完整版八年级数学下册电子版教案.docx
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第十六章二次根式
16.1二次根式
第1课时二次根式的看法和性质
1.二次根式的看法和应用.
2.二次根式的非负性.
要点
二次根式的看法.
难点
二次根式的非负性.
一、状况导入
师:
(多媒体展现)请同学们看屏幕,这是东方明珠电视塔.
电视节目信号的流传半径
r/km与电视塔高h/km之间有近似关系
r=2Rh(R为地球半
径).假如两个电视塔的高分别为
h1km,h2km,那么它们的流传半径之比为多少?
同学们能
化简这个式子吗?
由学生计算、谈论后得出结果
,并发问.
生:
半径之比为2Rh1,临时我们还不会对它进行化简.
2Rh2
师:
那么怎么去化简它呢?
这要用到二次根式的运算和化简.如何进行二次根式的运算?
如何进行二次根式的化简?
这将是本章所学的主要内容.
二、新课教授
活动1:
知识迁徙,归纳看法
(多媒体演示)用含根号的式子填空.
(1)17的算术平方根是________;
(2)如图,要做一个两条直角边长分别为7cm和4cm的三角形,斜边长应为________cm;
(3)面积为3的正方形的边长为________,面积为a的正方形的边长为____________;
(4)
一个物体从高处自由落下
,落到地面所用的时间
t(单位:
s)与开始落下时的高度
h(单
位:
m)知足关系h=5t2.假如用含有h的式子表示t,则t=________.
【答案】
(1)
17
(2)
65
(4)
3
a(5)
h
5
活动2:
二次根式的非负性
(多媒体展现)
(1)
式子a表示的实质意义是什么?
被开方数
a知足什么条件时,式子a才存心义?
(2)
当a>0时,a________0;当a=0时,a________0;二次根式是一个________.
【答案】
(1)a的算术平方根,被开方数a必然是非负数
(2)>=非负数
老师联合学生的回答,重申二次根式的非负性.
当a>0时,a表示a的算术平方根,因此a>0;
当a=0时,a表示0的算术平方根,因此a=0.
也就是说,当a≥0时,a≥0.
三、例题解说
【例】当x是如何的实数时,x-2在实数范围内存心义?
解:
由x-2≥0,得x≥2.
因此当x≥2时,
x-2在实数范围内存心义.
四、坚固练习
1.已知
a-2+
b+
1=0,求-a2b的值.
2
【答案】
a-2≥0,
b+1≥0,又∵它们的和为0,∴a-2=0且b+1=0,解得a=
1
2
2
2,b=-2.
∴-a2b=-22×(-1)=2.
2
2.若x,y使x-1+
1-x-y=3存心义,求2x+y的值.
【答案】-1
五、讲堂小结
1.本节课主要学习了二次根式的看法.形如
a(a≥0)的式子叫做二次根式
,“”称
为二次根号.
2.二次根式的被开方数必然是什么数才存心义?
a(a≥0)又是什么数?
第2课时二次根式的化简
1.理解(a)2=a(a≥0),并能利用它进行计算和化简.
2.经过详尽数据的解答,研究a2=a(a≥0),并利用这个结论解决详尽问题.
要点
理解并掌握(a)2=a(a≥0),a2=a(a≥0)以及它们的运用.
难点
研究结论.
一、复习导入
教师复习口述上节课的重要内容,并板书:
1.形如a(a≥0)的式子叫做二次根式.
2.a(a≥0)是一个非负数.
那么,当a≥0时,(a)2等于什么呢?
下边我们一同来研究这个问题.
二、新课教授
活动1:
(多媒体演示)依据算术平方根的意义填空:
2
2
=________;
1
2
52
=________;
(4)=________;
(2)
(
)=________;(
2
)
(0.01)2=________;(
0)2=________.
3
由学生计算、谈论得出结果
,并发问部分过程,教师进行谈论.
老师谈论:
4是4的算术平方根,依据算术平方根的意义
,4是一个平方等于
4的非负数,因此(4)2
=4.
同理:
(
2
=2;(
12
1
52
5
0.01)
2
=;(
2
2)
3
)
=;(
2
)
=;(
0)=0.
3
2
因此归纳出:
(a)2=a(a≥0).
【例1】教材第3页例2
性质的运用
例1
计算以下各式:
(1)
2;
(2)
2
.
