高中数学教学中培养学生思维能力研究.docx
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高中数学教学中培养学生思维能力研究
高中数学教学中培养学生思维能力研究
摘要:
数学思维能力是一切能力的核心,其直接制约和影响着其它数学能力的发展,数学思维能力通过一系列具体的特征性而体现。
高中阶段是人的思维非常活跃的时期,是培养学生数学思维能力和数学思维品质的关键时期。
高中数学教学不仅要加强基础知识和基本技能的训练,还应充分重视培养学生养成良好的思维习惯,提高学生的数学思维能力。
本文对高中数学教学中学生思维能力的培养进行了论述,首先,对数学思维能力相关概念和影响因素进行了概述;其次,分析目前我国高中生数学思维能力发展的特点和原因,阐述高中生数学思维能力发展的现状,论述了培养高中生数学思维能力的重要性;最后,从创设有效思维情境、在解题中培养高中生的数学思维能力、在反思引申中发展思维能力三方面讨论了高中数学教学培养学生数学思维能力的策略。
关键词:
高中数学教学;数学思维;思维能力培养
Abstract:
Mathematicalthinkingability,asthebasisofotherabilities,restrictsandaffectsthedevelopmentofotherabilitiesinmathematics.Mathematicalthinkingabilityrepresentsitselfthroughaseriesofconcretecharacteristic.Astheveryactiveperiodofthinking,highschoolstageisthekeyperiodtocultivatestudents'mathematicalthinkingabilityandthemathematicsthoughtofquality.Highschoolmathematicsteachingshouldnotonlystrengthenthebasicknowledgeandbasicskillstraining,butalsopayfullattentiontocultivatestudentstodevelopgoodhabitsofmindandimprovestudents'mathematicalthinkingskills.Thispaperdiscussesthecultivationofthestudents'thinkingabilityinhighschoolmathematicsteaching.First,tooverviewmathematicalthinkingabilityrelatedconceptsandinfluencefactors;second,toanalyzethecharacteristicsandcausesofthedevelopmentofhighschoolstudentsmathematicalthinking,describethedevelopmentofthinkingskillsofhighschoolmathematics,discusstheimportanceoftrainingthinkingskillsofhighschoolmathematics;finally,fromcreatingeffectivecontextofthinking,traininghighschoolstudentsmathematicalthinkingabilityinsolvingproblems,developingthinkingskillsinintrospectionandextensionthesethreeaspects,todiscussthestrategiesofcultivatingstudentsmathematicalthinkingabilityinhighschoolmathematicsteaching.
Keywords:
Highschoolmathematicsteaching;Mathematicalthinking;Thinkingabilitycultivation
目录
1数学思维能力概述1
1.1数学思维能力的相关概念1
1.1.1思维1
1.1.2数学思维1
1.1.3数学思维能力1
1.2数学思维能力的主要影响因素2
1.2.1学知识与认知结构2
1.2.2智力水平2
