等比数列练习题大题.docx
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等比数列练习题大题
等比数列练习题大题
班级________姓名________考号________日期________得分________一、选择题:
a1.在等比数列{an}中,a7·a11=6,a4+a14=5,则
a102
322
32
23D.-或-
32
解析:
在等比数列{an}中,a7·a11=a4·a14=6①又a4+a14=5②
a4=2?
a4=3,
由①、②组成方程组解得?
或?
?
?
a=3a=2.?
14?
14
∴
aa23
=.a10a432
答案:
C
2.在等比数列{an}中a1=2,前n项和为Sn,若数列{an+1}也是等比数列,则Sn等于
A.2n1-2
+
B.3nD.3n-1
C.2n
解析:
要{an}是等比数列,{an+1}也是等比数列,则只有{an}为常数列,故Sn=na1=2n.
答案:
C
评析:
本题考查了等比数列的性质及对性质的综合应用,抓住只有常数列有此性质是本题的关键,也是技巧;否则逐一验证,问题运算量就较大.
3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S6:
S3=1:
2,则S9:
S3等于A.1:
B.2:
C.3:
D.1:
3
解析:
解法一:
∵S6:
S3=1:
2,∴{an}的公比q≠1.a1a11由
21-q1-q1
得q3,
2
9
S1-q3∴=.S31-q4
解法二:
因为{an}是等比数列,所以S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,S31
即2=S3·,将S6=S3代入得C.
2S34答案:
C
4.已知等比数列{an}中,an>0,a10a11=e,则lna1+lna2+…+lna20的值为A.1C.8
B.10D.e
解析:
lna1+lna2+…+lna20=ln[··…·]=lne10=10,故选B.答案:
B
a2an+1
5.若数列{an}满足a1=5,an+1+n∈N*),则其前10项和是
2an2A.200B.150C.100D.50
解析:
由已知得2=0,∴an+1=an=5,∴S10=50.故选D.答案:
D
22
6.在等比数列{an}中,a1+a2+…+an=2n-1,则a1+a22+…+an等于
1
A.B.2
31
C.4n-1D.n-1)
3
1-22
解析:
若a1+a2+…+an=2n-1,则an=2n1,a1=1,q=2,所以a21+a2+…+an=3,故选D.
答案:
D
二、填空题:
?
2n?
1
an?
?
.设数列{an}的前n项和为Sn,7.数列{an}中,则S9=________.
2n?
1?
解析:
S9=+=377.答案:
377
2
8.数列{an}的前n项之和为Sn,Sn=1an,则an=________.
323
解析:
n=1时,a1=S1=1-a1,得a1=,
35
22
n≥2时,Sn=1-n,Sn-1=1n-1.
3322
两式相减得an=an-1-an,
33a252
即n=n-1,=3an-15
32所以{an}是等比数列,首项为a1=,公比为
553?
2?
n-1
所以an=.
5?
5?
3?
2n-1
答案:
5?
59.{an}是等比数列,前n项和为Sn,S2=7,S6=91,则S4=________.解析:
设数列{an}的公比为q,∵S2=7,S6=91.
?
a1+a2=7,?
∴?
?
?
a1+a2+a3+a4+a5+a6=91,?
?
a1+a2=7,∴?
4
?
7+7q+7q=91,?
∴q4+q2-12=0,∴q2=3.
a∴S4=a1==28.
1-q答案:
28
10.设数列{an}的前n项和为Sn,关于数列{an}有下列四个命题:
①若{an}既是等差数列又是等比数列,则an=an+1②若Sn=an2+bn,则{an}是等差数列③若Sn=1-n,则{an}是等比数列
④若{an}是等比数列,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等比数列.其中正确的命题是__________.
解析:
①若{an}既是等差数列又是等比数列,{an}为非零常数列,故an=an+1;dd
a1-n为an2+bn的形式;③若Sn=1-n,②若{an}是等差数列,Sn=n2+?
2?
2则n≥2时,an=Sn-Sn-1=1-n-1+n1=n1-n,而a1=2,适合上述
-
-
通项公式,所以an=n1-n是等比数列;④若{an}是等比数列,当公比q=-1且
-
m为偶数时,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m不成等比数列.