(1.5)
(2
5)
活动2:
(多媒体展现)填空:
22=________;
2=________;
(1)2=________;
(
3)2=________;
3
7
(212)2=________;02=________.
教师谈论:
依据算术平方根的意义,我们能够获得:
22=2;2=;(13)2=13;
(
3)2=
3;
(21)2=21;02=0.
7
7
2
2
因此归纳出:
a2=a(a≥0).
【例2】教材第4页例3
教师谈论:
当a≥0时,a2=a;
当a≤0时,a2=-a.
三、讲堂小结
本节课应理解并掌握(a)2=a(a≥0)和a2=a(a≥0)及其运用,同时应理解a2=-a(a≤0).
二次根式的乘除
第1课时二次根式的乘法
理解并掌握a·b=ab(a≥0,b≥0),a·b=a·b(a≥0,b≥0),会利用它们进行计算和化简.
要点
a·b=ab(a≥0,b≥0),
难点
利用逆向思想,导出a·b=
a·b=a·b(a≥0,b≥0)及它们的运用.
a·b(a≥0,b≥0).
一、创办情境,导入新课
活动1:
发现研究
(多媒体展现)填空:
(1)4×9=4×9=____6___;
(2)25×16=25×16=20
生:
(1)4×9=6,4×9=6;
(2)25×16=20,25×16=20;试一试,参照上边
的结果,比较二组等式的大小关系.
生:
上边各组中两个算式的结果相等.
二、新课教授
活动2:
总结规律
联合刚刚的计算,学生疏组谈论,教师发问部分学生,最后教师综合学生的答案,加以谈论,归纳出二次根式的乘法法例.
教师谈论:
1.被开方数都是非负数.
2.两个非负数算术平方根的积等于它们积的算术平方根.
一般地,二次根式的乘法法例为:
a·b=ab(a≥0,b≥0)
由等式的对称性,反过来:
ab=a·b(a≥0,b≥0)
活动3:
讲练联合
教材第6~7页例题
三、坚固练习
达成课本第7页的练习.
【答案】
课本练习第1题:
(1)10;
(2)6;(3)23;(4)2.
第2题:
(1)77;
(2)15;(3)2y;(4)4bcac.
第3题:
45.
四、讲堂小结
本节课应掌握:
a·b=ab(a≥0,b≥0),ab=a·b(a≥0,b≥0)及其应用.
第2课时二次根式的除法
a
a
a
a
理解
b=
b(a≥0,b>0)和
b=
b(a≥0,b>0),会利用它们进行计算和化简.
要点
a
a
a
a
理解并掌握
b=
b(a≥0,b>0),
b=
b(a≥0,b>0),利用它们进行计算和化简.
难点
归纳二次根式的除法法例.
一、复习导入
活动1:
1.由学生回答二次根式的乘法法例及逆向等式.
2.填空(多媒体展现).
(1)
9=________,
9=________;
(2)16=________,
16=________;
25
25
4
4
(3)
81=________,
81=________;
(4)36=________,
36=________.
49
49
64
64
二、新课教授
活动2:
先由学生对上边的结果进行比较,察看每组两个算式结果的大小关系,并总结规律.
教师谈论:
一个非负数的算术平方除掉以一个正数的算术平方根,等于它们商的算术平方根.
一般地,二次根式的除法法例是:
a=
a
a=
a
b
b(a≥0,b>0)由等式的对称性,反过来:
b
b(a≥0,b>0)
【例】教材第8~9页例题
三、坚固练习
课本第10页练习第1题.
【答案】
(1)3
(2)2
3
(3)
3
(4)2a
3
四、讲堂小结
本节课应掌握
a=a(a≥0,b>0)和
a=
a
b
b
b
b
(a≥0,b>0)及其应用.
第3课时最简二次根式
最简二次根式的看法、利用最简二次根式的看法和性质进行二次根式的化简和运算.
要点
最简二次根式的运用.
难点
会判断这个二次根式是不是最简二次根式.
一、复习导入
(学习活动)请同学们达成以下各题.
(请四位同学登台板书)
计算:
(1)
2
2
6
;(3)
8
;(4)
x3
;
(2)
18
2
.
3
2a
x
y
教师谈论:
2
=
6
;
(2)
26
=
23
8
=
2a
x3
=
xy
(1)3
3
;(3)
;(4)
x2y
y.
