第五章552简单的三角恒等变换.docx
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第五章552简单的三角恒等变换
5.5.2简单的三角恒等变换
【学习目标】1•能用二倍角公式推导出半角公式2了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想方法.3•能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式,并能进行一些简单的应用.
知识梳理梳理教材夯实底础
知识点一半角公式
“sinx+bcosx=yja2-\-b2sin(x+其中tan&
-思考辨析判断正误
a/1+cosa
1・cos彳二十一5(X)
2・对任意aWR,siny=扌cosa都不成立・(X)3.若cosa二g,且aG(0,兀),贝Ucos号=普.(
4・对彳壬意aWR都有sina+羽cosa=2sin(a+1j.(J)
题型探究
一、半角公式的应用
例1已知(黑3兀)且sin&=害,求sin#,cos》tan|的值.解3兀),且sin0=专.
・・.cos&=-|,眾(乎,夢),
(学生留)
反思感悟利用半角公式求值的思路
(1)看角:
若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解.
(2)明范围:
由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围•
nsino1-cosa
⑶选公式:
涉及半角公式的正切值时,常用tan^=—,其优点是计算时可
21十cosas,na
…a1-cosa
避免因开方带来的求角的范围问题涉及半角公式的正、余弦值时,常先^用si详二一—
a1+cosacos2^=_-y—计算.
跟踪训练1
已知sina=¥,cos
B.2+逅
答案C
解析方法一
方法二因为sina二¥>0,cosa二新>0,所以a的终边落在第一象限,号的终边落在第一或第三象限,所以tan
所期式成立■
(1+sin&-cosOf十(1十sin0+cos&卩
方法二左边二
(1+sin0+cos&)(1+sin3-cos6)
2(1+sinOf十2cos2^4+4sin62
二二•7二・
(1+sin0)2■cos?
&2sin3+2sin2^s,n&
所以原式成立・
反思感悟三角恒等式证明的常用方法
(1)执因索果法:
证明的形式一般是化繁为简•
(2)左右归一法:
证明左右两边都等于同一个式子.
(3)拼凑法:
针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同・
(4)比较法:
设法证明“左边-右边二0”或“左边/右边二1”.
(5)分析法:
从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的条件,直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立•
跟踪训练2求证:
2sinacosx14-cosx
(sinx+cosx—l)(sina—cosx+1)sinx
所以原等式成立・
三、三角恒等变换的综合问题
例3
(1)已知/U)=sinx+2cosx,则沧)的最大值为
答案V5
解析Kv)二sinx十2cosx
⑵已知函数7(x)=4cos0x・sin(ex+》)(£y>O)的最小正周期为n.
1求3的值:
2讨论y(x)在区间[o,弓上的单调性.
解①ZU)=4coscox-sin(ex+另二2V2sincox-coscox+2a/2cos26>x
=羽(sin2cox+cos2qx)+边
=2sin(2ox十扌)十
因为•心)的最小正周期为兀,且0>0,从而有栄二兀,故e二1.
②由①知,fix)=2sin(2x十扌)十<2.若0£xW字,则务2x+鬟乎.
当鬟"十鬟号,即00点£时,/U)单调递增;
当5<2.v+其¥,即討W*时,/U)单调递减•
综上可知,./U)在区间,劭上单调递增,在区间,劭上单调递减•
反思感悟硏究三角函数的性质,如单调性和最值问题,通常是把复杂的三角函数通过恰当
的三角变换,转化为一种简单的三角函数,再研究转化后的函数的性质•在这个过程中通常利用辅助角公式,将〉,二“sinx+bcosx转化为y=Asin(x+0)或y=Acos(x+卩)的形式;以便研
究函数的性质・跟踪训练3已知函数fix)=sinA:
—sin2(x—,xGR.
(1)求金)的最小正周期;
⑵求的在区间[一务目上的最大值和最小值.
1-cos2rl-cos(2r-劲解
(1)由已知,有.心)二一3—2
1
严s
(1)如何选择关于点O对称的点A,D的位苣,可以使矩形ABCD的面积最大,最大值是多少?