答案:
①②③
三、解答题:
11.已知数列{an}中,a1=1,前n项和为Sn,对任意的自然数n≥2,an是3Sn-4与23
-n-1的等差中项.
求{an}的通项公式;求Sn.
解:
由已知,当n≥2时,
2an=+,①
2又an=Sn-Sn-1,②由①②得an=3Sn-4③an+1=3Sn+1-4④
③④两式相减得an+1-an=3an+1an+11∴a2n
∴a2,a3,…,an,…成等比数列,其中a2=3S2-4=3-4,11
即a2=,q=-,
22∴当n≥2时,
11n-2-?
-1?
n-1.-an=a2qn2=?
=-?
2?
2?
2?
1?
即an1?
n?
1
2?
解法一:
当n≥2时
.
Sn=a1+a2+…+an=a1+1?
1n-1?
1--
2?
2?
=1+1?
1-?
-21?
-1?
n-1?
=1?
1-
3?
?
2?
?
1n-1
-=?
,3?
2当n=1时S1=1110
-=?
33?
2
也符合上述公式.1?
n-1
-∴Sn=.32?
解法二:
由知n≥2时,an=3Sn-4,1
即Sn=an+4),
3
111n-14
-∴n≥2时,Sn=an+4)=-?
+33?
23又n=1时,S1=a1=1亦适合上式.11?
n-1-∴Sn=.32?
12.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+2man=m+3,其中m为常数,且m≠-3.
求证:
{an}是等比数列;
3
若数列{an}的公比q=f,数列{bn}满足b1=a1,bnf,求证:
21
为等差数列,并求bn.bn
解:
证明:
由Sn+2man=m+3,得Sn+1+2man+1=m+3,两式相减,得an+1=2man,m≠-3,∴
an+12m
.anm+3
∴{an}是等比数列.
由S1+2ma1=m+3,解出a1=1,∴b1=1.m
又∵{an}的公比为
m+3∴q=f=
2m
,m+3
332bn-1
n≥2时,bn=f
22bn-1+3111
∴bnbn-1+3bn=3bn-1,推出b-=bn-13n11
∴{b}是以1为首项,为公差的等差数列,
3nn-1n+21
∴b=1+=,
33n
等比数列练习题
一、选择题
1.已知等比数列{an}的公比为正数,且a3·a9=2a5,a2=1,则a1=A.
2
1B.C.D.2
2
8
B设公比为q,由已知得a1q?
a1q?
2a1q正数,所以q?
?
42
?
即q
2
?
2,又因为等比数列{an}的公比为
故a1?
a2,选B?
?
q2、如果?
1,a,b,c,?
9成等比数列,那么
A、b?
3,ac?
B、b?
?
3,ac?
9C、b?
3,ac?
?
9D、b?
?
3,ac?
?
9、若数列an?
的通项公式是an?
n,则a1?
a2a10?
11D)答案:
A
a=.设{an}为等差数列,公差d=-2,Sn为其前n项和.若S10?
S11,则1A.1B.20C.2D.24答案:
B解析:
?
?
S10?
S11,?
a11?
0a11?
a1?
10d,?
a1?
20
5.已知等比数列?
an?
中a2?
1,则其前3项的和S3的取值范围是
A.,?
1?
B.,01,
C.?
3,D.,?
13,
答案D
6.在等比数列{an}中,a2=8,a5=64,,则公比q为A.B.C.D.答案A
8.若等比数列{an}满足anan+1=16n,则公比为A.2B.C.D.1答案:
B
9.数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn,则a6=
44
××+144+1答案:
A解析:
由an+1=3Sn,得an=3Sn-1,相减得an+1-an=3=an,则an+1=4an,a1=1,
44
a2=3,则a6=a2·4=3×4,选A.
1
,则该数列的前10项和为
1111
A.2?
B.2?
C.2?
10D.2?
11
2222
10.在等比数列{an}中,若a1?
1,a4?
答案B
c,a,b成等比数列,且a?
3b?
c?
10,则a?
b,c成等差数列,11.若互不相等的实数a
A.4B.2C.-D.-答案D
解析由互不相等的实数a,b,c成等差数列可设a=b-d,c=b+d,由a?
3b?
c?