18
3
2a
a
二、新课教授
教师谈论:
上边这些式子的结果拥有以下两个特色:
1.被开方数不含分母.
2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
师:
我们把知足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式.(教师板书)
教师重申:
在二次根式的运算中,一般要把最后结果化为最简二次根式.
【例1】判断以下式子是不是最简二次根式,为何?
(1)3xy
1
x;
(2)25a
3a3;(3)
1;(4)0.2a.
2
x
1
解:
(1)被开方数中有因数2,因此它不是最简二次根式;
(2)被开方数中有开得尽方的因
式a2,因此它不是最简二次根式;(3)被开方数中有分母,因此它不是最简二次根式;(4)被开方数中有因数,它不是整数,因此它不是最简二次根式.
【例2】化简:
(1)27;
(2)12x2y3(x≥0);(3)a2b4+a4b2(ab≥0).8
27
27×2
9
3
解:
(1)
8=
8×2
=
16×6=
4
6;
(2)
12x2y3=4x2y2·3y
=2xy
3y;
(3)
a2b4+a4b2=
a2b2(b2+a2)=ab
a2+b2.
【例3】教材第9页例7
三、讲堂小结
1.本节课应掌握最简二次根式的特色及其运用.
2.二次根式的运算结果要化为最简二次根式.
二次根式的加减
第1课时二次根式的加减
理解并掌握二次根式加减的方法,并能用二次根式加减法法例进行二次根式的加减运算.
要点
理解并掌握二次根式加减计算的方法.
难点
二次根式的化简、归并被开方数相同的最简二次根式.
一、复习导入
(学生活动)
1.计算:
(1)x+2x;
(2)3a-2a+4a;(3)2x2-3x2+5x2;(4)2a2-4a2+3a.
2.教师谈论:
上边的运算实质上就是以前所学习的归并同类项
,归并同类项就是字母连
同指数不变,系数相加减.
二、新课教授
(学生活动)
1.类比计算,说明原由.
(1)2+2
2;
(2)38-2
8+48;
(3)32+
8;(4)23-3
3+12.
2.教师谈论:
(1)2+22=(1+2)2=32;
(2)38-28+48=(3-2+4)8=58=102;
(3)固然表面上2与8的被开方数不一样样样,不可以够够看作被开方数相同,但8可化为22,32
+8=32+22=(3+2)2=52;
(4)相同12可化为23,
23-33+12=23-33+23=(2-3+2)3=3.
因此在用二次根式进行加减运算时,假如被开方数相同则能够进行归并,因此可将二次
根式先化为最简二次根式,比较被开方数能否相同.
因此可得:
二次根式加减时,能够先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行归并.
【例1】教材第13页例1
【例2】教材第13页例2
三、坚固练习
教材第13页练习第1,2题.
【答案】第1题:
(1)不正确,两边不相等;
(2)不正确,两边不相等;(3)正确.
1
第2题:
(1)-47;
(2)35;(3)102-33;(4)36+42.
四、讲堂小结
本节课应掌握进行二次根式加减运算时,先把不是最简二次根式的化成最简二次根式,再把相同被开方数的最简二次根式进行归并.
第2课时二次根式的加减乘除混淆运算
含有二次根式的式子进行加减乘除混淆运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.
要点
二次根式的加减乘除混淆运算.
难点
由整式运算知识迁徙到含二次根式的运算.
一、复习导入
(学生活动):
请同学们达成以下各题.
计算:
(1)(3x2+2x+2)·4x;
(2)(4x2-2xy)÷(-2xy);
(3)(3a+2b)(3a-2b);
(4)(2x+1)2+(2x-1)2.
二、新课教授
因为整式运算中的x,y,a,b是字母,它的意义十分宽泛,能够代表全部,自然也能够
代表二次根式,因此整式中的运算规律也适用于二次根式,下边我们就使用这些规律来进行
计算.
【例1】计算:
(1)(8+3)×6;
(2)(42-36)÷22.
剖析:
二次根式仍旧知足整式的运算规律,因此可直接用整式的运算规律.
解:
(1)(8+3)×6=8×6+3×6
=48+18=43+32;
(2)(42-36)÷22
=4
2÷2
2-36÷2
2=2-3
3.
