广东省中考数学疑难问题突破代数综合题.docx
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广东省中考数学疑难问题突破代数综合题
广东省中考数学疑难问题突破——代数综合题
一、题型分析
代数综合题是广东中考数学第23题的内容,主要考查一次函数、反比例函数、二次函数以及三角函数的相关知识,突出考查待定系数法和方程思想的运用能力,数形结合和分类讨论的数学思想方法。
本题一般有三个小问,第
(1)小问不会太难,起点低、入口宽,考生容易上手,在解答时此小问的分数要一定拿到;第
(2)小问的难易程度中等,计算时要严谨,答题格式要规范,此小问的分数要力争拿到;第(3)小问偏难,留给学生的思考空间较大,要学会抢得分点,理解多少做多少,最大限度地发挥自己的水平。
这样就大大提高了本题的得分率。
二、学情分析
学生在八年级时就学习了一次函数,九年级学习了反比例函数及二次函数,具备了从函数图象中获取信息,并借助这些信息分析问题、解决问题的基础。
但由于初中学生的年龄特点,他们认识事物还不够全面、系统,在应用与理解时并不是很熟练、透彻,还需通过一些具体实例进一步加深巩固,对于规律性的问题,需进一步加强训练。
因此在教学时,教师应结合学生的实际和认知状况,选择典型的例题,启发学生从实例中归纳总结出代数综合题的解题策略,加深理解,轻松应考。
三、教学任务分析
本题型以函数为背景,在考查函数基本性质的基础上更加注重考查学生的综合能力,根据学生实际情况的分析,我制定了以下教学目标:
1.能通过函数图象获取信息,会用待定系数法求函数解析式;会用方程思想求特殊点的坐标;熟练求面积、求最值的方法。
2.在探究过程中,发展数形结合、分类讨论的思想方法,体会方程与函数的关系,建立各种知识的联系。
教学重点:
1.掌握函数的图象与性质,会用待定系数法求解析式;
2.掌握函数图象与几何图形的联系,会用方程思想求特殊点的坐标。
教学疑难点:
熟练求面积、求最值的方法,会运用数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思
想的方法解决问题。
四、教法与学法分析
教学方法:
针对九年级学生的年龄特点和本校的实际情况,遵循学生的认知规律,关注基础知识,关注基本技能,强化数学思想,采用引导发现法、讲练结合法为主的教学方法,让学生充分经历探究代数综合题的解答过程。
同时借助多媒体为辅进行演示、以增加课堂容量和教学的直观性。
学法指导:
结合本节课的内容以及学生的心理特点,在学法上,引导学生采用自主探究与合作交流相结合的方法,让学生经历观察思考,交流讨论,归纳总结,以及将解题方法推广应用的过程。
五、教学流程分析
复习引入
一次函数与反比
例函数综合题
题型突破
一次函数、二次函数
与三角函数综合题题
必做题
作业布置
选做题
方法总结
变式关系
变式训练
方法总结
对应精练(例2)
知识考点
变式关系
变式训练
对应精练(例1)
知识考点
六、教学过程分析
(一)复习引入
提问:
(1)什么是一次函数、反比例函数、二次函数?
(2)一次函数、反比例函数、二次函数的图象是什么?
(3)一次函数、反比例函数、二次函数具有什么性质?
(二)题型突破
类型一一次函数与反比例函数综合题
【知识考点】
(1)根据图形直接写出大于或小于时,自变量的取值范围;
(2)一次函数与反比例函数解析式的确定;
(3)确定题目中三角形及有关图形的面积;
(4)求图象的交点坐标;
(5)求最短距离;
(6)一次函数与反比例函数的综合应用。
【对应精练】
例1.(2014年广东中考题)如图,已知,B(-1,2)是一次函数y=kx+b
ç2⎪
与反比例函数y=m(m≠0,m<0)图象的两个交点,AC⊥x轴于C,BD⊥y轴于D。
x
(1)根据图象直接回答:
在第二象限内,当x取何值时,一次函数大于反比例函数的值?
