1、广东省中考数学疑难问题突破代数综合题广东省中考数学疑难问题突破代数综合题一、题型分析代数综合题是广东中考数学第 23 题的内容，主要考查一次函数、反比例函数、二次函数以及三角函数的相关知识，突出考查待定系数法和方程思想的运用能力，数形结合和分类讨论的数学思想方法。本题一般有三个小问，第（1）小问不会太难， 起点低、入口宽，考生容易上手，在解答时此小问的分数要一定拿到；第（2）小问的难易程度中等，计算时要严谨，答题格式要规范，此小问的分数要力争拿到；第（3）小问偏难， 留给学生的思考空间较大，要学会抢得分点，理解多少做多少，最大限度地发挥自己的水平。这样就大大提高了本题的得分率。二、学情分析学生
2、在八年级时就学习了一次函数，九年级学习了反比例函数及二次函数，具备了从函数图象中获取信息，并借助这些信息分析问题、解决问题的基础。但由于初中学生的年龄特点，他们认识事物还不够全面、系统，在应用与理解时并不是很熟练、透彻， 还需通过一些具体实例进一步加深巩固，对于规律性的问题，需进一步加强训练。因此在教学时，教师应结合学生的实际和认知状况，选择典型的例题，启发学生从实例中归纳总结出代数综合题的解题策略，加深理解，轻松应考。三、教学任务分析本题型以函数为背景， 在考查函数基本性质的基础上更加注重考查学生的综合能力，根据学生实际情况的分析，我制定了以下教学目标：1.能通过函数图象获取信息，会用待定系
3、数法求函数解析式；会用方程思想求特殊点的坐标；熟练求面积、求最值的方法。2.在探究过程中，发展数形结合、分类讨论的思想方法，体会方程与函数的关系， 建立各种知识的联系。教学重点：1.掌握函数的图象与性质，会用待定系数法求解析式；2.掌握函数图象与几何图形的联系，会用方程思想求特殊点的坐标。教学疑难点：熟练求面积、求最值的方法，会运用数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想的方法解决问题。四、教法与学法分析教学方法：针对九年级学生的年龄特点和本校的实际情况，遵循学生的认知规律， 关注基础知识，关注基本技能，强化数学思想，采用引导发现法、讲练结合法为主的教学方法，让学生充分经历探究代数综合题的解
4、答过程。同时借助多媒体为辅进行演示、以增加课堂容量和教学的直观性。学法指导：结合本节课的内容以及学生的心理特点，在学法上，引导学生采用自主探究与合作交流相结合的方法，让学生经历观察思考，交流讨论，归纳总结，以及将解题方法推广应用的过程。五、教学流程分析复习引入一次函数与反比例函数综合题题型突破一次函数、二次函数与三角函数综合题题必做题作业布置选做题方法总结变式关系变式训练方法总结对应精练（例 2）知识考点变式关系变式训练对应精练（例 1）知识考点六、教学过程分析（一）复习引入提问：（1）什么是一次函数、反比例函数、二次函数？（2）一次函数、反比例函数、二次函数的图象是什么？（3）一次函数、反比
5、例函数、二次函数具有什么性质？（二）题型突破类型一 一次函数与反比例函数综合题【知识考点】（1）根据图形直接写出大于或小于时，自变量的取值范围；（2）一次函数与反比例函数解析式的确定；（3）确定题目中三角形及有关图形的面积；（4）求图象的交点坐标；（5）求最短距离；（6）一次函数与反比例函数的综合应用。【对应精练】例 1.（2014 年广东中考题）如图，已知 ，B（-1,2）是一次函数 y = kx + b 2 与反比例函数 y = m （ m 0, m0 ）图象的两个交点，ACx 轴于 C，BDy 轴于 D。x（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取何值时，一次函数大于反比例函数的值
6、?（2）求一次函数解析式及m 的值；（3）P 是线段 AB 上的一点，连接 PC，PD，若PCA 和PDB 面积相等，求点 P 坐标。解题思路：审题第（1）小问（一定拿到）观察函数图像，当-4 x -1 时，一次函数图像都在反比例函数图像上方问题分析第（2）小问（力争拿到）把 B 点坐标代入 y = 可计算出m 的值mx设 P 点坐标为 x, x +15 22 第（3）小问（争取拿到）求出PCA 的底边 AC 和PDB 的底边 BD，再用含 x 的代数式表示出PCA 的高和PDB 的高解答由PCA 和PDB 的面积相等，可列出方程，解方程则可确定P 点坐标利用待定系数法求一次函数解析式解：（1
7、）由图象，当- 4 x -1时，一次函数值大于反比例函数的值。（2）把 A ,B（1，2）代入y = kx + b ，得 2 一次函数的解析式为 y = 1 x + 52把 B（1，2）代入 y = m ，得x2m = -2 ，即m 的值为2.（3）如图，设点 P 的坐标为（ x ， 1 x + 5 ），过点 P 作 PE x 轴于 E，交 DB 的延长2 2线于 F.由 A（-4， 1 ）、B（-1，2）、P( x , 1 x + 5 )可知2 2 21 1 5AC=2，OC=4，BD=1，EF=OD=2，OE= - x ，PE= x + ，2 2 PCA 的高 CE=OC-OE= 4 -(
