三角恒等变换教师版.docx
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三角恒等变换教师版
第三章三角恒等变换
§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角和与差的余弦公式
课时目标
1.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式.2.掌握两角差的余弦公式.
两角差的余弦公式
C(α+β):
cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ,C(α-β):
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,其中α、β为任意角
一、选择题
1.cos15°cos105°+sin15°sin105°=( )
A.-B.C.0D.1
2.化简cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα得( )
A.cosαB.cosβC.cos(2α+β)D.sin(2α+β)
答案:
1.C 2.B
3.化简cos(45°-α)cos(α+15°)-sin(45°-α)sin(α+15°)得( )
A.B.-C.D.-
答案:
3.A 原式=cos(α-45°)cos(α+15°)+sin(α-45°)sin(α+15°)=cos[(α-45°)-(α+15°)]=cos(-60°)=
4.若cos(α-β)=,cos2α=,并且α、β均为锐角且α<β,则α+β的值为( )
A.B.C.D.
答案:
4.Csin(α-β)=-(-<α-β<0).sin2α=,∴cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]
=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)=·+·=-,∵α+β∈(0,π),∴α+β=
5.若sin(π+θ)=-,θ是第二象限角,sin=-,φ是第三象限角,则cos(θ-φ)的值是( )
A.-B.C.D.
答案:
5.B [∵sin(π+θ)=-,∴sinθ=,θ是第二象限角,∴cosθ=-.∵sin=-,∴cosφ=-,φ是第三象限角,∴sinφ=-.∴cos(θ-φ)=cosθcosφ+sinθsinφ=×+×=
6.若sinα+sinβ=1-,cosα+cosβ=,则cos(α-β)的值为( )
A.B.-C.D.1
答案:
6.B [由题意知①2+②2⇒cos(α-β)=-
二、填空题
7.cos15°的值是________.8.若cos(α-β)=,则(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=________.
答案:
7.8.解析:
原式=2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)=2+2cos(α-β)=
9.已知sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0,则cos(α-β)的值是________.
9.-解析:
由①2+②2⇒2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)=1⇒cos(α-β)=-
10.已知α、β均为锐角,且sinα=,cosβ=,则α-β的值为________.
答案:
10.-解析:
∵α、β∈,∴cosα=,sinβ=,∵sinα ∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=·+·=,∴α-β=-. 三、解答题 11.已知tanα=4,cos(α+β)=-,α、β均为锐角,求cosβ的值. 解: ∵α∈,tanα=4,∴sinα=,cosα=.∵α+β∈(0,π),cos(α+β)=-,∴sin(α+β)=. ∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=×+×=. 12.已知cos(α-β)=-,sin(α+β)=-,<α-β<π,<α+β<2π,求β的值. 解: ∵<α-β<π,cos(α-β)=-,∴sin(α-β)=.∵π<α+β<2π,sin(α+β)=-,∴cos(α+β)=. ∴cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=×+×=-1. ∵<α-β<π,π<α+β<2π,∴<2β<,∴2β=π,∴β=. 能力提升 13.已知cos(α-)=-,sin(-β)=,且<α<π,0<β<,求cos的值. 解: ∵<α<π,∴<<.∵0<β<,∴-<-β<0,-<-<0.∴<α-<π,-<-β<. 又cos(α-)=-<0,sin(-β)=>0,∴<α-<π,0<-β<. ∴sin(α-)==.cos(-β)==. ∴cos=cos[(α-)-(-β)]=cos(α-)cos(-β)+sin(α-)sin(-β)=(-)×+×=. 14.已知α、β、γ∈,sinα+sinγ=sinβ,cosβ+cosγ=cosα,求β-α的值. 解: 由已知,得sinγ=sinβ-sinα,cosγ=cosα-cosβ.平方相加得(sinβ-sinα)2+(cosα-cosβ)2=1. ∴-2cos(β-α)=-1,∴cos(β-α)=,∴β-α=±.∵sinγ=sinβ-sinα>0,∴β>α,∴β-α=. 反思感悟: 1.给式求值或给值求值问题,即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值),求另外一些角的三角函数值,关键在于“变式”或“变角”,使“目标角”换成“已知角”.注意公式的正用、逆用、变形用,有时需运用拆角、拼角等技巧. 2.