(2)
求一次函数解析式及m的值;
(3)P是线段AB上的一点,连接PC,PD,若△PCA和△PDB面积相等,求点P坐标。
解题思路:
审题
第
(1)小问
(一定拿到)
观察函数图像,当-4<x<-1时,一
次函数图像都在反比例函数图像上方
问题分析
第
(2)小问
(力争拿到)
把B点坐标代入y=可计算出m的值
m
x
设P点坐标为x,x+
⎛
ç
1
5⎫
⎝
2
2⎪
⎭
第(3)小问
(争取拿到)
求出△PCA的底边AC和△PDB的
底边BD,再用含x的代数式表示出△PCA的高和△PDB的高
解答
由△PCA和△PDB的面积相等,可列出
方程,解方程则可确定P点坐标
利用待定系数法求一次函数解析式
解:
(1)由图象,当-4 (2)把A,B(-1,2)代入y=kx+b,得 ç2⎪ ∴一次函数的解析式为y=1x+5 2 把B(-1,2)代入y=m,得 x 2 m=-2,即m的值为-2. (3)如图,设点P的坐标为(x,1x+5),过点P作PE⊥x轴于E,交DB的延长 22 线于F. 由A(-4,1)、B(-1,2)、P(x,1x+5)可知 222 115 AC= 2 ,OC=4,BD=1,EF=OD=2,OE=-x,PE=x+, 22 ∴△PCA的高CE=OC-OE=4-(-x)=x+4, △PDB的高PF=EF-PE=2-(1x+5)=-1x-1, S∆PCA=S∆PDB, 2222 ∴1AC⨯CE=1BD⨯PF 22 即1⨯1(x+4)=1⨯1⨯(-1x-1),解得x=-5,此时1x+5=5 222222224 ∴P点坐标为(-5,5) 24 【方法总结】 (1)看到求函数的解析式,想到利用待定系数法; (2)看到交点坐标,想到是两个函数关系式组成方程组的解; (3)看到面积,想到三角形面积公式,根据面积相等,建立方程,可求点的坐标. 【变式训练】 1.(2015年广东中考题)如图,反比例函数y=k(k≠0,x>0)的图象与直线y=3x x 相交于点C,过直线上点A(1,3)作AB⊥x轴于点B,交反比例函数图象于点D,且AB=3BD. (1)求k的值; (2)求点C的坐标; (3)在y轴上确实一点M,使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小,求点M的坐 标. 解题思路: 审题 第 (1)小问 (一定拿到) k 把D点坐标代入y=可求出k的值 x k 问题分析 第 (2)小问 (力争拿到) x 将k的值代入y=求出反比例函数解析式 解方程组⎪ ⎧y=3x ⎨1 ⎪y= 即可求出点C的坐标 ⎩x 求最短距离想到作点C关于y轴的对 称点C′,连接C′D交y轴于点M 第(3)小问 (争取拿到) 将C′、D的坐标代入y=kx+b 即可求出直线C′D的解析式 解答 点M在y轴上,将x=0代入直线C′D 的解析式即可求出点M的坐标 由A点坐标及AB=3BD求出D点坐标 解: (1)∵A(1,3), ∴OB=1,AB=3,又AB=3BD, ∴BD=1, ∴D(1,1), 将D(1,1)代入反比例函数y=k得: k=1; x (2)由 (1)知反比例函数的解析式为y=1, x ∴点C的坐标为(3,3); 3 (3)如图,作点C关于y轴的对称点C′,连接C′D交y轴于点M,则d=MC+MD 最小, ∴C′(-3,3). 3 设直线C′D的解析式为y=kx+b, 将C′(-3,3)、D(1,1)代入y=kx+b,得 3 3 ⎪ ⎧=-3k+b ⎨3 ⎧⎪k=3-2 3 ,解得⎨ ⎪⎩1=k+b ⎪⎩b=-2+23 ∴直线C′D的解析式为y=(3-2 3)x+2 3 -2, 当x=0时,y=23-2, ∴点M的坐标为(0,23-2). 【变式关系】 本题在例1的基础上,将求面积改成求最短距离,形式虽然改变,但解题方法、思路不变,都是代入求值、求解析式、用方程的思想求点的坐标,有助于训练同学们对一次函数与反比例函数知识的应用。 类型二一次函数、二次函数与三角函数综合题 【知识考点】 (1)理解一次函数与二次函数交点坐标的意义; (2)用待定系数求解函数解析式; (3)三角函数的定义及公式; (4)数形结合和分类讨论的数学思想. (5)一次函数、二次函数与三角函数的综合应用。 【对应精练】 例2.(2017年广东中考题)如题23图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=-x2+ax+b交x轴于A(1,0),B(3,0)两点,点P是抛物线上在第一象限内的 一点,直线BP与y轴相交于点C. (1) 求抛物线y=-x2+ax+b的解析式; (2)当点P是线段BC的中点时,求点P的坐标; (3)在 (2)的条件,求sin∠OCB的值. 