10可得b=2,所以a=2-d,c=2+d,又c,a,b成等比数列可得d=6,所以a=-4,选D12.已知?
an?
是等比数列,a2?
2,a5?
A.16
)B.6
C.
3232?
n?
n
D.3
1S
,前n项和为Sn,则4?
.a4
答案C
二、填空题:
三、13.设等比数列{an}的公比q?
a1s41?
q43
答案:
15解析对于s4?
a4?
a1q,?
?
3?
15
1?
qa4q
14.设等比数列{an}的前n项和为sn。
若a1?
1,s6?
4s3,则a4答案:
3
33
解析:
本题考查等比数列的性质及求和运算,由a1?
1,s6?
4s3得q=3故a4=a1q=3
15.等比数列?
an?
的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则?
an?
的公比为.答案
1
16.已知等差数列{an}的公差d?
0,且a1,a3,a9成等比数列,则答案
a1?
a3?
a9
的值为.
a2?
a4?
a10
116
三、解答题
17.
已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.求数列{an}的通项公式;
若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.
18:
①已知等比数列?
an?
,a1?
a2?
a3?
7,a1a2a3?
8,则an?
②已知数列?
an?
是等比数列,且Sm?
10,S2m?
30,则S3m=
③在等比数列?
an?
中,公比q?
2,前99项的和S99?
56369a99?
④在等比数列?
an?
中,若a3?
4,a9?
1,则a6?
;若a3?
4,a11?
17⑤在等比数列?
an?
中,a5?
a6?
a?
a?
0?
a15?
16,则25?
a26?
2
解:
①a1a2a3?
a2?
∴a2?
∴?
?
a1?
a3?
5?
a1?
1
或?
?
?
a1?
a3?
4?
a3?
4
n?
1
?
a1?
a?
1?
3
当a1?
1,a2?
2,a3?
4时,q?
2,an?
2n?
1
1?
1?
当a1?
4,a2?
2,a3?
1时,q?
an?
4
2?
2?
②?
S2m?
Sm?
?
Sm?
?
S3m?
S2m?
?
S3m?
70
2
b1?
a1?
a4?
a7a97
③设b2?
a2?
a5?
a8a98则b1q?
b2,b2q?
b3,且b1?
b2?
b3?
56
b3?
a3?
a6?
a9a99
56
?
∴b3?
b1q2?
32
1?
2?
4
22
④a6?
a3?
a9a6?
?
a7?
a3?
a11a7?
2
2
∴b1?
1?
q?
q?
5即b1?
?
?
∵当a7?
?
2时,a7?
a3q?
4q?
0
44
a15?
a16?
?
b2a15?
a16a25?
a2610
?
⑤?
?
q∴a25?
a26?
a5?
a6aa5?
a6a15?
a16
19.
2
11
,公比q?
.3
1?
an
Sn为{an}的前n项和,证明:
Sn?
2
设bn?
log3a1?
log3a2log3an,求数列{bn}的通项公式.
已知等比数列{an}中,a1?
20、某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M,M的价值在使用过程中逐年减少,从第2年到第6年,每年初M的价值比上年初减少10万元;从第7年开始,每年初M的价值为上年初的75%.求第n年初M的价值an的表达式;设An?
a1?
a2an
若An大于80万元,则M继续使用,否则须在第n年初对M更新,证明:
n
须在第9年初对M更新.解析:
当n?
6时,数列{an}是首项为120,公差为?
10的等差数列.an?
120?
10?
130?
10n;当n?
6时,数列{an}是以a6为首项,公比为an?
70?
3
为等比数列,又a6?
70,所以
34
n?
6
;
?
120?
10?
130?
10n,n?
6?
因此,第n年初,M的价值an的表达式为an?
?
n?
6
an?
70?
n?
7?
?
4
设Sn表示数列{an}的前n项和,由等差及等比数列的求和公式得当1?
n?
6时,Sn?
120n?
5n,An?
120?
5?
125?
5n;
333
Sn?
S6?
?
570?
70?
?
4?
[1?
n?
6]?
780?
210?
n?
6
444
当n?
7时,n?
6
780?
210?
An?
.n
因为{an}是递减数列,所以{An}是递减数列,又
33
780?
210?
8?
6780?
210?
9?