“给值求角”问题,实际上也可转化为“给值求值”问题,求一个角的值,可分以下三步进行: ①求角的某一三角函数值;②确定角所在的范围(找一个单调区间);③确定角的值. 确定用所求角的哪种三角函数值,要根据具体题目而定. 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (一) 课时目标 1.在两角差的余弦公式的基础上,会推导两角和与差的正弦、余弦公式.2.灵活运用两角和与差的正、余弦公式进行求值、化简、证明. 1.两角和与差的余弦公式 C(α-β): cos(α-β)=__________________.C(α+β): cos(α+β)=__________________. 2.两角和与差的正弦公式 S(α+β): sin(α+β)=__________________________.S(α-β): sin(α-β)=____________________________. 3.两角互余或互补 (1)、若α+β=_____,其α、β为任意角,我们就称α、β互余.例如: -α与______互余,+α与______互余 (2)、若α+β=_____,其α,β为任意角,我们就称α、β互补.例如: +α与________互补,___与π-α互补 答案: 1.cosαcosβ+sinαsinβ cosαcosβ-sinαsinβ2.sinαcosβ+cosαsinβ sinαcosβ-cosαsinβ 3. (1)、 +α -α (2)、π π-α α+ 一、选择题 1.计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于( ) A.B.C.D. 2.sin245°sin125°+sin155°sin35°的值是( ) A.-B.-C.D. 答案: 1.A 2.B 原式=-sin65°sin55°+sin25°sin35°=-cos25°cos35°+sin25°sin35°=-cos(35°+25°)=-cos60°=- 3.若锐角α、β满足cosα=,cos(α+β)=,则sinβ的值是( ) A.B.C.D. 答案: 3.C ∵cosα=,cos(α+β)=,∴sinα=,sin(α+β)=. ∴sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=×-×= 4.已知cosαcosβ-sinαsinβ=0,那么sinαcosβ+cosαsinβ的值为( ) A.-1B.0C.1D.±1 答案: 4.D cosαcosβ-sinαsinβ=cos(α+β)=0.∴α+β=kπ+,k∈Z,∴sinαcosβ+cosαsinβ=sin(α+β)=±1 5.若函数f(x)=(1+tanx)cosx,0≤x<,则f(x)的最大值为( ) A.1B.2C.1+D.2+ 答案: 5.B f(x)=(1+tanx)cosx=cosx+sinx=2(cosx+sinx)=2sin(x+),∵0≤x<,∴≤x+<.∴f(x)max=2 6.在三角形ABC中,三内角分别是A、B、C,若sinC=2cosAsinB,则三角形ABC一定是( ) A.直角三角形B.正三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形 答案: 6.C ∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB∴sinAcosB-cosAsinB=0.即sin(A-B)=0,∴A=B 二、填空题 7.化简sin+cos的结果是________8.函数f(x)=sinx-cosx的最大值为________ 答案: 7.cosα解析: 原式=sincosα+cossinα+coscosα-sinsinα=cosα. 答案: 8.解析: f(x)=sinx-cosx===sin. 9.已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,则的值是__________10.式子的值是________ 答案: 9.解析: ∴,∴== 10.解: 原式====tan60°=. 三、解答题 11.已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求sin2α的值. 解: 因为<β<α<,所以0<α-β<,π<α+β<.又cos(α-β)=,sin(α+β)=-, 所以sin(α-β)===,cos(α+β)=-=-=-. 所以sin2α=sin[(α-β)+(α+β)]=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)=×+×=-. 12.证明: -2cos(α+β)=. 证明: 左边=-2cos(α+β)== ====右边 能力提升 13.已知sinα+cos=,则sin的值是________. 答案: 13.-解析: sinα+cos=sinα+cosαcos+sinαsin=sinα+cosα= ==sin=.∴sin=.∴sin=-sin=-. 14.求函数f(x)=sinx+cosx+sinx·cosx,x∈R的最值及取到最值时x的值. 解: 设sinx+cosx=t,则t=sinx+cosx==sin,∴t∈[-,], ∴sinx·cosx==∴f(x)=sinx+cosx+sinx·cosx即g(t)=t+=(t+1)2-1,t∈[-,]. 当t=-1,即sinx+cosx=-1时,f(x)min=-1.此时,由sin=-,解得x=2kπ-π或x=2kπ-,k∈Z. 当t=,即sinx+cosx=时,f(x)max=+.此时,由sin=,sin=1.解得x=2kπ+,k∈Z. 综上,当x=2kπ-π或x=2kπ-,k∈Z时,f(x)取最小值且f(x)min=-1;当x=2kπ+,k∈Z时,f(x)取得最大值,f(x)max=+. 反思感悟: 1.两角和差公式可以看成是诱导公式的推广,诱导公式可以看成两角和差公式的特例,例如: sin=sincosα-cossinα=-cosα. 2.