解题思路: 审题 第 (1)小问 (一定拿到) 将点A、B的坐标代入y=-x2+ax+b中, 求解方程组,则可求出抛物线的解析式 问题分析 第 (2)小问 (力争拿到) 设点C的坐标为(0,t),从而得点P的坐标 将点P的坐标代入y=-x2+4x-3中,求出t的值,则可得点P、C的坐标 由点B、C的坐标,利用 勾股定理可得BC的长 解答 第(3)小问 (争取拿到) 利用锐角三角函数,则可求sin∠OCB的值 解: (1)将A(1,0),B(3,0)代入y=-x2+ax+b得 ⎧-1+a+b=0⎧a=4 ⎩-9+3a+b=0⎩b=-3 所以,抛物线的解析式为y=-x2+4x-3. (2)设点C的坐标为(0,t), ∵点P是线段AB的中点, ∴点P的坐标为(3 2 又∵P在抛物线上 ,t), 2 ∴将P(3,t)代入y=-x2+4x-3得 22 t⎛3⎫233 =-ç⎪+4⨯-3,即t= 2⎝2⎭22 ∴点P的坐标为(3,3 24 ),点C的坐标为(0,3) 2 32+ç⎪ ⎛3⎫2 ⎝2⎭ 35 3 (3)在RtΔBOC中,OB=3,OC= 2 BC== 2 ∴sin∠OCB=0B=3 BC35 2 【方法总结】 =25 5 (1)看到点坐标,想到代入求值或点到坐标轴的距离; (2)看到求二次函数的解析式,想到寻找点坐标或对称轴或抛物线与x轴的交点; (3)看到角度,想到三角函数,利用方程思想求点的坐标. 【变式训练】 1.(2018年广东中考题)如图,已知顶点为C(0,-3)的抛物线y=ax2+b(a≠0)与 x轴交于A、B两点,直线y=x+m过顶点C和点B. (1)求m的值; (2)求函数y=ax2+b(a≠0)的解析式; (3) 抛物线上是否存在点M,使得∠MCB=15°? 若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 解题思路: 审题 第 (1)小问 (一定拿到) 问题分析 第 (2)小问 (力争拿到) 把点B、C的坐标代入y=ax2+b中, 求解方程组,则可得二次函数的解析式 设M点坐标为x,x-3 ⎛ ç 1 2⎫ ⎝ 3 ⎪ ⎭ 第(3)小问 解答 (争取拿到) 分类讨论确定点M的位置,在直线BC上方 或下方,连接CM,由等腰直角△COB得 ∠OCB=45°,从而得到∠OCM=30°或60° 利用锐角三角函数求出x的值, 则可求出点M的坐标 把C点坐标代入y=x+m可求出m的值 求出点B的坐标 解: (1)∵直线y=x+m过点C(0,-3), ∴-3=0+m,解得m=-3. (2)由 (1)知,一次函数的解析式为y=x-3, ∵B点是直线y=x-3与x轴的交点, ∴B点的坐标为(3,0). 将B(3,0),C(0,-3)代入y=ax2+b,得 3 所以,抛物线的解析式为y=1x2-3. (3)存在,理由如下: 设点M的坐标为 ∵∠COB=90°,OB=OC=3 ∴△COB为等腰直角三角形 ∴∠OCB=45° 1 ①当点M在直线BC上方时,如图点M1,过点M1作M1F⊥y轴于F,连接CM1,则MF=x,OF=1x2-3,CF=OF+OC=1x2-3+3=1x2 333 ∠FCM1=∠OCB-∠M1CB=45°-15°=30° 在Rt△FCM1中, 1 ∵tan∠FCM=M1F CF 3 ∴tan30°= x=3 1x23 3 解得x=3 ∴1x2-3=1⨯(33)2-3=6 33 3 所以,点M1的坐标为(3,6). ②当点M在直线BC下方时,如图点M2,过点M2作M2E⊥y轴于E,连接CM2, ∠OCM2=∠OCB+∠BCM2=45°+15°=60° 在Rt△ECM2中, 2 ∵tan∠ECM=M2E 3 3 CE ∴tan60°= x= 1x2 3 解得x= ∴1x2-3=1⨯(3)2-3=-2 33 3 所以,点M2的坐标为(,-2). 3 3 综合上述,符合条件的点M有两个,M(3,6)或M( ,-2). 【变式关系】 本题相比例2考查的知识点较广,难度较大,以数形结合和分类讨论的数学思想方法设置问题,但解题思路、方法未发生改变,都考查了点的坐标的定义、两点间坐标公式、一次函数、二次函数、解方程组、锐角三角函数等基础知识的理解与掌握,突出考查了待定系数法和方程思想的运用能力。 此类变式题目有助于提升与训练同学们的解题思维能力。 (三)作业布置 【必做题】 1.(2016年广东中考题)如题23图,在直角坐标系中,直线y=kx+1(k≠0)与 双曲线y =2( x x>0)相交于点P(1,m). (1)求k的值; (2)若点Q与点P关于直线y=x成轴对称,则点Q的坐标是Q(); (3)若过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N 式,并求出抛物线的对称轴方程. (0,5 3 ),求该抛物线的函数解析 【选做题】 2.(2013年广东中考题)已知二次函数y=x2-2mx+m2-1. (1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时,求二次函数的解析式; (2)如题23图,当m=2时,该抛物线与y轴交于点C,顶点为D,求C、D两点的坐标;(3)在 (2)的条件下,x轴上是否存在一点P,使得PC+PD最短? 若P点存在,求出P点 的坐标;若P点不存在,请说明理由.
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