6
4779A8?
?
82?
80,A9?
?
76?
80,
864996
20
21:
①已知?
an?
等比数列,a3?
2,a2?
a4?
,求?
an?
的通项公式。
3
②设等比数列?
an?
的公比为q?
q?
0?
,它的前n项和为40,前2n项和为3280,且前n项和中最
大项为27,求数列的第2n项。
③设等比数列?
an?
的公比q?
1,前n项和为Sn,已知a3?
2,S4?
5S2,求?
an?
的通项公式。
1
或q?
an?
2?
33?
n或an?
2?
3n?
3
?
Sn?
na1?
40
②当q?
1时?
无解
S?
2na?
32801?
2n
解:
①q?
?
a1?
1?
qn?
?
Sn?
?
40
1?
qS?
n
当q?
1时?
n?
1?
q?
8∴qn?
81∴
Sna1?
1?
q2n?
?
?
3280?
S2n?
1?
q?
a11
?
?
1?
q2
∵q?
0即qn?
81?
1∴q?
1∴a1?
0∴数列?
an?
为递增数列?
a11
a1?
1a1?
q3n?
1
∴an?
27?
a1q?
?
81解方程组?
得?
∴
qq?
3a1?
?
1?
?
?
2?
1?
q
a2n?
a1q2n?
1?
32n?
1?
a1q2?
2
a1?
1?
q?
?
③由已知a1?
0,Sn?
时?
a1?
1?
q4?
a1?
1?
q2?
1?
q?
5?
?
1?
q1?
q?
42
得1?
q?
5?
1?
q?
∵q?
1∴q?
?
1或q?
?
2
n
当q?
?
1时,a1?
2,an?
2?
?
1?
当q?
?
2时,a1?
n?
1
11n?
1n?
1
an21?
2n?
22
22.数列{an}为等差数列,an为正整数,其前n项和为Sn,数列{bn}为等比数列,且a1?
3,b1?
1,数列
{ban}是公比为64的等比数列,b2S2?
64.
1113.S1S2Sn4
解:
设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则d为正整数,
求an,bn;求证
an?
3?
d,bn?
qn?
1
?
ban?
1q3?
nd
?
3?
d?
qd?
64?
26?
q依题意有?
ban①
?
S2b2?
q?
64?
由q?
64知q为正有理数,故d为6的因子1,2,3,6之一,解①得d?
2,q?
8
故an?
3?
2?
2n?
1,bn?
8
n?
1
Sn?
3?
5n∴
1111111S1S2Sn1?
32?
43?
5n11111111?
32435nn?
211113?
?
2n?
1n?
24
1.已知等比数列{an}中an?
1?
an,且a3?
a7?
3,a2?
a8?
2,则
a11
?
a7
A.
231
B.C.D.32
2
2.已知等比数列{an}的公比为正数,且a3·a9=2a5a2=1,则a1=A.
21
B.C.D.2
22
3.在等比数列{an}中,a5?
?
16,a8?
8,则a11?
A.?
B.?
C.?
D.?
2
4.等比数列?
an?
的前n项和为Sn,已知am?
1?
am?
1?
am?
0,S2m?
1?
38,则m?
2
A.3B.20C.10D.9.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若
SS6
=,则=
S6S3
78
3
6.已知等比数列的首项为8,Sn是其前n项的和,某同学计算得到S2=20,S3=36,S4=65,后来该同学发现了其中一个数算错了,则该数为
A.S1B.SC.SD.S4
7.已知Sn是公差不为0的等差数列?
an?
的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,则等于A.B.C.D.10
8.已知等比数列{an}的公比q?
0,其前n项的和为Sn,则S4a5与S5a4的大小关系是A.S4a5?
S5a4
B.S4a5?
S5a4
n?
1
a2?
a3
a1
C.S4a5?
S5a4
D.不确定
9.已知等比数列{an}的前n项和Sn?
a?
2
A.
1
B.
1
1
?
则a的值为611C.—D.—32
10.若?
an?
是等比数列,前n项和Sn?
2?
1,则a1?
a2?
a3an?
n
2
2
2
2
A.
n2
B.C.4n?
1D.
1313
二、填空题
11.已知数列1,a1,a2,成等差数列,1,b1,b2,b3,成等比数列,则
a1?
a2
?