⑵沿着AB,BC,CD修一条步行小路从A到D如何选择A,D位置,使步行小路的距离最
远?
解
(1)连接0B,如图所示,设ZAOB=3,
贝!
JAB-OBsin6-20sin0,0A=OBcos6=20cos6,且(。
,号).
因为A,D关于原点对称,
所以AD=2OA=40cos0.
设矩形ABCD的面积为S.则
S二ADAB=40cos6-20sin0=400sin20.因为0丘(0,号),所以当sin20=\,即&二冊,Smax=400(n*).
此时A0二DO二10^2(111).
故当A,D距离圆心0为1唧m时,矩形ABCD的面积最大,其最大面积是400m2.
(2)由(\MAB=20s\nd,
AD=40cos0,
.'.AB+BC+CD=40sin6+40cos6-4Oj5sin(0+宇),又g(0,7),
当&+彳二釘即&二扌时/(AB+BC+CD)max=40\/2.
此时AO二DO二Kh/2,
即当A,D距离圆心0为10羽m时,步行小路的距离最远.
I素养提升]三角函数与平面几何有着密切联系,几何中的角度、长度、面积等问题,常借助三角变换来解决;实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上,故常用建立三角函数
模型解决实际的优化问题・
星础巩固学以致用
、
1.
己矢口cosa=§.
则si碓等于(
B.
匕5
答案A
解析・.1日¥,2兀),
答案[0,yl3]
解析y=-护sinx+cosx=2s训彳-xj.
•••ow)wV5.
r1■aa17tn.a
4・lL矢口sm㊁—cos㊁=—击,y贝utan5=
答案2解析T(sin号-cos号)2二舟,
/.1-sina二§
3
5#
又•/号vavjr,cosa二
5.化简:
2sin&+sin20
答案1
解析原式二
1十cos&
4sin9
2sin0十2sinffcos6
2sin&1十cos&)二1.
2sin&1十cos&)
■课堂小结-
1・知识清单:
(1)半角公式・
⑵辅助角公式•
(3)三角恒等变换的综合问题•
(4)三角函数在实际问题中的应用•
2・方法归纳:
转化与化归・3・常见误区:
半角公式符号的判断,实际问题中的定义域.
课时对点练注重双基强化落实
1.设5n<0<6n9cos
A叵
-
@2
z(v
于等
&・4
・m
s
则
/l+t/
c-
B•导
D・
答案D
解析*•*5兀<^<6兀,•:
乎r
2.设a=*cos6°—乎sin6°,b=2sin13°cos13°,c=<—,则有()
A・c
答案c
解析由题意可知,ci=sin24°#b=sin26°rc=sin25°,而当0° 增,・・wv»故选C・ 小cos40°砧居"/ 3・的值为() cos25c^/l—sin40° A・1B•、/5C.y/2D・2答案C cos20°+sin20° cos25° I2cos25。 cos25° 4.侈选)已知函数心)=sinxcosx+sin2卫则下列说法正确的是() a.几丫)的最大值为2 B./U)的最小正周期为7T c._/u)关于x=—賣对称 D./U)在(0,申上单调递增 答案BCD •v/21逗+12兀 •e-.Ax)niax二专十㊁二—2—f最小正周期T=—=n. 当x二-£时,sin(2x■打二-1,.*.x=-彳为对称轴• 当用(0,扌)时,"-*(弓,罷••・.心)在(0,弓上单调递增,综上有BCD正确,A不正确. 5.设函数_/U)=2cos"+萌sin2x+“(“为实常数)在区间〔0,月上的最小值为一4,那么“的 值等于() A.4B.~6C.-4D.-3 答案C 解析f(x)=2cos2x+羽sin2x十a =1十cos2x+书sin2x+“ =2sin(2*•十打+“十1. 当灿)屈时,加十减闍, 二2・(・*十"十1二-4.: .a=-4. /■ 6.C知180°<«<270°且sin(a+270°)=§,贝ijsin,tany=. 牧案丸亘一3 510' 4 解析Tsin(a+270°)=-cosa, 7・若3sinx—a/5cosx=2羽sin(x+e),gW(—兀,n)>贝ij(p=. 