1.2.3非智力因素2
2高中生数学思维能力的现状分析2
2.1高中生数学思维发展的特点2
2.1.1学生求知欲较强3
2.1.2学生数学思维呈现狭隘性3
2.1.3数学思维呈现盲从性3
2.2高中生数学思维能力发展的原因分析3
2.2.1思考问题角度单一3
2.2.2对知识缺乏系统性的理解3
2.2.3没有良好的回顾与反思的习惯4
2.3培养高中生数学思维能力的重要性4
2.3.1培养高中生数学思维能力是素质教育的需要4
2.3.2培养高中生数学思维能力是教学本身的需要4
2.3.3培养高中生数学思维能力是现实的需要4
3高中数学教学中培养学生思维能力的策略5
3.1创设有效思维情境5
3.1.1利用故事事例创设思维情境5
3.1.2利用数学知识的实际应用创设思维情境5
3.1.3利用虚拟现实创设思维情境6
3.1.4利用猜想法创设思维情境6
3.2在解题中培养高中生的数学思维能力7
3.2.1观察题目特征,培养直觉思维能力7
3.2.2探究题目解题思路,培养探索性思维能力8
3.2.3运用变式教学,培养发散思维能力8
3.2.4拓宽解题思路,培养创造性思维能力9
3.3在反思引申中发展思维能力10
4结论10
参考文献11
1数学思维能力概述
1.1数学思维能力的相关概念
1.1.1思维
思维是人脑对客观事物的间接的和概括的认识过程。
它是在感知的基础上,利用脑中储存的知识经验,通过客观事物的表面现象,对客观事物的本质与内在规律进行间接的概括的认识过程[1]。
人的思维对客观事物的反映遵循两条基本规律:
反映同一律和思维相似律。
因此,思维有两个最显著的特征,一是概括性,二是间接性。
思维的概括性是指思维所反映的不是个别的事物或事物的个别属性,而是反映一类事物所共有的本质特征以及事物所有的普遍或必然的联系[2]。
学生的许多数学知识是通过概括认识而获得的,如通过整式方程、分式方程、三角方程、对数方程等各种方程,发现其共同的特点,等式及含有未知数,而获得方程的概念。
思维的间接性是指思维不是直接地,而是通过其他事物的媒介作用来反映客观事物。
通过举一反三,对未曾感知过或根本无法感知的事物做出反映,从而使知识范围扩大。
1.1.2数学思维
数学思维是一种用数学文字及符号形成概念、判断、推理的心理过程,是人脑对客观事物的数量关系和空间形式间接、概括的反映[3]。
数学思维具有一般思维的特征,由于数学语言具有符号化和抽象化的特质,因此,数学思维具有整体性、系统性、相似性、等特点,这些都是数学思维特有的特征。
从人类思维活动总体规律出发,可分为三种数学思维,即数学直觉思维、数学逻辑思维、数学形象思维。
数学直觉思维是以一定的知识经验为基础,通过对数学对象作总体观察,在瞬间顿悟到对象的某方面的本质,从而迅速做出估计判断的一种思维。
数学逻辑思维是指借助于数学概念,通过判断、推理等方式,以分析、抽象、概括、归纳、演绎为主要方法,通过数学符号或语言来反映数学对象的本质和规律的思维,推演性与规则性是逻辑思维区别于其它思维重要特征之一。
数学形象思维是根据头脑中存储的事物表象来进行思维活动,其以表象和想象为基本途径,通过观察、猜想、联想等主要方式,对头脑中形象材料进行意识加工获取信息[4]。
1.1.3数学思维能力
能力是人们顺利完成某项活动或达到某项目标所具备的个性心理特征,其直接影响着活动的效果。
数学能力是人们进行事数学活动时所具备的各种能力的综合,数学思维能力是数学能力的核心[5]。
数学思维能力主要是指学生具有观察、比较、分析、猜想、抽象和概括的能力,具有合理表达自己观点的能力,具有归纳、演绎等进行推理的能力,应能够将数学概念和数学思想结合,形成优秀的数学思维品质。
1.2数学思维能力的主要影响因素
1.2.1学知识与认知结构
学生掌握的数学知识量是其发挥数学思维能力的基础,离开了知识的积累,思维能力的发挥就无从谈起,但知识量多未必一定有良好的数学思维能力,数学知识的结构性和系统性是形成良好数学思维能力的关键。
如果学生具有了相应的数学知识,而没有在头脑中形成系统的组织结构,在运用时也不能恰好地运用而产生混乱,只有合理的知识结构才能促进学生知识的运用和思维能力的发挥。
1.2.2智力水平
学生的智力水平是影响其数学思维能力的重要因素,主要体现在对知识的接受能力和运用能力。
对知识的接受能力是指学生通过对知识的分析获取感性认识和大脑对数学知识存储记忆的能力。
对知识的运用能力指学生大脑对已存储的数学知识进行选择、推理、联想等解决问题的实践能力。
对数学知识的良好的运用能力是发挥学生数学思维能力的翅膀。