【例2】计算:
2
(1)(
2+3)(2-5);
(2)(
5+
3)(5-3);
(3)(
3-
2)2.
剖析:
第
(1)题可类比多项式乘以多项式法例来计算
,第
(2)题把
5看作a,
3看作b,就
能够类比(a+b)(a-b)=a2-b2,第(3)题可类比(a-b)2=a2-2ab+b2来计算.
解:
(1)(2+3)(2-5)
=
(2)2+32-52-15
=2+32-52-15
=-13-22;
(2)(5+3)(5-3)
=(5)2-(3)2=5-3=2;
(3)(3-2)2
=(3)2-2×3×2+
(2)2
=5-26.
三、坚固练习
教材第14页练习第
1,2题.
【答案】第1题:
(1)
6+
10;
(2)4+2
2;(3)11+5
5;(4)4.第2题:
(1)9;
(2)a-b;
(3)7+43;(4)22-410.
四、讲堂小结
本节课应掌握利用整式运算的规律进行二次根式的乘除、乘方等运算.
第16章数学活动
讲课内容:
二次根式的实质应用.
讲课目的
知识与技术目标:
会用二次根式化简及其运算解决一些简单的实指责题;
过程与方法目标:
经历发现问题、提出问题、剖析问题和解决问题的过程,
意会数学的应用价值.
感情与价值目标:
经过本节的学习培育学生:
利用规定正确计算和化简的谨慎的科学精神,发展学生察看、剖析、发现问题的能力.
重难点要点:
经历发现问题、提出问题、剖析问题、解决问题的过程.
讲课过程:
活动1
问题1生活中我们随时都要与纸张、课本打交道,它们的长与宽的尺寸有什么特色呢?
A型
mm×mm
B型
mm×mm
A7
74×105
B8
64×91
A6
105
×
B7
91×128
A5
148
148
×
210
B6
128×182
A4
210
×
A3
297
B5
182×257
297
×
420
B4
257×364
A2
420
×
594
A1
594
×
B3
364×515
841
(1)使用计算器求出各规格纸张长与宽的比,你有什么发现?
各规格纸张的长与宽有什么关系?
(2)丈量教科书与课外读物的长与宽,看看它们的长与宽的比能否也有近似确立的关系?
如图1,把一张标准纸一次又一次对折,获得“2开”纸、“4开”纸、“8开”
、“16
开”⋯.已知准的短
a.一“16开”行如2
的操作:
将的短AB与AD折叠,点B落在AD上的点B,平
后得折痕AE,再折一折,能使AE和AD重合?
由此可:
AD︰AB=______;
AD=____
;
AB=____
.
A
′
D
4开
B
a
2开
F
8开
16开B
图2E
C
图1
“2开”、“4开”、“8开”的与之比能否都相等?
若相等,直接写出个比;若不相等,分算它的比.
活2
2平时生活中,我常用到各式各的盒,你会制作?
若要做一个底面24cm2,、、高的比4︰2︰1的方体,思虑以下:
(1)个方体的、、高分是多少?
(2)方体的表面是多少?
(3)方体的体是多少?
活3
堂小
(1)解决本的,用到了什么知?
(2)解决本的,用到了什么思想方法?
第16章复习与小结
讲课目:
知与技术:
1、一步理解二次根式的意及基天性,并能熟地化含二次根式的式子;
2、熟地行二次根式的加、减、乘、除混淆运算.
程与方法:
复整式运算知并将知运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算.
感情度价:
研究二次根式加减的方法的重要,培育学生察、剖析、
问题的能力.
要点:
含二次根式的式子的混淆运算.
难点:
综合运用二次根式的性质及运算法例化简和计算含二次根式的式子.
讲课准备:
多媒体
讲课过程:
一、知识回首
实数之间能够进行加、减、乘、除、乘方和开方运算.
9+5,9-5,9×5,9,9,5,9-5
ab5
问题1假如,分别表示实数,数能够运算,请用基本运算符号(加、减、
乘、除、乘方、开方)连接它们,你能得到哪些算式?
如:
+
b,a,a
b,a
b,a+a3
-2ab2,3a-4b,a
a
什么叫代数式?
请找出整式、分式、二次根式各一个.
(1)什么叫二次根式?
我们主要研究了什么?
(2)你以为二次根式与算术平方根有什么联系?
(3)谈
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