解析因为3sinx-羽cosx =2屈爭sinx-*osJ二2羽sin(x_彳), 因为(P^(-7TrTT)f所以0二-£ sin4xcos2xcosx 化简: ]+cos4x14-cos2x14-cosx~ 答案tanI 解析原式_2sin2xcoslxcos2xcosxsin2xcosx_2sinxcosx 2COS~2.V1pnc9v14-rncv14-me9v14-mev2COS~X 1十coslx1+COSX1+cos2a1+COSX COSX 1+COSX sinxa* 二tant. 1+cosx2 sin冷 2x ・3COSA"二叫•亦+ 二*sin2v十爭coslx-sin(2.v十号二右边,原等式得证. 10.已知函数/(x)=>/5sin(2x_? )+2sin2(x-令)(xGR). ⑴求函数.ZU)的最小正周期; (2)求使函数y(x)取得最大值的x的集合. 解 (1)T./(x)=羽sin(2x諾)+2sin2(x-令) 二羽sin^2(x-令)]+]_co<2(x-为] =2sh(2(A--^)-g+l 二心)的最小正周期为丁二〒二九 (2)当何取得最大值时,sin(2r-j)=l,有lx-2kn+号伙GZ).即入二航+寻Z),•••所求-V的集合为卜卜二加十静,MZ. vf综合运用 A.2+sina C・2D・2+、/5sin(a+芋 答案c 解析原式=1+2sin号cos号十1-cos 12.已知函数./(x)=sinx+"cosx,当x=扌时,.心)取得最大值,则"的值为() A.一萌B.一1C・1D•萌 答案C 角军析V/U)=sinx十“cosx二yj1+t/2sin(x+q>)t •;/(x)max二I+a2,依题意/(劭二丰十¥"=yj\+a2,解得"二1. 700 13.己知cos&=—牙,&g(7t,2兀),贝ijsin54-cos5的值为・ 答案I 解析因为0^(n,2k),所以註俘,兀), 所以sin|二 e cos2= 所以sin5+cos2=5・ 14.化简: tan70°cos10°(羽tan20°—1)=・ 答案一1 解析原式=翳010。 (屁翳-0 sin70°⑴sin20°-cos20° 二cos70。 ®10°-cos20° sin70。 —2sin(・10。 ) 二cos70。 8S10•cos20。 _sin70。 sin20。 -'cos70°cos20° 二-1. N拓广探究 15•北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示).如果小正方形的而积为1,大正方形的而积为25,直角三角形中较小的锐角为&,则cos20=. 效案— 解析由题意5cos6-5sin3=1,&,扌) 所以cos&・sin0二*. 又(cos0+sin0)2+(cos0-sin0)2=2. 7所以cos&十sin&二§・ ==7 所以cos20=cos'。 -siiFO=(cos6+sin&)(cos6-sin0)=牙. 16•如图所示,已知OPQ是半径为1,圆心角为彳的扇形,四边形ABCD是扇形的内接矩形, B,C两点在圆弧上,OE是APOQ的平分线,E在P0上,连接OC,记ZCOE=a,则角a 为何值时矩形ABCD的面积最大? 并求最大而积・ 解如图所示,设0£交AD于交BC于N,显然矩形ABCD关于0£对称,而M川分别为AD,BC的中点,在R心ONC中,CN=sinatON=cosa,OM二仝片二羽DM二羽CW =V^sinar 所以MN=ON-OM=cosa-萌sina, 即AB二cosa-萌sina, 而BC=2CN=2sinaf 故S^abcd=AB-BC=(cosa-羽sina)・2sina =2sinacosa-2羽sin%=sin2a->/3(l-cos2a) =sin2a+羽cos2a-£ 二2sin(2a十号-羽.
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- 第五 552 简单 三角 恒等 变换