8、- x) = x + 4 ，PDB 的高 PF=EF-PE= 2 - (1 x + 5) =- 1 x - 1 ， SPCA = SPDB ，2 2 2 2 1 AC CE = 1 BD PF2 2即 1 1 (x + 4) = 1 1(- 1 x - 1)，解得 x = - 5 ，此时 1 x + 5 = 52 2 2 2 2 2 2 2 4 P 点坐标为（ - 5 ， 5 ）2 4【方法总结】（1）看到求函数的解析式，想到利用待定系数法；（2）看到交点坐标，想到是两个函数关系式组成方程组的解；（3）看到面积，想到三角形面积公式，根据面积相等，建立方程，可求点的坐标.【变式训练】1.（201
9、5 年广东中考题）如图，反比例函数 y = k ( k 0 ，x0 )的图象与直线 y = 3xx相交于点C，过直线上点 A(1，3)作 AB x 轴于点B，交反比例函数图象于点 D，且 AB=3BD.(1)求k 的值；(2)求点 C 的坐标；(3)在 y 轴上确实一点 M，使点 M 到 C、D 两点距离之和 d=MC+MD 最小，求点 M 的坐标.解题思路：审题第（1）小问（一定拿到） k把 D 点坐标代入 y = 可求出k 的值xk问题分析第（2）小问（力争拿到）x 将 k 的值代入 y = 求出反比例函数解析式解方程组 y = 3x 1 y =即可求出点 C 的坐标 x求最短距离想到作点
10、C 关于y 轴的对称点 C，连接 CD 交 y 轴于点 M第（3）小问（争取拿到）将C、D 的坐标代入 y = kx + b即可求出直线 CD 的解析式解答点 M 在 y 轴上，将 x = 0 代入直线 CD的解析式即可求出点 M 的坐标由 A 点坐标及AB=3BD 求出 D 点坐标解：(1) A(1，3)，OB=1，AB=3， 又 AB=3BD，BD=1，D(1，1)，将 D(1,1)代入反比例函数y = k 得：k = 1；x(2)由(1)知反比例函数的解析式为 y = 1 ，x点 C 的坐标为( 3 ， 3 )；3(3)如图，作点 C 关于 y 轴的对称点 C，连接 CD 交 y 轴于点
11、 M,则 d=MC+MD最小， C(- 3 ， 3 ).3设直线 CD 的解析式为 y = kx + b ，将 C(- 3 ， 3 )、D(1，1)代入 y = kx + b ，得33 =- 3 k + b 3k = 3 - 23， 解得 1 = k + bb = -2 + 2 3直线 CD 的解析式为 y = (3 - 23)x + 23- 2 ，当 x =0 时,y =2 3 - 2 ，点 M 的坐标为(0， 2 3 - 2 ).【变式关系】本题在例 1 的基础上，将求面积改成求最短距离，形式虽然改变，但解题方法、思路不变，都是代入求值、求解析式、用方程的思想求点的坐标，有助于训练同学们对
12、一次函数与反比例函数知识的应用。类型二 一次函数、二次函数与三角函数综合题【知识考点】（1）理解一次函数与二次函数交点坐标的意义；（2）用待定系数求解函数解析式；（3）三角函数的定义及公式；（4）数形结合和分类讨论的数学思想.（5）一次函数、二次函数与三角函数的综合应用。【对应精练】例 2.（2017 年广东中考题） 如题 23 图，在平面直角坐标系中，抛物线y = -x2 + ax + b 交 x 轴于 A(1，0)，B(3，0)两点，点 P 是抛物线上在第一象限内的一点，直线 BP 与 y 轴相交于点 C.（1）求抛物线 y = -x2 + ax + b 的解析式；（2）当点 P 是线段
13、BC 的中点时，求点 P 的坐标；（3）在（2）的条件，求 sinOCB 的值.解题思路：审题第（1）小问（一定拿到）将点A、B 的坐标代入 y = -x2 + ax + b 中，求解方程组，则可求出抛物线的解析式问题分析第（2）小问（力争拿到）设点C 的坐标为(0，t ) ，从而得点 P 的坐标 将点 P 的坐标代入 y = -x2 + 4x - 3 中， 求出 t 的值，则可得点P、C 的坐标由点 B、C 的坐标，利用勾股定理可得 BC 的长解答第（3）小问（争取拿到）利用锐角三角函数，则可求 sinOCB 的值解：（1）将 A(1，0)，B(3，0)代入 y = -x2 + ax + b
