)=3,r(A)≠r(B),线性方程组无解;
当
≠-1,b任意时,r(A)=r(B)=3,线性方程组有唯一解;
当
=-1,b=1时,r(A)=r(B)=2<3线性方程组有无穷多解。
其通解为
其中k为任意常数。
22(本题满分11分)
设随机变量X的概率密度为:
,且X的数学期望E(x)=
。
(Ⅰ)求常数a,b;
(Ⅱ)求X的分布函数F(x)。
解:
(Ⅰ)由
知
,
而由
知
,
解得
=1,
。
(Ⅱ)当x≤0时,
;
当0<x≤1时,
;
当1<x≤2时,
;
当x>2时,F(x)=1;
即
23(本题满分10分)
设二维随机变量(X,Y)的概率分布为
(Ⅰ)分别求(X,Y)关于X,Y的边缘分布;
(Ⅱ)求
;
(Ⅲ)求
。
解:
(Ⅰ)关于X的边缘分布为
关于y的边缘分布为
(Ⅱ)计算得
或
(Ⅲ)
。
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