使用和差公式时不仅要会正用,还要能够逆用公式,如化简sinβcos(α+β)-cosβsin(α+β)时,不要将cos(α+β)和sin(α+β)展开,而应采用整体思想,作如下变形: sinβcos(α+β)-cosβsin(α+β)=sin[β-(α+β)]=sin(-α)=-sinα. 3.运用和差公式求值、化简、证明时要注意,灵活进行三角变换,有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系,选用恰当的公式快捷求解 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (二) 课时目标 1.能利用两角和与差的正、余弦公式导出两角和与差的正切公式2.掌握两角和与差的正切公式及变形运用 1.两角和与差的正切公式 (1)、T(α+β): tan(α+β)=___________________________ (2)、T(α-β): tan(α-β)=______________________________ 2.两角和与差的正切公式的变形 (1)、T(α+β)的变形: tanα+tanβ=___________________________tanα+tanβ+tanαtanβtan(α+β)=__________ tanα·tanβ=____________________________ (2)、T(α-β)的变形: tanα-tanβ=___________________________tanα-tanβ-tanαtanβtan(α-β)=___________ tanαtanβ=_____________________________ 知识梳理答案: 1. (1)、 (2)、2. (1)、tan(α+β)(1-tanαtanβ); tan(α+β);1- (2)、tan(α-β)(1+tanαtanβ);tan(α-β);-1 一、选择题 1.已知α∈,sinα=,则tan的值等于( ) A. B.7 C.- D.-7 2.若sinα=,tan(α+β)=1,且α是第二象限角,则tanβ的值是( ) A.B.-C.-7D.- 3.已知tanα=,tanβ=,0<α<,π<β<,则α+β的值是( ) A.B.C.D. 答案: 1.A 2.C 3.C 4.A,B,C是△ABC的三个内角,且tanA,tanB是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是( ) A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.无法确定 答案: 4.A tanA+tanB=,tanA·tanB=,∴tan(A+B)=,∴tanC=-tan(A+B)=-,∴C为钝角 5.化简tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°的值等于( ) A.1B.2C.tan10°D.tan20° 答案: 5.A 原式=tan10°tan20°+tan20°+tan10°=(tan10°+tan20°+tan10°tan20°)=tan30°=1 6.在△ABC中,角C=120°,tanA+tanB=,则tanAtanB的值为( ) A.B.C.D. 答案: 6.B tan(A+B)=-tanC=-tan120°=,∴tan(A+B)==,即=, 解得tanA·tanB= 二、填空题 7.=________8.已知tan=2,则的值为________ 答案: 7.-8.解析: ∵tan=2,∴=2,解得tanα=.∴ ====. 9.如果tanα,tanβ是方程x2-3x-3=0两根,则=________. 答案: 9.-解析: ====- 10.已知α、β均为锐角,且tanβ=,则tan(α+β)=________. 答案: 10.1解析: tanβ==∴tanβ+tanαtanβ=1-tanα∴tanα+tanβ+tanαtanβ=1 ∴tanα+tanβ=1-tanαtanβ.∴=1,∴tan(α+β)=1 三、解答题 11.在△ABC中,tanB+tanC+tanBtanC=,且tanA+tanB+1=tanAtanB,试判断△ABC的形状. 解: 由tanB+tanC+tanBtanC=,得tanB+tanC=(1-tanBtanC)∴tan(B+C)==, 又∵B+C∈(0,π),∴B+C=又tanA+tanB+1=tanAtanB,∴tanA+tanB=-(1-tanAtanB), ∴tan(A+B)==-,而A+B∈(0,π),∴A+B=,又∵A+B+C=π, ∴A=,B=C=∴△ABC为等腰三角形. 12.如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,.求tan(α+β)的值. 解: 由条件得cosα=,cosβ=.∵α,β为锐角,∴sinα==, sinβ==.因此tanα==7,tanβ== tan(α+β)===-3. 能力提升 13.已知tan(α-β)=,tanβ=-,且α,β∈(0,π),求2α-β的值. 解 tanα=tan[(α-β)+β]==>0.而α∈(0,π),故α∈(0,). ∵tanβ=-,0<β<π,∴<β<π.∴-π<α-β<0.而tan(α-β)=>0,∴-π<α-β<-. ∴2α-β=α+(α-β)∈(-π,0).∵tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]==1,∴2α-β=-. 14.已知锐角三角形ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=. (1)、求证: tanA=2tanB; (2)、设AB=3,求AB边上的高. (1)、证明 ∵sin(A+B)=,sin(A-B)=,∴⇒⇒=2, 所以tanA=2tanB. (2)、解:
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