1.2.3非智力因素
非智力因素对学生数学思维能力起着促进或阻碍作用。
积极的学习态度和顽强的意志能促进数学思维能力的发挥,相反,消极的学习态度则会阻滞学生数学思维能力的培养。
学生的数学思维能力是智力因素和非智力因素共同作用的结果,智力水平是奠定学生数学思维能力的基础,而后天的非智力因素则在培养学生数学思维能力中起着不可或缺的动力作用。
只有将两者结合起来,才能有效培养学生的数学思维能力。
2高中生数学思维能力的现状分析
2.1高中生数学思维发展的特点
高中阶段是学生数学思维发展的关键阶段,高中生对数学思维的发展呈现出两个主要现象,抽象逻辑思维日益发展,且数学思维的批判性和独立性表现明显。
高中生数学思维发展的特点主要体现为以下几点:
2.1.1学生求知欲较强
由于高中生年龄特征及知识发展水平的局限,学生具体形象思维的成分较大,主要靠直观思维,对具体、形象的问题,思维比较活跃和顺畅,而对抽象问题,一时找不到解释,便茫然无措,习惯于某种思维定式,遇到问题,一味期望能套用某个现有公式,思维的变通性和应变能力较差。
2.1.2学生数学思维呈现狭隘性
学生对数学知识理解存在偏颇,在解决数学问题时,不注意挖掘所研究问题中的隐含条件,抓不住问题中的确定条件,影响问题的解决。
例如,对于非负实数x,y满足x+2y=l,求
的最大、最小值。
在解决这个问题时,如没有注意x,y的范围,即(0≤x≤l,0≤Y≤1/2),就容易产生错误。
2.1.3数学思维呈现盲从性
很多学生在解题中不爱独立思考,不能对问题提出自己的想法,通常倾向于追随他人的思路,往往从旁人的答案中记忆解题方法,不善于提出疑问,没有自己的见解,学生自主发现问题、分析问题、总结问题的能力较差。
例如,已知x,y均是正数,且
,试求z=
的极值。
多数学生会这样求解:
因为
,所以z=
=
,因为
≥0,所以z=
的极值是
。
此解法如果不认真检查,表面上看似乎没有问题,此时z的最大值是在x=3时取得的,但是,由已知条件
≥0可得,0≤x≤2,可以看出x≠3,上述解法其实是错误的。
2.2高中生数学思维能力发展的原因分析
2.2.1思考问题角度单一
学生思考问题时不善于从多角度考虑,思考方式惰性明显,大部分学生表现出思维的盲从性,缺少应变能力,不善于独立思考和提出问题,缺乏检查和检验问题的能力。
很多学生在解题时,通常看见某个知识点便急于罗列公式、代入演算,不善于对问题进行整体系统地思考,不善于多维度地思考知识点之间的联系,挖掘试题意图,这种单一的思考方式常导致学生在解题中思维中断,难以顺利进行。
2.2.2对知识缺乏系统性的理解
学生对学习内容的理解呈孤立、间断状态,尤其是对数学概念、定理、公式等仅满足于形式上的记忆,不重视知识的延伸,没有对知识形成来龙去脉的系统性和整体性,很多学生解题时以解一步看一步的思想,在解题之前思路并不清晰,在学习过程中难于逐步建立和完善思维的整体结构,影响对新知识的理解和消化吸收。
2.2.3没有良好的回顾与反思的习惯
多数学生在做完题目之后从不回顾与思考,没有良好的反思习惯,对于数学问题不能进行多方面的思考,找出解决问题的多种方法,并将之推广应用于类似的问题中。
对于试题中出现的错误,不善于总结,在以后类似的题目中仍会犯同样的错误,学习效率低下,这样很不利于数学思维能力的提高。
回顾与反思是培养学生数学思维能力的有力手段,通过对题中知识点的总结与分析,尤其是对错题知识点的总结,回顾自己的解题思路和对比正确解法,找出错误的原因,避免今后犯同样的错误,对学生数学思维能力的培养起着有效的促进作用。
2.3培养高中生数学思维能力的重要性
2.3.1培养高中生数学思维能力是素质教育的需要
随着我国社会的不断发展,素质教育深入人心,已成为教学发展的必然趋势。
培养人才的重点是学生的创造精神和实践能力,学生创造精神培养的基础是有良好的思维品质,不断发展思维能力。
高中数学教学不仅只是传授给学生数学知识,更主要的是培养学生的能力,不仅要考虑数学自身的特点,更应遵循学生学习数学的心理规律,使学生获得对数学理解的同时,在思维能力和价值观等方面得到进步。
因此,高中数学课堂中培养学生的数学思维能力有着十分重要的现实意义。
2.3.2培养高中生数学思维能力是教学本身的需要
多年来,我国高中数学教学一直以“以多取胜”的思想培养学生。
在激烈竞争的应试教育势态下,题海战术泛滥,训练无度,高中数学教学中“讲的多、练的多、考的多”现象严重,学生负担过重[6]。