_______.
b2
12.已知等差数列{an},公差d?
0,a1,a3,a4成等比数列,则
a1?
a5?
a17
=
a2?
a6?
a18
13.等比数列{an}的公比q?
0,已知a2=1,an?
2?
an?
1?
6an,则{an}的前4项和
S4
14.在等比数列{an}中,a1?
a2?
6,a2?
a3?
12,nS为数列{an}的前n项和,则
log2S0
三、解答题
15.已知等比数列{an}满足a3?
12,a8?
求数列{an}的通项公式an;若Sn?
93,求n.
16.等比数列?
an?
的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列.求?
an?
的公比q;若a1?
a3?
3,求Sn.
17.在等比数列?
an?
中,a1?
1,公比q?
0,设bn?
log2an,且
3
记其前n项和为Sn.
b1?
b3?
b5?
6,b1b3b5?
0.
求证:
数列?
bn?
是等差数列;
求数列?
bn?
的前n项和Sn及数列?
an?
的通项公式;试比较an与Sn的大小.
18.已知等比数列?
an?
的公比q?
1,
a1和a4的一个等比中
项,a2和a3的等差中项为6,若数列?
bn?
满足bn?
log2an.求数列?
an?
的通项公式;求数列?
anbn?
的前n项和Sn.一、选择题
?
a3?
a7?
3,
?
a3?
1,a11a7?
a?
a?
2a?
a?
a?
a1.解析:
28解得?
,?
?
2,故选D37,?
3
a?
2aa?
773?
a?
a
n?
n?
1
2.B.A4.C5.B
S6S333
?
解析:
设公比为q,则=1+q=?
q=2,S3S3S91?
q3?
q61?
2?
47于是S61?
q31?
23
6.C7.C8.A9.C10.D二、填空题11.
8155
12.13.14.011112
三、解答题
15.解析:
设等比数列{an}的公比为q,则
?
a3?
a1q2?
12,?
a1?
48,?
?
?
解得?
17
q?
?
a8?
a1q?
?
2?
8?
所以an?
a1q
n?
1
…………4分
1
?
48?
n?
1.
2
148[1?
n]n
a1Sn?
1?
?
96[1?
n]
11?
q21?
2
1n
由Sn?
93,得96[1?
]?
93,解得n?
5.
2
…………5分
…………8分
16.解析:
由题意有a1?
?
2,又a1?
0,q?
0,故
2
1
q?
?
.
2
1
4[1?
n]
181由已知得a1?
a12?
3?
a1?
4.从而Sn?
?
[1?
n].
12321?
2
17.解析:
由已知bn?
1?
bn?
log2
an?
1
?
logq为常数.故数列?
bn?
为等差数列,an
且公差为d?
log2q.因a1?
1,?
b1?
log2a1?
0,又b1?
b3?
b5?
6?
b3?
2,所以b5?
0.
?
b3?
b1?
2d?
2,9n?
n2
?
b1?
4,d?
?
1?
Sn?
由?
b?
b?
4d?
021?
5
由?
?
d?
log2q?
?
11
?
a1?
16,q?
?
an?
25?
n,n?
N*.
2?
b1?
log2a1?
4
因an?
0,当n?
9时,Sn?
0,所以n?
9时,an?
Sn;
又可验证n?
1,2是时,an?
Sn;n?
3,4,5,6,7,8时,an?
Sn.18.解:
因为a1和a4的一个等比中项,
?
a2?
a3?
32,
所以a1?
a4?
?
32.由题意可得?
因为q?
1,所以a3?
a2.解得
a?
a?
12.3?
2
2
?
a2?
4,
?
a?
8.?
3
所以q?
a3
?
2.故数列?
an?
的通项公式an?
2n.a2
n
由于bn?
log2an,所以anbn?
n?
2.
Sn?
1?
2?
2?
22?
3?
232n?
1?
n?
2n.①
2Sn?
1?
22?
2?
232n?
n?
2n?
1.②
①-②得?
Sn?
1?
2?
2?
22?
n?
2
n?
1n?
1所以Sn?
2?
2?
n?
2
23nn?
1
2?
?
n?
2n?
1.
1?
2
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