14、 得-1+ a + b = 0 a = 4- 9 + 3a + b = 0 b= -3所以，抛物线的解析式为 y = -x2 + 4x - 3 .（2）设点 C 的坐标为（0，t）,点 P 是线段 AB 的中点，点 P 的坐标为（ 32又 P 在抛物线上， t ），2将 P（ 3 ， t ）代入 y = -x2 + 4x - 3 得2 2t 3 2 3 3= - + 4 - 3 ，即t =2 2 2 2点 P 的坐标为（ 3 ， 32 4），点 C 的坐标为（0， 3 ）232 + 3 2 2 3 53（3）在 Rt BOC 中，OB=3,OC=2, BC = =2sin OCB = 0B =
15、 3BC 3 52【方法总结】= 2 55（1）看到点坐标，想到代入求值或点到坐标轴的距离；（2）看到求二次函数的解析式，想到寻找点坐标或对称轴或抛物线与 x 轴的交点；（3）看到角度，想到三角函数，利用方程思想求点的坐标.【变式训练】1.（2018 年广东中考题）如图，已知顶点为 C(0，-3)的抛物线 y = ax2 + b(a 0) 与x 轴交于 A、B 两点，直线 y = x + m 过顶点 C 和点 B.（1）求 m 的值；（2）求函数 y = ax2 + b(a 0) 的解析式；（3）抛物线上是否存在点 M，使得MCB=15？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.解题思
16、路：审题第（1）小问（一定拿到）问题分析第（2）小问（力争拿到）把点B、C 的坐标代入 y = ax2 + b 中，求解方程组，则可得二次函数的解析式设 M 点坐标为 x, x - 312 3第（3）小问解答（争取拿到）分类讨论确定点 M 的位置，在直线 BC 上方或下方，连接 CM，由等腰直角COB 得OCB=45，从而得到OCM=30或 60利用锐角三角函数求出 x 的值，则可求出点 M 的坐标把C 点坐标代入 y = x + m 可求出m 的值求出点 B 的坐标解：（1）直线 y = x + m 过点 C(0，-3)， - 3 = 0 + m ，解得m = -3 .（2）由（1）知，一次
17、函数的解析式为 y = x - 3 ，B 点是直线 y = x - 3 与 x 轴的交点，B 点的坐标为(3，0).将 B(3，0)，C(0，-3)代入 y = ax2 + b ，得3所以，抛物线的解析式为 y = 1 x2 - 3 .（3）存在，理由如下：设点 M 的坐标为 COB=90 , OB=OC=3 COB 为等腰直角三角形 OCB=451当点 M 在直线 BC 上方时，如图点 M1 ,过点 M1 作 M1Fy 轴于 F，连接 CM1， 则 M F= x ,OF= 1 x2 - 3 ,CF=OF+OC= 1 x2 - 3 + 3 = 1 x23 3 3FCM1=OCB-M1CB=45
18、-15=30在 RtFCM1 中，1tanFCM = M1FCF3tan30=x = 31 x2 33解得 x = 3 1 x2 - 3 = 1 (3 3)2 - 3 = 63 33所以，点 M1 的坐标为（ 3 ，6）.当点 M 在直线 BC 下方时，如图点 M2 ,过点 M2 作 M2Ey 轴于 E，连接 CM2，OCM2=OCB+BCM2=45+15=60在 RtECM2 中，2tanECM = M 2 E33CEtan60=x =1 x23解得 x = 1 x2 - 3 = 1 ( 3)2 - 3 = -23 33所以，点 M2 的坐标为（ ，-2）.33综合上述，符合条件的点 M 有
19、两个，M（ 3 ，6）或 M（，-2）.【变式关系】本题相比例 2 考查的知识点较广，难度较大，以数形结合和分类讨论的数学思想方法设置问题，但解题思路、方法未发生改变，都考查了点的坐标的定义、两点间坐标公式、一次函数、二次函数、解方程组、锐角三角函数等基础知识的理解与掌握，突出考查了待定系数法和方程思想的运用能力。此类变式题目有助于提升与训练同学们的解题思维能力。（三）作业布置【必做题】1.（2016 年广东中考题）如题 23 图，在直角坐标系中，直线 y = kx1(k0) 与双曲线 y= 2 (xx0) 相交于点 P(1，m).（1）求 k 的值；（2）若点 Q 与点 P 关于直线 y=x 成轴对称，则点 Q 的坐标是 Q( )；（3）若过 P、Q 二点的抛物线与 y 轴的交点为 N式，并求出抛物线的对称轴方程.(0， 53)，求该抛物线的函数解析【选做题】2.（2013 年广东中考题）已知二次函数 y = x2 - 2mx + m2 -1.（1）当二次函数的图象经过坐标原点 O(0,0)时,求二次函数的解析式；(2)如题 23 图,当m = 2 时,该抛物线与 y 轴交于点 C,顶点为 D,求 C、D 两点的坐标； (3)在(2)的条件下, x 轴上是否存在一点 P,使得 PC+PD 最短?若P 点存在,求出P 点的坐标；若 P 点不存在，请说明理由.