一些老师对数学思维能力的理解局限于解题能力,认为培养数学思维能力就是研究解题方法,忽视了数学教育对学生头脑科学化的开发这不仅影响了教学质量,也影响了学生今后的进一步深造。
2.3.3培养高中生数学思维能力是现实的需要
数学来源于现实,扎根于现实,应用于现实。
高中数学教学应以培养学生对知识的学以致用为目的,突出对数学知识的实践与综合运用,引导学生发现数学思维与日常生活经验、现实社会的联系及数学知识的内在联系,体会数学在人类文明发展与进步过程中的重要作用,获得综合运用数学知识解决实际问题能力。
3高中数学教学中培养学生思维能力的策略
3.1创设有效思维情境
数学情境是数学教学活动的环境,是产生数学行为的条件,其以情感调节为手段,激发学生的某种情绪、丰富学生的情感,以学生的生活为基础,包含相关数学知识和数学思想方法,是学生数学知识产生的背景[7]。
创设有效问题情境,有助于集中学生的注意力,能够引起学生的参与热情,激发学生的参与兴趣和学习动机,有助于学生恐惧畏缩心理的消除,可以培养学生主动发现问题、提出问题和解决问题的问题意识,拓展学生的思维空间[8]。
3.1.1利用故事事例创设思维情境
在高中数学教学中,应根据高中数学教学资源,针对学生年龄特点和认知规律,注意联系身边的事物,将数学问题融于一些学生喜闻乐见的情境之中,提高学生的学习兴趣,调动学生学习的积极性和主动性,培养学生的数学思维。
例如,在等比数列的教学中,可以采用如下故事:
在古印度,国王欲奖励国际象棋发明者,称可以答应其任何要求,发明者做出要求如下,以一粒粒麦粒填充棋盘,要求第一格放一粒麦粒,第二格放两粒麦粒,第三个格放四粒麦粒,以此类推,后面的每个格中放置的麦粒数量都为前一格的两倍,看似要求是填满棋盘的麦粒,国王轻易答应了发明者的要求,经过计算,却付出了全国几十年的小麦产量。
可以引出发明者索要麦粒的总量S=1+2+
+
+…+
,从而激发学生的学习兴趣。
例如,在对数教学中,也可以设置如下问题:
问题:
某人听到谣言后一小时内可以传给四个人,这四个人在一小时内每人又分别传给四个人,以此类推,问一昼夜能否传遍一千万人口的城市?
对于此题,学生可能在初始时意见不一,认为这是不可能发生的事情,但通过让学生将问题转化为数学问题,实际上就是
是多少的问题,通过运算,发现结果可以传遍全城,出人意料又在情理之中。
3.1.2利用数学知识的实际应用创设思维情境
将数学知识与实际应用相结合,设置连环相扣的问题,引导学生积极地进入问题情境,主动解决问题,可以使学生在实践过程中体验学以致用的成功,促进学生深入思考,培养数学思维。
例如,在函数的教学过程中,可以设置如下问题:
某地区不同身高男性的体重平均值如下表所示:
身高(cm)/体重(kg)
身高
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重
6.14
7.91
9.97
12.14
15.03
17.50
20.90
25.84
31.09
38.83
47.23
55.10
问题
(1):
为近似反映出该地区男性平均体重与身高之间的关系,能否根据上表中的数据,建立适当的函数模型,试写出该函数模型解析式。
问题
(2):
若体重低于相同身高男性平均体重值的0.8倍为偏瘦,高于相同身高男性平均体重值的1.2倍为偏胖,则对该地区一名身高180cm,体重80kg的男性,其体重是否在正常范围。
对于该问题,可以应用活动式教学方式,使学生在计算该未成年男性的体重是否正常后,应用同样的方法测验本班男同学的体重是否在正常范围,可以通过同桌之间相互测验的方式进行,不仅能激发学生的学习兴趣,还能使学生真正地自主思考问题,而不是被动地吸收数学知识,有助于培养学生的数学思维以及解决实际问题的自信心。
3.1.3利用虚拟现实创设思维情境
数学源于生活,又应用于生活,学生学习知识往往都想要学以致用,通过虚拟生活中常见的问题情境,给学生创设一个观察、联想、数学化的过程,能有效调动学生的学习积极性,再给学生充分的思考时间,能使学生感受到生活中处处离不开数学,学习数学是为了应用到生活中的方方面面,学生一定会想要学习并乐于学习。
例如,在均值不等式的教学过程中,为了使学生能自主发现均值不等式的定理及相关推论,可以贴近生活实际,设计如下问题。
某商场为回馈新老顾客,欲在店庆日举行商品降价打折活动,拟分为两次打折。
其中,有3中打折方案可选:
方案一是第一次打a折销售,第二次打b折销售;方案二是第一次打b折销售,第二次打a折销售;方案三是两次均打
(a+b)折销售。
问题:
哪种方案较优惠?
学生通过分析和讨论,大多可以总结出比较ab与
之间的大小问题,进而用特殊值法得出ab≤
,即得出
(a+b)≥
。
还可以得出
。
这只是一个经济生活中的常见问题,将其融入到教学情境中,不仅解决了实际问题,学生也通过自己证明,掌握了两个均值不等式定理。
3.1.4利用猜想法创设思维情境
猜想法是培养学生数学思维能力的主要方式,在高中数学教学中,应充分利用可以想象的空间,让学生在两个看似无关的事物之间进行想象,挖掘发展想象力的因素,发挥学生的想象力,引导学生由单一思维向多向思维发展。
设置想象性问题情境,可以让学生根据问题的己知条件,对所研究问题的可能结果进行大胆的猜想,再进行严格的论证,能训练学生突破空间进行思维的能力,使学生感受自己经历了完整的发现创新的过程,数学思维更加灵活。
可以利用猜想法创立如下的想象性情境。
例如,在二项式定理的教学中,可以不直接向学生给出结论,让学生观察
,
,
及
的展开式,探索
展开式的规律,大胆猜测,尝试发现,再进行严格的逻辑论证。
如果在教学中直接给出结论,学生往往只能达到记忆的目的,两种方法看似一样,效果大有不同,通过让学生自己发现规律并证明,训练了学生的逻辑思维,而且引导学生经历了由直觉发现到逻辑证明的过程。
此外,再举一例,数列{
}是由正数组成的数列,该数列前n项和为
,对所有的自然数n,
与2的等比中项等于
与2的等差中项,试求该数列的通项
。
对于此问题,不适直接求解,教学中可根据已知条件,引导学生求出数列{
}的前三项分别是2,6,10,由此猜想数列{
}为一个等差数列,其通项为
,继而采用数学归纳法证明该猜想。
3.2在解题中培养高中生的数学思维能力
3.2.1观察题目特征,培养直觉思维能力
观察即审题,是解题中首先进行的直觉思维活动,明确问题的已知条件和求解目标,分析问题的基础[9]。
在数学思维过程中,人们常常依靠直觉、灵感进行选择、判断形成数学猜想,在数学学习中起着重要的作用。
在高中数学教学中,培养学生善于观察的习惯,有助于培养学生的直觉思维能力。
直觉思维经常与解决数学疑难问题相联系,有时从题目的数形特征就可以发现题目的内在规律,进而找到解题的突破点。
例如,已知函数f(x)=
,求f
(1)+f
(2)+f(
)+f(3)+f(
)+f(4)+f(
)。
通过仔细观察题目,可以看出,2与
、3与
、4与
互为倒数,因而可以求出f(
)=
,结合已知条件,f(x)+f(
)=1,本体轻易而解。
若没有认真观察题目,由已知条件f(x)=
,按照常规方法,将1,2,
,3,
,4,
分别代入式中,虽然也可以计算出结果,但却耗费了大量时间。
再来看一个例子,求
的值。
在本题中,凭直觉我们可能从问题的结构中去寻求规律性,但这显然是知识经验所产生的负效应,客观地观察和分析能够克服这种思维弊端。
本题中,可以引导学生仔细观察,进而可以发现题目中显示的规律是一种迷惑性的假象,对解题产生干扰,通过深入观察可以看出,题目中隐含的条件
=0是关键突破口,问题迎刃而解。
3.2.2探究题目解题思路,培养探索性思维能力
在高中数学教学中,应加强解题思路的形成过程的教学,在探究解题思路的教学中渗透思维训练,创设探究氛围,引导学生通过主动探索寻求独特的解题方法,发展学生的探索性思维能力。
例如,解方程
。
分析本题,此方程是含有无理数的三次方程,若按一般求解三次方程的方法不易解决。
根据题目的特点,将
看作为未知数,而把x看作为已知数,则该方程就是关于
的一元二次方程,令
=a,则该方程变为
,解得a=1或a=
,由此,方程等价于x=1-
及
,进而求出x。
3.2.3运用变式教学,培养发散思维能力
变式是指对数学概念和问题进行不同角度的变换,突显数学概念的本质属性及其延伸,引导学生发现数学知识的结构规律。
通过变式教学,可以使学生进行多角度地分析、比较、联系,把握问题的分类及解法,激发学生学习数学的兴趣,有效地培养学生的发散思维能力。
尤其是在开放式问题中,学生可以形成积极探索的心理态势,对数学知识产生新的领悟,提高数学思维的灵活性。
例如,在探讨轨迹问题时,已知
ABC中,
A,
B,
C的对边长分别为a,b,c,其中c为定量,试建立适当的坐标系,并添加适当的条件,求出点C的轨迹方程。
此题是条件和结论均开放的问题,可以使学生充分发挥,积极讨论,向各个方向发散。
学生在得出不同答案的同时,也充分体验了自主探索的乐趣。
此题条件不一,答案不一,下面例举几种答案:
答案一:
以AB为x轴,线段AB的中垂线为y轴,建
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